曲線

数学において、曲線（古いテキストでは曲線とも呼ばれる）は、直線に似たオブジェクトですが、必ずしも直線である必要はありません。

直感的に、曲線は動く点が残す痕跡と考えることができます。これは、2000年以上前にユークリッドの『原論』に登場した定義です。「[曲線] 線^[a]は、幅も深さもなく、長さという1つの次元のみを持つ量の最初の種であり、点の流れまたは走行に他なりません。[...] は、その仮想的な動きから、幅を除いた長さの痕跡を残すでしょう。」^[1]

この曲線の定義は、現代数学において次のように形式化されています。曲線とは、連続関数による位相空間への区間の像です。文脈によっては、曲線を定義する関数はパラメトリック曲線と呼ばれ、曲線はパラメトリック曲線と呼ばれます。この記事では、微分可能曲線などのより制約のある曲線と区別するために、これらの曲線を位相曲線と呼ぶことがあります。この定義は、数学で研究されるほとんどの曲線を網羅しています。注目すべき例外は、水準曲線(曲線と孤立点の和) と代数曲線(以下を参照) です。水準曲線と代数曲線は、一般に暗黙の方程式で定義されるため、暗黙の曲線と呼ばれることもあります。

それでも、位相曲線のクラスは非常に広く、曲線として期待されるような外観をしない曲線や、描くことすらできない曲線も含まれています。これは、空間充填曲線やフラクタル曲線の場合です。より規則性を確保するために、曲線を定義する関数は微分可能であると想定されることが多く、その場合、その曲線は微分可能曲線と呼ばれます。

平面代数曲線は、2 つの不定元における多項式の零点集合である。より一般的には、代数曲線は、次元1の代数多様体であるというさらなる条件を満たす、有限の多項式の集合の零点集合である。多項式の係数が体kに属する場合、曲線はk上で定義されているという。実代数曲線の一般的なケース( kは実数体)では、代数曲線は位相曲線の有限和である。複素零点を考慮すると、複素代数曲線が得られる。これは位相的な観点からは曲線ではなく面であり、リーマン面と呼ばれることが多い。一般的な意味での曲線ではないが、他の体上で定義された代数曲線は広く研究されてきた。特に、有限体上の代数曲線は、現代の暗号で広く使用されている。

曲線への関心は、それが数学の研究対象になるずっと前から始まっていました。これは、先史時代にまで遡る芸術や日常の物における装飾的な使用例の多くに見ることができます。^[2]曲線、または少なくとも曲線のグラフィカルな表現は、たとえばビーチの砂の上に棒を置くなど、簡単に作成できます。

歴史的には、線という用語は、より現代的な用語である曲線の代わりに使用されていました。したがって、直線と直角直線という用語は、今日線と呼ばれるものを曲線と区別するために使用されました。たとえば、ユークリッドの原論の第 1 巻では、線は「幅のない長さ」(定義 2) と定義されていますが、直線は「点と一直線に並ぶ線」(定義 4) と定義されています。ユークリッドの線の概念は、「線の端は点である」(定義 3) という文によって明確にされている可能性があります。^[3]後の注釈者は、さまざまなスキームに従って線をさらに分類しました。たとえば、次のようになります。^[4]

• 複合線（角度を形成する線）
• 非複合線
  • 限定された線（円など、無限に伸びない線）
  • 不定（直線や放物線など、無限に伸びる線）

ギリシャの幾何学者は、他の多くの種類の曲線を研究しました。その理由の 1 つは、標準的なコンパスと定規による作図では解決できない幾何学的問題を解決することに関心があったからです。これらの曲線には次のものがあります。

• ペルガのアポロニウスによって詳細に研究された円錐曲線
• ディオクレスのシソイドはディオクレスによって研究され、立方体を2倍する方法として使用されました。^[5]
• ニコメデスの貝殻。ニコメデスが立方体を2倍にし、角度を3等分する方法として研究した。^[6]
• アルキメデスの螺旋は、角度を三等分し円を二乗する方法としてアルキメデスによって研究された。^[7]
• ペルセウスが円錐の断面として研究した円環体の断面は、アポロニウスによって研究されていました。

