二次方程式

二次方程式ax² + bx + c = 0^は、積( px + q )( rx + s ) = 0の形で表すことができる場合があります。場合によっては、簡単な観察によって、2 つの形式が等しくなるようなp、q、r、 sの値を決定できます。二次方程式が 2 番目の形式で書かれている場合、「ゼロ因子の性質」によれば、二次方程式はpx + q = 0またはrx + s = 0の場合に満たされます。これら 2 つの線形方程式を解くと、二次方程式の根が得られます。

ほとんどの学生にとって、目視による因数分解は、彼らが最初に触れる二次方程式の解法です。^{[ 6 ]： 202-207二次方程式が}x ² + bx + c = 0の形で与えられた場合、求める因数分解は( x + q )( x + s )の形になり、合計がbになり、積がcになる2 つの数qとsを見つける必要があります(これは「ヴィエタの規則」^{[ 7 ]}と呼ばれることもあり、ヴィエタの公式に関連しています)。例として、x ² + 5 x + 6は( x + 3)( x + 2)と因数分解されます。aが1 に等しくないより一般的なケースでは、目視による因数分解がそもそも可能であると仮定すると、試行錯誤による推測と確認にかなりの労力が必要になる場合があります。

b = 0またはc = 0のような特殊な場合を除いて、目視による因数分解は有理根を持つ二次方程式にのみ有効です。つまり、実際の応用で発生する二次方程式の大部分は、目視による因数分解では解けません。^{[ 6 ]： 207}

平方完成のプロセスでは、代数恒等式が利用される。$${\displaystyle x^{2}+2hx+h^{2}=(x+h)^{2},}$$^これは、任意の二次方程式を解くために使用できる 明確に定義されたアルゴリズムを表しています。 ^{[ 6 ]： 207}標準形の二次方程式ax² + bx + c = 0から始めます。

1. 両辺を、二乗項の係数であるaで割ります。
2. 両辺から定数項c / aを引きます。
3. xの係数であるb / aの2乗を両辺に加えます。これにより「平方完成」が実現し、左辺が完全平方数になります。
4. 左辺を正方形の形で書き、必要に応じて右辺を簡略化してください。
5. 左辺の平方根を右辺の正の平方根と負の平方根に等しいと置くことで、2つの線形方程式を作成します。
6. 2つの線形方程式をそれぞれ解きなさい。

このアルゴリズムの使用例として、2 x ² + 4 x − 4 = 0を解いてみましょう。$${\displaystyle 2x^{2}+4x-4=0}$$$${\displaystyle \ x^{2}+2x-2=0}$$$${\displaystyle \ x^{2}+2x=2}$$$${\displaystyle \ x^{2}+2x+1=2+1}$$$${\displaystyle \left(x+1\right)^{2}=3}$$$${\displaystyle \ x+1=\pm {\sqrt {3}}}$$$${\displaystyle \ x=-1\pm {\sqrt {3}}}$$

プラスマイナス記号「±」は、両方が${\textstyle x=-1+{\sqrt {3}}}$そして${\textstyle x=-1-{\sqrt {3}}}$これらは二次方程式の解である。^{[ 8 ]}

平方完成を用いると、二次方程式を解くための一般式、すなわち二次方程式の解の公式を導き出すことができる。 ^{[ 9 ]}数学的な証明を以下に簡単にまとめる。^{[ 10 ]}多項式展開により、次の式が二次方程式と等価であること が容易にわかる。$${\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.}$$両辺の平方根 を取り、 xを分離すると、次の式が得られます。 $${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$$

一部の資料、特に古い資料では、二次方程式の代替パラメータ化としてax ² + 2 bx + c = 0またはax ² − 2 bx + c = 0が使用されています^{[ 11 ]。} ここで、b はより一般的な値の半分の大きさで、符号が逆になっている可能性があります。これらの結果、解の形式はわずかに異なりますが、それ以外は同等です。

