リング理論

代数幾何学は、多くの点で可換代数の鏡像である。この対応関係は、代数多様体の点と、その座標環の極大イデアルとの間に一対一の対応関係を確立するヒルベルトのヌルシュテルンザッツから始まった。この対応関係は、代数多様体のほとんどの幾何学的性質を、関連する可換環の代数的性質に変換（および証明）するために拡張され、体系化されてきた。アレクサンダー・グロタンディークは、任意の可換環から構築できる代数多様体の一般化であるスキームを導入することで、これを完成させた。より正確には、可換環のスペクトルは、ザリスキ位相を備え、環の層で拡張された、その素イデアルの空間である。これらの対象は「アフィンスキーム」（アフィン多様体の一般化）であり、地図帳の図表を貼り合わせて多様体を構成する方法に類似して、いくつかのアフィンスキームを（純粋に代数的な方法で）「貼り合わせる」ことによって、一般的なスキームが得られます。

表現論は、非可換環を多用する数学の一分野です。抽象代数構造を、その要素をベクトル空間の線形変換として表現することによって研究し、 これらの抽象代数構造上の加群を研究します。本質的に、表現は、非可換な行列の加算と行列の乗算によって要素と代数演算を記述することにより、抽象代数オブジェクトをより具体的にします。このような記述が可能な代数オブジェクトには、群、結合代数、リー代数などがあります。これらのうち最も著名なもの（そして歴史的に最初のもの）は群の表現論であり、群の要素は、群演算が行列の乗算となるように可逆行列によって表現されます。

この節では、R は可換環を表す。Rのクルル次元は、素イデアルのすべての鎖の長さnの上限である。${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}}$多項式環は${\displaystyle k[t_{1},\cdots ,t_{n}]}$体k上の次元はnである。次元論の基本定理によれば、ネーター局所環では以下の数が一致する。${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$: ^{[ 2 ]}

• Rのクルル次元。
• 発電機の最小数${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$―主要な理念。
• 段階リングの寸法${\displaystyle \textstyle \operatorname {gr} _{\mathfrak {m}}(R)=\bigoplus _{k\geq 0}{\mathfrak {m}}^{k}/{{\mathfrak {m}}^{k+1}}}$（言い換えれば、1にそのヒルベルト多項式の次数を加えた値）。

可換環Rは、すべての素イデアルのペアに対して、${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {p}}'}$有限個の素イデアルの連鎖が存在する${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}'}$これは、鎖内の 2 つのイデアルの間に追加の素イデアルを挿入することが不可能であるという意味で極大であり、そのようなすべての極大鎖は、${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$そして ${\displaystyle {\mathfrak {p}}'}$長さは同じです。応用例に現れるネーター環は、ほぼすべてカテナリー環です。ラトリフは、ネーター局所整域Rがカテナリー環であるのは、すべての素イデアルに対して が成り立つ場合のみであることを証明しました。${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$、

${\displaystyle \operatorname {dim} R=\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}+\operatorname {dim} R/{\mathfrak {p}}}$

どこ${\displaystyle \operatorname {ht} {\mathfrak {p}}}$高さは${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$[ ^{3 ]​}

R が有限生成k代数である整域である場合、その次元はk上の分数体の超越度に等しい。Sが可換環Rの整拡大である場合、SとR は同じ次元を持つ。

密接に関連する概念として、深さと大域次元がある。一般に、Rがネーター局所環である場合、Rの深さはRの次元以下である。等号が成り立つとき、Rはコーエン・マコーレー環と呼ばれる。正則局所環はコーエン・マコーレー環の一例である。R が正則局所環であるのは、それが有限の大域次元を持つ場合のみであり、その場合、大域次元は R のクルル次元である、というのがセルの定理である。このことの意義は、大域次元がホモロジー的な概念であるということである。

2つの環RとS は、R上の左加群の圏がS上の左加群の圏と同値である場合に、森田同値であると言われます。実際、森田同値である2つの可換環は同型でなければならないため、この概念は可換環の圏に何も新しいものを加えるものではありません。しかし、可換環は非可換環と森田同値になる可能性があるため、森田同値は同型よりも粗い概念です。森田同値は、代数トポロジーと関数解析において特に重要です。