曲線理論の根本的な進歩は、17 世紀にルネ デカルトが解析幾何学を導入したことである。これにより、複雑な幾何学的構成ではなく方程式を使用して曲線を記述できるようになった。これにより、新しい曲線を定義して研究できるようになっただけでなく、多項式方程式を使用して定義できる代数曲線と、それができない超越曲線を正式に区別することも可能になった。以前は、曲線は、どのように生成されたか、または生成される可能性があるかによって、「幾何学的」または「機械的」と表現されていた。^[2]

円錐曲線はケプラーによって天文学に応用されました。ニュートンは変分法の初期の例にも取り組みました。最速降下線やトートクローン問題などの変分法の問題の解決により、曲線の特性が新しい形で導入されました (この場合はサイクロイド)。懸垂線は、微分積分によって日常的に扱えるようになった種類の問題である、吊り鎖の問題の解決法としてその名前が付けられました。

18 世紀には、平面代数曲線の理論全般が始まりました。ニュートンは、実数点を「楕円」にまとめる一般的な記述法として、3 次曲線を研究しました。ベズーの定理の記述は、特異点や複素解など、当時の幾何学では直接扱えなかった多くの側面を示しました。

19世紀以来、曲線理論は多様体と代数多様体の理論における次元1の特殊なケースとみなされてきた。しかし、空間充填曲線、ジョルダン曲線定理、ヒルベルトの第16問題など、曲線に特有の疑問は多く残っている。

位相曲線は、実数の区間Iから位相空間Xへの連続関数 によって指定できます。正確に言えば、曲線はの像です。しかし、いくつかの文脈では、特にその像が一般に曲線と呼ばれるものと似ておらず、十分に特徴付けられていない場合、それ自体が曲線と呼ばれます。${\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X}$ ${\displaystyle \gamma .}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \gamma .}$

たとえば、ペアノ曲線、またはより一般的には空間充填曲線の画像は正方形を完全に埋めるため、それがどのように定義されるかについての情報は提供されません。 ${\displaystyle \gamma}$

曲線は、かつ のとき、閉じた^[b]またはループです。したがって、閉じた曲線は円の連続写像の像です。閉じていない曲線は、開いた曲線と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle I=[a,b]}$${\displaystyle \gamma (a)=\gamma (b)}$

位相曲線の定義域が閉じた有界区間である場合、その曲線はパスと呼ばれ、位相弧（または単に${\displaystyle I=[a,b]}$アーク）。

曲線が単純であるのは、それが区間または円の単射連続関数による像である場合である。言い換えれば、曲線が区間を定義域とする連続関数によって定義される場合、その区間の任意の 2 つの異なる点が異なる像を持つ場合にのみ、その曲線は単純である。ただし、点が区間の端点である場合は例外である。直感的に、単純曲線とは「自分自身と交差せず、欠けている点がない」曲線 (連続した自己交差しない曲線) である。^[8]${\displaystyle \gamma}$

平面曲線は、 がユークリッド平面である曲線です。これらは最初に遭遇する例です。また、場合によっては射影平面 である曲線もあります。${\displaystyle X}$空間曲線は、少なくとも3次元の曲線である。斜め曲線は、${\displaystyle X}$ は平面上にない空間曲線です。平面曲線、空間曲線、斜め曲線のこれらの定義は実代数曲線にも適用されますが、上記の曲線の定義は適用されません（実代数曲線は不連続である可能性があります）。

平面単純閉曲線はジョルダン曲線とも呼ばれる。また、平面上の自己交差しない連続ループとしても定義される。 ^[9]ジョルダン曲線定理は、ジョルダン曲線の平面上の補集合が2つの連結成分（つまり、曲線が平面を2つの連結した交差しない領域に分割する）で構成されることを述べている。ジョルダン曲線内の境界領域はジョルダン領域と呼ばれる。

曲線の定義には、一般的な用法では曲線とはほとんど呼べない図形も含まれる。例えば、曲線の像が平面内の正方形を覆うことがあり（空間充填曲線）、単純な曲線が正の面積を持つことがある。^[10] フラクタル曲線は、常識からすると奇妙な特性を持つことがある。例えば、フラクタル曲線は、1より大きいハウスドルフ次元（コッホの雪片を参照）を持ち、正の面積を持つことさえある。一例として、ドラゴン曲線があり、これには他にも多くの珍しい特性がある。

大まかに言えば、微分可能曲線とは、実数の区間Iから微分可能多様体Xへの単射微分可能関数の像として局所的に定義される曲線であり、多くの場合${\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

