ロープの長さ

物理的な結び目理論では、リンクまたは結び目の各実現には、関連付けられたロープの長さがあります。直感的には、これは、特定のリンクまたは結び目を結ぶために必要な、理想的に柔軟なロープの最小の長さです。ロープの長さを最小にする結び目とリンクは、それぞれ理想的な結び目と理想的なリンクと呼ばれます。

結び目のある曲線のロープの長さは、の比率として定義されます。 ここで、 は の長さ、はの結び目の太さです。${\displaystyle C}$${\displaystyle L(C)=\オペレーター名 {Len} (C)/\tau (C)}$${\displaystyle \operatorname {レン} (C)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \tau (C)}$${\displaystyle C}$

結び目のロープの長さを、 を実現するすべての曲線上の最小のロープの長さとして定義することにより、ロープの長さを結び目不変量に変換できます。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

最も初期の結び目理論の疑問の 1 つは、次のように提起されました。

ロープの長さに関して言えば、これはロープの長さ の結び目があるかどうかを問うている。答えは「いいえ」である。四分円曲線を使った議論は、任意の非自明な結び目のロープの長さは少なくとも でなければならないことを示している。 ^[1]しかし、答えの探求は、理論的および計算的両方の観点から研究を刺激した。各リンク タイプにはロープの長さを最小化するものが存在することが示されているが、それは微分可能クラスのみである可能性がある。^{[2] [3]}最も単純な非自明な結び目である三つ葉結び目の場合、コンピューター シミュレーションでは、最小のロープの長さは最大でも 16.372 であることがわかっている。^[1]${\displaystyle 12}$${\displaystyle 15.66}$ ${\displaystyle C^{1}}$

ロープの長さと、結び目の交差数などの他の結び目の不変量との関係を示すために、広範な研究が行われてきました。すべての結び目 に対して、 のロープの長さは に少なくとも比例します。ここで は交差数を表します。^{[4]この下限が厳密である結び目とリンク、つまり}トーラス結び目とホップリンク が存在します。つまり、これらの結び目（ビッグオー記法）に対して、^[3]${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \operatorname {Cr} (K)^{3/4}}$${\displaystyle \operatorname {Cr} (K)}$${\displaystyle (k,k-1)}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle L(K)=O(\operatorname {Cr} (K)^{3/4}).}$$

一方、ロープの長さが交差数自体に比例して長くなる結び目も存在します。これは、交差数の小さいべき乗に比例するわけではありません 。 ^[5]これは、すべての結び目と同様に、ほぼ厳密です。 このほぼ線形の上限の証明では、分割統治論法を使用して、結び目の最小投影を立方格子に平面グラフとして埋め込むことができることを示しています。^[6]しかし、長さが交差数に超線形に依存する結び目族はまだ誰も観察しておらず、厳密な上限は線形であるはずだと推測されています。^[7]$${\displaystyle L(K)=O(\operatorname {Cr} (K)\log ^{5}(\operatorname {Cr} (K))).}$$