Rを可換環とし、${\displaystyle \mathbf {P} (R)}$R上の有限生成射影加群の同型類の集合。また、${\displaystyle \mathbf {P} _{n}(R)}$定数ランクnを持つものからなる部分集合。（モジュールMのランクは連続関数である）${\displaystyle \operatorname {Spec} R\to \mathbb {Z} ,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \dim M\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})}$[ ^{4 ]}）^​${\displaystyle \mathbf {P} _{1}(R)}$通常、Pic( R )と表記されます。これは、 Rのピカール群と呼ばれるアーベル群です。^{[ 5 ]} R がRの分数体Fを持つ整域である場合、次の群の正確な列が存在します。^{[ 6 ]}

${\displaystyle 1\to R^{*}\to F^{*}{\overset {f\mapsto fR}{\to }}\operatorname {Cart} (R)\to \operatorname {Pic} (R)\to 1}$

どこ${\displaystyle \operatorname {Cart} (R)}$はRの分数イデアルの集合である。Rが正則整域 (すなわち、任意の素イデアルで正則)である場合、Pic(R) はRの因子類群に正確に一致する。^{[ 7 ]}

例えば、Rが主イデアル整域である場合、Pic( R ) は消滅します。代数的整数論では、R はデデキント環であり、したがって正則な整数環とみなされます。したがって、Pic( R ) は、整数環が主イデアル整域からどれだけ逸脱しているかを測る有限群（類数の有限性）となります。

グループ完成も考慮に入れることができる${\displaystyle \mathbf {P} (R)}$これにより、可換環 K ₀ (R) が得られます。2つの可換環RとSが森田同値である場合、K ₀ (R) = K ₀ (S) となることに注意してください。

非可換環の構造は、可換環の構造よりも複雑です。例えば、非自明な真の（両側）イデアルを含まないにもかかわらず、非自明な左イデアルまたは右イデアルを含む単純環が存在します。可換環には様々な不変量が存在するのに対し、非可換環の不変量は見つけるのが困難です。例えば、環の冪零基底、すなわちすべての冪零要素の集合は、環が可換でない限り、必ずしもイデアルではありません。具体的には、除法環上のすべてのn × n行列の環におけるすべての冪零要素の集合は、どの除法環を選んだとしても、決してイデアルを形成しません。しかし、非可換環に対して定義された冪零基底の類似物があり、可換性を仮定した場合の冪零基底と一致します。

環のヤコブソン根基の概念、すなわち、環上の単純右（左）加群のすべての右（左）零化イデアルの共通部分の概念は、その一例である。ヤコブソン根基が環内のすべての極大右（左）イデアルの共通部分と見なせるという事実は、環の内部構造がその加群にどのように反映されているかを示している。また、環が可換であるかどうかにかかわらず、すべての環において、環内のすべての極大右イデアルの共通部分は、環内のすべての極大左イデアルの共通部分と同じであるという事実も存在する。

非可換環は、数学において遍在する性質を持つため、活発な研究分野となっている。例えば、体上のn × n行列の環は、幾何学、物理学、そして数学の多くの分野で自然に現れるにもかかわらず、非可換である。より一般的には、アーベル群の自己準同型環は可換であることは稀であり、最も単純な例はクラインの 4 群の自己準同型環である。

最もよく知られている厳密に非可換な環の1つは、四元数である。

X がアフィン代数多様体である場合、 X上のすべての正則関数の集合は、Xの座標環と呼ばれる環を形成します。射影多様体の場合、同次座標環と呼ばれる類似の環が存在します。これらの環は本質的に多様体と同じものであり、本質的に一意的な方法で対応しています。これは、ヒルベルトのヌルシュテレンザッツ、またはスキーム理論的構成（すなわち、Spec と Proj）のいずれかによって確認できます。

古典的な不変式理論における基本的な（そしておそらく最も根本的な）問いは、多項式環における多項式を見つけて研究することである。${\displaystyle k[V]}$有限群（またはより一般的には簡約群） GのVへの作用の下で不変である。主な例は対称多項式の環である。対称多項式とは、変数の置換の下で不変な多項式のことである。対称多項式の基本定理は、この環が${\displaystyle R[\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]}$どこ${\displaystyle \sigma _{i}}$これらは基本的な対称多項式です。