円分体

数論において、円分体（えんぶんたい）は、有理数体である^[1]に複素数1の根を付加することによって得られる数体である。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

円分体は、フェルマーの最終定理との関連から、現代​​の代数学と数論の発展に重要な役割を果たした。これらの体（素数nに対して）の算術を深く研究する過程で、より正確には、その整数環における一意因数分解の失敗から 、エルンスト・クンマーが初めて理想数の概念を導入し、有名な合同性を証明した。  

に対して、ζ _n = e ^{2π i / n} ∈ Cとします。これは原始的なn乗根です。すると、 n乗円分体はζ _nによって生成されたの拡大になります。 ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• n次の円分多項式

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\!\!\!\left(xe ^{2\pi ik/n}\right)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\!\!\!(x-{\zeta _{n}}^{k})}$

は既約なので、上のζ _nの最小多項式です。${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• したがって、 Cにおけるζnの共役は_、他の原始n乗根である。ζ^けーん
  _​1 ≤ k ≤ nであり、 gcd( k ,  n ) = 1である。
• したがって、の次数は[ Q (ζ _n ): Q ] = deg Φ _n = φ ( n )であり、ここでφはオイラーのトーシェント関数です。${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$
• x ⁿ − 1の根はζ _nのべき乗なので、Q (ζ _n )はQ上のx ⁿ − 1 (またはΦ( x ) )の分解体です。
• したがって、Q (ζ _n )は のガロア拡大です。${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• ガロア群は 、自然に乗法群と同型であり、これはn を法とする可逆剰余から成り、これは1 ≤ a ≤ nかつgcd( a ,  n ) = 1となる剰余a mod nである。同型はそれぞれをa mod nに送る。ここでa はσ(ζ _n ) = ζとなる整数である。${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbf {Q} (\zeta _{n})/\mathbf {Q} )}$${\displaystyle (\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Gal} (\mathbf {Q} (\zeta _{n})/\mathbf {Q} )}$^な
  _​。
• Q (ζ _n )の整数環はZ [ ζ _n ]です。
• n > 2の場合、拡張Q (ζ _n ) /  Qの判別式は^[2]

${\displaystyle (-1)^{\varphi (n)/2}\,{\frac {n^{\varphi (n)}}{\displaystyle \prod _{p|n}p^{\varphi ( n)/(p-1)}}}.}$

• 特に、Q (ζ _n ) /  Q はnを割り切れないすべての素数上で不分岐です。
• n が素数pのべき乗である場合、Q (ζ _n ) /  Q はpより上で全分岐します。
• q がnを割り切れない素数である場合、フロベニウス元は qの剰余に対応します。${\displaystyle \operatorname {Frob} _{q}\in \operatorname {Gal} (\mathbf {Q} (\zeta _{n})/\mathbf {Q} )}$${\displaystyle (\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} )^{\times }}$
• Q (ζ _n )の単位根群は、nが偶数か奇数かに応じて、nまたは2 n の位数を持ちます。
• ディリクレの単位定理により、単位群 Z [ζ n ] × は、任意の n > 2 に対して、階数φ ( n ₎ / ² – 1の有限生成アーベル群である。特に、Z [ζ _n ] ^{× は}n ∈ {1, 2, 3, 4, 6 }に対してのみ有限である。Z [ζ _n ] ^×の捩れ部分群は、前の項目で説明した Q (ζ _n )の単位根の群である。円分単位は、Z [ζ _n ] ^×の明示的な有限指数部分群を形成します。
• クロネッカー・ウェーバーの定理は、 CにおけるQのすべての有限 アーベル拡大は、あるnに対してQ (ζ _n )に含まれることを述べています。同様に、すべての円分体Q (ζ _n )の和集合は、Qの最大アーベル拡大Q ^abです。

ガウスは、コンパスと定規で正n角形を構成する問題に関連して、円分体理論に早くから進出しました。彼の先人たちには気づかれなかった驚くべき結果は、正17 角形がこのようにして構成できるというものでした。より一般的には、任意の整数n ≥ 3に対して、以下は同値です。

