周期的な数列

数学 において、周期数列（サイクルまたは軌道とも呼ばれる）とは、同じ項が繰り返し出現する数列のことである。

a ₁、a ₂、 ...、a _p、a ₁、a ₂、 ...、a _p、a ₁、a ₂、 ...、a _p、 ...    

繰り返される項の数pを周期(周期)と呼ぶ。^{[ 1 ]}

（純粋に）周期的な数列（周期pを持つ数列）、またはp周期数列とは、次の条件を満たす数列a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... のことである。

a _{n + p} = a _n

nのすべての値に対して。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}数列を自然数の集合を定義域とする関数とみなすと、周期数列は単に周期関数の特殊なタイプである。^{[ 4 ]}周期数列がp周期となる最小のpをその最小周期^{[ 1 ]}または正確な周期と呼ぶ。

すべての定数関数は1周期関数である。

シーケンス${\displaystyle 1,2,1,2,1,2\dots }$周期関数であり、最小周期は2である。

1/7の十進展開における桁の並びは周期6の周期性を持つ。

$\displaystyle {\frac {1}{7}}=0.142857\,142857\,142857\,\ldots }$

より一般的には、任意の有理数の十進展開における桁の並びは最終的に周期的になります（下記参照）。^{[ 5 ]}

−1のべき乗の数列は周期2の周期性を持つ。

${\displaystyle -1,1,-1,1,-1,1,\ldots }$

より一般的には、任意の1 乗根のべき乗の数列は周期的である。群の有限位数の任意の要素のべき乗についても同様である。すべての周期的な数列は多項式として表すことができる。${\displaystyle p(x)}$1の根のべき乗で評価すると：${\displaystyle a_{i}=p(z^{i})}$どこ${\displaystyle z}$は、その位数が数列の周期である1の根である。^{[ 4 ]}

関数f : X → Xの周期点とは、その軌道が 

${\displaystyle x,\,f(x),\,f(f(x)),\,f^{3}(x),\,f^{4}(x),\,\ldots }$

は周期的な数列です。ここで、${\displaystyle f^{n}(x)}$は、 fをxに適用したn重合成を意味します。周期点は、力学系の理論において重要です。有限集合からそれ自身へのすべての関数は周期点を持ちます。サイクル検出は、そのような点を見つけるアルゴリズムの問​​題です。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{kp+m}a_{n}=k*\sum _{n=1}^{p}a_{n}+\sum _{n=1}^{m}a_{n},\qquad \prod _{n=1}^{kp+m}a_{n}={\biggl (}{\prod _{n=1}^{p}a_{n}}{\biggr )}^{k}\cdot \prod _{n=1}^{m}a_{n}}$、

どこ${\displaystyle m<p}$そして${\displaystyle k}$正の整数です。

任意の周期数列は、ゼロとイチからなる周期数列の要素ごとの加算、減算、乗算、除算によって構成できます。周期的なゼロとイチの数列は、三角関数の和として表すことができます。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{0}\cos \left(2\pi {\frac {nk}{1}}\right)/1=1,1,1,1,1,1,1,1,1,\cdots }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{1}\cos \left(2\pi {\frac {nk}{2}}\right)/2=1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,\cdots }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{2}\cos \left(2\pi {\frac {nk}{3}}\right)/3=1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,\cdots }$

${\displaystyle \cdots }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}\cos \left(2\pi {\frac {nk}{N}}\right)/N=1,0,0,0,\cdots ,1,\cdots \quad {\text{sequence with period }}N}$

これらの恒等式を証明する標準的な方法の一つは、対応する1の平方根にド・モアブルの公式を適用することである。このような数列は、数論の研究において基礎となるものである。

数列は、最初から有限個の項を削除することで周期にできる場合、最終的に周期的または究極的に周期的である^{[ 1 ]。}言い換えれば、最後の条件は次のように表すことができる。 ${\displaystyle a_{k+r}=a_{k}}$あるrと十分に大きなkに対して、次の式が成り立つ。例えば、1/56 の十進展開における桁の並びは最終的に周期的になる。

1 / 56 = 0 . 0 1 7 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 ...        

数列の項が周期数列の項に近づくとき、その数列は漸近的に周期的である。つまり、数列x ₁ , x ₂ , x ₃ , ... は、次のような周期数列a ₁ , a ₂ , a ₃ , ...が存在する場合に漸近的に周期的である。      

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}-a_{n}=0.}$^{[ 3 ]}

例えば、シーケンス

1/3、2 /3、1 /4、3 /4、1 / 5、4/5、...            

その項は周期数列 0, 1, 0, 1, 0, 1, ... の項に近づくため、漸近的に周期的です。

• OEISにおけるすべての周期列