より正確には、微分可能曲線は、 Cのすべての点に、実数の区間に微分同相となる近傍U があるXのサブセットC です。^{[説明が必要]}言い換えると、微分可能曲線は次元 1 の微分可能多様体です。 ${\displaystyle C\cap U}$

ユークリッド幾何学において、弧（記号：⌒）は微分可能曲線の連結された部分集合です。

線の弧は、境界の指定方法に応じて、線分、光線、または線と呼ばれます。

一般的な曲線の例としては、円弧と呼ばれる円の弧があります。

球面（または回転楕円体）における大円（または大楕円）の弧は大弧と呼ばれます。

が-次元ユークリッド空間であり、が単射かつ連続的に微分可能な関数である場合、 の長さは量として定義される。 ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \gamma}$

${\displaystyle \operatorname {長さ} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}|\gamma \,'(t)|~\mathrm {d} {t}.}$

曲線の長さはパラメータ化 とは無関係です。 ${\displaystyle \gamma}$

特に、閉区間上で定義された連続微分可能関数のグラフの長さは ${\displaystyle s}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}~\mathrm {d} {x},}$

これは直感的には、ピタゴラスの定理を曲線の全長にわたって連続的に無限小スケールで適用したものと考えることができる。 ^[11]

より一般的には、が計量 を持つ計量空間である場合、曲線の長さは次のように 定義できます。${\displaystyle X}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$

${\displaystyle \operatorname {長さ} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{and}}~a=t_{0}}t_{1}}t_{1}}t_{n}=b\right}},}$

ここで、上限はのすべてとすべてのパーティションに対して取得されます。 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle t_{0} <t_{1} <t_{n}}$${\displaystyle [a,b]}$

修正可能曲線とは、有限の長さを持つ曲線のことである。曲線が自然（または単位速度、あるいは弧の長さでパラメータ化されている）であるとは、任意の に対して、次が成り立つことを言う。 ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$${\displaystyle t_{1},t_{2}\in [a,b]}$${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}$

${\displaystyle \operatorname {長さ} \!\left(\gamma |_{[t_{1},t_{2}]}\right)=t_{2}-t_{1}.}$

がリプシッツ連続関数である場合、それは自動的に修正可能である。さらに、この場合、におけるの速度（または計量微分）を次のよう に定義することができる。${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle t\in [a,b]}$

${\displaystyle {\operatorname {速度} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{s\to t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|st|}}}$

そしてそれを示す

${\displaystyle \operatorname {長さ} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {速度} _{\gamma }}(t)~\mathrm {d} {t}.}$

最初に出会う曲線の例は主に平面曲線（つまり、日常の言葉で言えば、2次元空間の曲線）ですが、3次元に自然に存在するらせんなどの明らかな例もあります。幾何学、そして例えば古典力学では、任意の次元数の空間に曲線の概念を持つことが求められています。一般相対性理論では、世界線は時空内の曲線です。

が微分可能多様体である場合、における微分可能曲線の概念を定義できます。この一般的な考え方は、数学における曲線の多くの応用をカバーするのに十分です。局所的な観点から、 をユークリッド空間と見なすことができます。一方、より一般化することは有用であり、たとえば、この曲線の概念によって への接ベクトルを定義することが可能です。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

が滑らかな多様体である場合、の滑らかな曲線は滑らかな写像である。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X}$。

これは基本的な概念です。より制限の少ないアイデアやより制限の少ないアイデアもあります。 が多様体（つまり、そのチャートが 回連続的に微分可能な多様体）である場合、の曲線は（つまり、回連続的に微分可能）であるとのみ想定される曲線です。 が解析多様体（つまり、無限に微分可能で、チャートが冪級数として表現可能）であり、 が解析マップである場合、 は解析曲線であると言われます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \gamma}$

微分可能な曲線は正規曲線とは、その導関数が決してゼロにならない曲線のことです。（言葉で言えば、正規曲線は減速して停止したり、後退したりすることはありません。）2つの微分可能な曲線 ${\displaystyle C^{k}}$