文献には、いくつかの異なる導出方法が見られる。これらの証明は、標準的な平方完成法よりも簡潔であったり、代数学で頻繁に用いられる他の手法の興味深い応用例であったり、数学の他の分野への洞察を与えたりする。

ミュラー法で用いられるあまり知られていない二次方程式の解の公式は、次の式によって同じ解を与える。 $${\displaystyle x={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.}$$これは、根の積がc / aであることを主張するヴィエタの公式 によって、標準的な二次方程式の解の公式から導き出すことができます。また、二次方程式を で割ることによっても導かれます。${\displaystyle x^{2}}$贈る${\displaystyle cx^{-2}+bx^{-1}+a=0,}$これを解決する${\displaystyle x^{-1},}$そして、それを反転させる。

この形式の特徴の一つは、a = 0 のときに有効な解が一つ得られることです。一方、もう一方の解にはゼロ除算が含まれます。これは、 a = 0 のとき、二次方程式が一次方程式になり、解が一つしか得られないためです。これに対し、より一般的な公式では、一方の解にゼロ除算が含まれ、もう一方の解には不定形0/0が含まれます。また、c = 0のとき、より一般的な公式では正しい解が二つ得られますが、この形式ではゼロ解と不定形0/0が得られます。

aもcもゼロでない場合、標準二次方程式とミュラー法の等式は、 $${\displaystyle {\frac {2c}{-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,,}$$これは、たすき掛け によって検証でき、他の符号の選択についても同様です。

二次方程式の最高次係数が 1 になるように簡約すると便利な場合があります。これは、両辺をaで割ることによって行います。 a はゼロではないので、これは常に可能です。これにより、簡約された二次方程式が得られます。^{[ 12 ]}

$${\displaystyle x^{2}+px+q=0,}$$

ここで、p = b / aおよびq = c / aである。この単項式多項式方程式は、元の方程式と同じ解を持つ。

係数を用いて表した、簡約された二次方程式の解の二次方程式の公式は次のとおりである。 $${\displaystyle x=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}\,.}$$

二次方程式の解の公式では、平方根記号の下にある式は二次方程式の判別式と呼ばれ、大文字のDまたはギリシャ文字の大文字のデルタを使用して表されることが多い。^{[ 13 ]}$${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac.}$$実数係数 を持つ二次方程式は、1つまたは2つの異なる実数解、あるいは2つの異なる複素数解を持つ可能性があります。この場合、判別式によって解の数と性質が決定されます。解の数と性質は次の3つに分けられます。

• 判別式が正の場合、2つの異なる根が存在する。$${\displaystyle {\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}},}$$どちらも実数です。有理係数を持つ二次方程式の場合、判別式が平方数であれば根は有理数になりますが、それ以外の場合は二次無理数になることがあります。
• 判別式がゼロであれば、実根はただ一つ存在する。${\displaystyle -{\frac {b}{2a}},}$重複根、二重根、または2つの等しい根と呼ばれることもある。
• 判別式が負の場合、実根は存在しません。むしろ、2つの異なる（非実数の）複素根が存在します^{[ 14 ]。}$${\displaystyle -{\frac {b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}\quad {\text{and}}\quad -{\frac {b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}},}$$これらは互いに複素共役です。これらの式では、 iは虚数単位です。

したがって、判別式がゼロでない場合のみ根は異なり、判別式が負でない場合のみ根は実数である。

関数f ( x ) = ax ² + bx + cは二次関数です。^{[ 16 ]}任意の二次関数のグラフは、放物線と呼ばれる同じ一般的な形状を持ちます。放物線の位置と大きさ、および開き方は、a、b、cの値に依存します。a > 0 の場合、 放物線は最小点を持ち、上向きに開きます。a < 0 の場合、放物線は最大点を持ち、下向きに開きます。放物線の極点は、最小点でも最大点でも、その頂点に対応します。頂点のx 座標は、次のようになります。${\displaystyle \scriptstyle x={\tfrac {-b}{2a}}}$頂点のy座標は、このx値を関数に代入することで求められます。y切片は点( 0 , c )にあります。