• 通常のn -gon は構築可能です。
• Qで始まりQ (ζ _n )で終わる体の列があり、それぞれが前の体の2次拡張となっている。
• φ ( n )は2の累乗である。
• ${\displaystyle n=2^{a}p_{1}\cdots p_{r}}$いくつかの整数a、r ≥ 0およびフェルマー素数 に対して。(フェルマー素数とは、p − 1が 2 の累乗となる奇数の素数pのことです。既知のフェルマー素数は3、5、17、257、65537で、他には存在しないと思われます。)${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{r}}$

• n = 3およびn = 6 : 方程式およびは、 Q (ζ ₃ ) = Q (ζ ₆ ) = Q ( √ −3  )であり、これはQの2次拡張であることを。これに対応して、正3角形と正6角形が構成可能です。${\displaystyle \zeta _{3}={\tfrac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}}$${\displaystyle \zeta _{6}={\tfrac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}}$
• n = 4 : 同様に、 ζ ₄ = iなので、 Q (ζ ₄ ) = Q ( i )となり、正4角形が構成可能です。
• n = 5 : 体Q (ζ ₅ )はQの二次拡大ではありませんが、二次拡大Q ( √ 5  )の二次拡大であるため、正5角形が構成可能です。

フェルマーの最終定理を証明する自然な方法は、二項式x ⁿ + y ^{n を}因数分解することである。ここでnはフェルマーの等式の片側に現れる奇数の素数である。

${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$

次のように：

${\displaystyle x^{n}+y^{n}=(x+y)(x+\zeta y)\cdots (x+\zeta ^{n-1}y)}$

ここで、xとy は通常の整数ですが、因数は円分体Q ( ζ _n )の代数的整数です。円分整数Z [ ζ _n ]で一意の因数分解が成り立つ場合、それを使用してフェルマー方程式の非自明な解の存在を排除できます。

フェルマーの最終定理を解こうとする試みはいくつかあり、フェルマーのn = 4の証明とオイラーのn = 3の証明はどちらもこの考え方で書き直すことができる。Z [ ζ _n ]が一意に因数分解できるnの完全なリストは^[3]である。

• 1 から 22、24、25、26、27、28、30、32、33、34、35、36、38、40、42、44、45、48、50、54、60、66、70、84、90。

クンマーは、一意に因数分解できない問題に対処する方法を発見した。彼は、円分整数Z [ ζ _n ]における素数の代わりを導入し、類数 h _nによって一意に因数分解できないことを測定し、h _{p が}素数pで割り切れない場合（このようなp は正則素数と呼ばれる）、指数n = pに対してフェルマーの定理が成り立つことを証明した。さらに、どの素数が正則であるかを決定する基準を与え、不規則素数37、59、および67を除く、100 未満のすべての素数指数pに対してフェルマーの定理を確立した。円分体の類数の合同性に関するクンマーの研究は、20世紀に岩澤の岩澤理論と久保田とレオポルドのp進ゼータ関数の理論によって一般化された。

( OEISのシーケンスA061653 )、または-部分(素数nの場合) のOEIS :A055513またはOEIS :A000927${\displaystyle h}$

• クロネッカー・ウェーバーの定理
• 円分多項式

• Bryan Birch、「Cyclotomic fields and Kummer extensions」、JWS CasselsおよびA. Frohlich (edd)、『Algebraic number theory』、Academic Press、1973 年。第 III 章、pp. 45–93。
• ダニエル A. マーカス『Number Fields』、初版、Springer-Verlag、1977 年
• ワシントン、ローレンス C. (1997)、「円分体入門」、Graduate Texts in Mathematics、第 83 巻 (第 2 版)、ニューヨーク: Springer-Verlag、doi :10.1007/978-1-4612-1934-7、ISBN 0-387-94762-0、MR  1421575
• セルジュ・ラング『円分体 I および II 』 、第 2 版を統合。カール・ルービンによる付録付き。Graduate Texts in Mathematics、121。Springer-Verlag、ニューヨーク、1990 年。ISBN 0-387-96671-4 

• コーツ、ジョン、スジャサ、R . (2006)。円分体とゼータ値。シュプリンガー数学モノグラフ。シュプリンガー出版。ISBN 3-540-33068-2.ZBL1100.11002  .​
• Weisstein、Eric W.「サイクロトミック体」。MathWorld。
• 「円分体」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 実円分体の整数環について。山形 浩司、山岸 正和：日本学士院論文集、92。Ser a（2016）