${\displaystyle \gamma _{1}\colon I\rightarrow X}$そして

${\displaystyle \gamma _{2}\colon J\rightarrow X}$

全単射写像 が存在する場合、それらは同値であると言われる。 ${\displaystyle C^{k}}$

${\displaystyle p\colon J\rightarrow I}$

逆写像

${\displaystyle p^{-1}\colon I\rightarrow J}$

もまたであり、 ${\displaystyle C^{k}}$

${\displaystyle \gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))}$

すべての に対して成り立ちます。この写像はの再パラメータ化と呼ばれ、これにより内のすべての微分可能曲線の集合に同値関係が作られます。弧は、再パラメータ化の関係の下での曲線 の同値類です。${\displaystyle t}$${\displaystyle \gamma_{2}}$${\displaystyle \gamma_{1}}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{k}}$

代数曲線は代数幾何学で考慮される曲線です。平面代数曲線は、 f ( x , y ) = 0となる座標x , yの点の集合です。ここでfは、何らかの体F上で定義された 2 変数の多項式です。曲線はF上で定義されていると言われています。代数幾何学では通常、 F内の座標を持つ点だけでなく、代数的に閉じた体K内の座標を持つすべての点を考慮します。

C がFの係数を持つ多項式fによって定義された曲線である場合、その曲線はF上で定義されていると言われます。

実数上で定義された曲線の場合、通常は複素座標を持つ点を考えます。この場合、実座標を持つ点は実点であり、すべての実点の集合は曲線の実部です。したがって、位相曲線になり得るのは代数曲線の実部だけです (代数曲線の実部は分離していて孤立した点を含む場合もあるため、常にそうであるとは限りません)。曲線全体、つまりその複素点の集合は、位相的な観点からは曲面です。特に、特異でない複素射影代数曲線はリーマン面と呼ばれます。

体G内の座標を持つ曲線Cの点は、 G上で有理数であるとされ、 C ( G )と表記されます。G が有理数体である場合、単に有理点について話すことになります。 たとえば、フェルマーの最終定理は次のように言い換えることができます。n > 2の場合、次数nのフェルマー曲線のすべての有理点はゼロ座標を持ちます。

代数曲線は、空間曲線、つまりnなどの高次元空間内の曲線である場合もあります。代数曲線は、次元1の代数多様体として定義されます。代数曲線は、 n変数の少なくともn –1 個の多項式方程式の共通解として得られます。 n –1個の多項式が次元nの空間内の曲線を定義するのに十分である場合、その曲線は完全な交差であるといわれます。変数を消去することによって (消去法の任意のツールによって)、代数曲線を平面代数曲線に投影できますが、尖点や二重点などの新しい特異点が導入されることがあります。

平面曲線は射影平面内の曲線に完成されることもあります。つまり、曲線が全次数dの多項式fで定義されている場合、w ^d f ( u / w , v / w )は次数dの同次多項式g ( u , v , w )に簡約されます。g ( u , v , w ) = 0となるu、v、wの値は、射影平面内の曲線の完成点の同次座標であり、初期曲線の点はwが 0 でない点です。一例として、フェルマー曲線u ⁿ + v ⁿ = w ^{n が}挙げられます。これはアフィン形式x ⁿ + y ⁿ = 1を持ちます。同様の同次化処理を、高次元空間の曲線に対して定義できます。

直線を除いて、代数曲線の最も単純な例は、次数 2 で種数0の非特異曲線である円錐曲線です。種数 1 の非特異曲線である楕円曲線は、数論で研究されており、暗号学に重要な応用があります。

• AS Parkhomenko (2001) [1994]、「直線（曲線）」、数学百科事典、EMS Press
• BI Golubov (2001) [1994]、「Rectifiable curve」、数学百科事典、EMS Press
• ユークリッド、解説と翻訳：TLヒース著 要素第1巻（1908年ケンブリッジ） Googleブックス
• EH ロックウッド『曲線の本』（1961 ケンブリッジ）

ウィキメディア・コモンズには、曲線に関連するメディアがあります。

• 有名な曲線インデックス、スコットランド、セントアンドリュース大学、数学・統計学部
• 数学的曲線 874 個の 2 次元数学曲線のコレクション
• 円で作られた空間曲線のギャラリー。ピーター・モーゼスによるアニメーションも含まれています。
• ビショップ曲線とその他の球状曲線のギャラリー。ピーター・モーゼスによるアニメーションも含まれています。
• 数学百科事典の線に関する記事。
• 1 次元多様体に関する Manifold Atlas のページ。