二次方程式ax² + bx + c = 0の解は、^関数f(x) = ax² + bx + c の根に対応します^。なぜなら、それらはf (x) = 0 となる x の値だからです。 a、b、cが実数で、f の定義域が実数の集合である場合、 fの根は、グラフがx軸に接する点のx座標に正確に対応します。判別式が正の場合、グラフはx軸に 2 点で接します。0 の場合は 1 点で接します。負の場合は、グラフはx軸に接しません。

用語 $${\displaystyle x-r}$$ は多項式の因数である $${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$$rが二次方程式の 根である 場合に限る$${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$$ 二次方程式の解の公式から、 $${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right).}$$2次式がただ1つの異なる根（判別式がゼロ）を持つ特殊 な場合b ² = 4 acでは、2次多項式は次のように 因数分解できます。$${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}.}$$

二次方程式の解 $${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$$二次関数のグラフ から得られる$${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,}$$ これは放物線です。

放物線がx軸と 2 点で交わる場合、2 つの実根が存在し、それらはこれらの 2 点のx座標 ( x切片とも呼ばれる) です。

放物線がx軸に接している場合、重根が存在し、それはグラフと放物線の接点のx座標である。

放物線がx軸と交わらない場合、2 つの複素共役根が存在します。これらの根はグラフ上には表示できませんが、その実部と虚部は表示できます。^{[ 17 ]}

hとkをそれぞれ放物線の頂点（つまりy座標が最大または最小となる点）のx座標とy座標とする。二次関数は次のように書き換えることができる。 $${\displaystyle y=a(x-h)^{2}+k.}$$放物線の軸上のy座標2kの点と、放物線上の同じy座標の点との間の距離をd とします(図を参照。放物線の対称性により、同じ距離を与える点が 2 つあります)。このとき、根の実部はhであり、虚部は± dです。つまり、根は $${\displaystyle h+id\quad {\text{and}}\quad h-id,}$$ または図の例の場合 $${\displaystyle 5+3i\quad {\text{and}}\quad 5-3i.}$$

二次方程式の解の公式は厳密な解を与えるものの、数値解析で一般的に行われるように、計算中に実数を近似する場合、結果は厳密ではありません。数値解析では、実数は浮動小数点数（多くのプログラミング言語では「実数」と呼ばれる）で近似されます。このような状況では、二次方程式の解の公式は完全に安定しているとは言えません。

これは、根の大きさが異なる場合、または同等に、b ²とb ² − 4 ac の大きさが近い場合に発生します。この場合、ほぼ等しい 2 つの数を引くと、小さい方の根で有効性が失われたり、壊滅的な打ち消しが発生したりします。これを避けるために、大きさが小さい方の根rは次のように計算できます。${\displaystyle (c/a)/R}$ここで、Rは絶対値が大きい方の根です。これは、次の式を使用することと同等です。

$${\displaystyle x={\frac {-2c}{b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}}$$

プラス記号を使用する場合${\displaystyle b>0}$マイナス記号は${\displaystyle b<0.}$

判別式の項b ²と4 acの間で、つまり 2 つの根が非常に近い場合に、2 つ目の相殺が発生することがあります。これにより、根の正しい有効数字の最大半分が失われる可能性があります。^{[ 11 ] [ 18 ]}

係数a、b、cが複素数、あるいはより一般的には標数が2でない任意の体の要素である場合、この公式とその導出は正しいままです。（標数が 2 の体では、要素2aはゼロであり、それで割ることは不可能です。）

シンボル $${\displaystyle \pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}$$ 式中の は、「そのような要素が存在する場合、その2乗がb ² − 4 acとなる2つの要素のいずれか」と理解されるべきである。体によっては、平方根を持たない要素もあれば、2つの平方根を持つ要素もある。標数2の体を除いて、平方根を1つだけ持つのは0だけである。ある数の平方根を体で持たない場合でも、必ず平方根を持つ二次拡大体が存在するため、その拡大体においては、二次式は常に式として意味を持つ。