フレンドリーな番号

数論において、フレンドリー数とは、共通の過剰指数（ある数の約数の合計とその数自身との比）を持つ2つ以上の自然数のことです。同じ「過剰指数」を持つ2つの数はフレンドリーペアを形成し、同じ過剰指数を持つn個の数はフレンドリーnタプルを形成します。

互いに友好的であることは同値関係であり、したがって正の自然数を互いに友好的な数のクラブ（同値類）に分割することになる。

どの友好的なペアにも属していない数字は、単独の数字と呼ばれます。

nの豊富度指数は有理数σ( n ) / nであり、ここで σ は除数の和関数を表します。数nは、σ( m ) / m = σ( n ) / nとなるm ≠ nが存在する場合にフレンドリー ナンバーです。豊富度は、σ( n ) − 2 nと定義される豊富度とは異なります。

豊富さは次のように表現することもできます。$\displaystyle \sigma _{-1}(n)$どこ$\displaystyle \sigma _{k}}$は除数関数を表し、${\displaystyle \sigma _{k}(n)}$nの約数のk乗の合計に等しい。

1から5までの数字はすべて単独数です。最小のフレンドリー数は6で、例えば、6と28のフレンドリーペアを形成し、その過剰度はσ(6) / 6 = (1+2+3+6) / 6 = 2となります。これはσ(28) / 28 = (1+2+4+7+14+28) / 28 = 2と同じです。この場合、共通値2は整数ですが、他の多くのケースではそうではありません。過剰度2の数は完全数とも呼ばれます。フレンドリー数に関連する未解決の問題がいくつかあります。

名前が似ているにもかかわらず、フレンドリー数とアミカブル数またはソシアブル数の間には特別な関係はないが、後者の2つの定義には除数関数も含まれている。

別の例として、30と140は同じ豊富さを持つため、30と140は友好的なペアを形成します。^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\dfrac {\sigma (30)}{30}}={\dfrac {1+2+3+5+6+10+15+30}{30}}={\dfrac {72}{30}}={\dfrac {12}{5}}}$

${\displaystyle {\dfrac {\sigma (140)}{140}}={\dfrac {1+2+4+5+7+10+14+20+28+35+70+140}{140}}={\dfrac {336}{140}}={\dfrac {12}{5}}.}$

2480、6200、40640という数字もこのクラブのメンバーであり、それぞれが12/5に相当する過剰度を持っています。

奇数が友好的な例としては、135 と 819 (存在量 16/9 (不足)) が挙げられます。偶数が奇数と友好的な例もあり、例えば 42、3472、56896、... ( OEISのシーケンスA347169 )や 544635 (存在量 16/7) などがあります。奇数の友人が偶数の友人よりも少ない場合もあり、例えば 84729645 と 155315394 (存在量 896/351) や 6517665、14705145 と 2746713837618 (存在量 64/27) などが挙げられます。

平方数は友好的な数になり得る。例えば、693479556（26334の平方数）と8640はどちらも127/36の余剰度を持つ（この例はディーン・ヒッカーソンによる）。

小規模なnのステータス

以下の表では、青色の数字は友好的であることが証明されています( OEISのシーケンスA074902 )、赤色の数字は孤立的であることが証明されています( OEISのシーケンスA095739 )、nと${\displaystyle \sigma (n)}$互いに素な数 ( OEISのシーケンスA014567 )は、単独であることがわかっているにもかかわらず、色付けされていません。その他の数 (例: 10、^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} 14、^{[ 7 ]} 15、^{[ 8 ]} 20 ^{[ 9 ]} ) は状態が不明で、黄色で表示されています。

単独のクラブに属する数、つまり他のどの数とも仲良くできない数は、孤立数です。すべての素数は孤立数であることが知られており、素数のべき乗も同様です。より一般的に、数nと σ( n ) が互いに素である場合、つまりこれらの数の最大公約数が 1 であり、σ( n )/ nが既約分数である場合、数nは孤立数です( OEISのシーケンスA014567 )。素数pの場合、σ( p ) = p + 1であり、これはpと互いに素です。

ある数字が友好的な数字なのか、それとも孤立的な数字なのかを判断する一般的な方法は知られていない。

分類が不明な最小の数は10であり、単独数であると推測されている。そうでない場合、その最小の仲間は少なくとも$10^30$[ ^{10 ] [ 11 ]} J. Ward ^{[ 2 ]は}、任意の正の整数が${\displaystyle n}$豊富度指数が10以外の場合${\displaystyle {\frac {9}{5}}}$は、少なくとも 6 つの異なる素因数を持つ平方数でなければならず、最小の素因数は 5 でなければならない。さらに、少なくとも 1 つの素因数は 3 を法として 1 に合同であり、 の素因数分解において 6 を法として 2 に合同な指数で現れなければならない。${\displaystyle n}$HR (Maya) Thackeray ^{[ 3 ]}は、 Nielsen ^{[ 12 ]}の方法を適用して、10 の友達はそれぞれ少なくとも 10 個の異なる素因数を持つことを示した。S. Mandal と S. Mandal ^{[ 4 ]}は、もし${\displaystyle n}$10人の友達で、もし${\displaystyle q_{2},q_{3},q_{4}}$は、${\displaystyle n}$それぞれ

${\displaystyle 7\leq q_{2}<\left\lceil {\frac {7\omega (n)}{3}}\right\rceil {\biggl (}\log \left\lceil {\frac {7\omega (n)}{3}}\right\rceil +2\log \log \left\lceil {\frac {7\omega (n)}{3}}\right\rceil {\biggr )},}$

${\displaystyle 11\leq q_{3}<\left\lceil {\frac {180\omega (n)}{41}}\right\rceil {\biggl (}\log \left\lceil {\frac {180\omega (n)}{41}}\right\rceil +2\log \log \left\lceil {\frac {180\omega (n)}{41}}\right\rceil {\biggr )},}$

${\displaystyle 13\leq q_{4}<\left\lceil {\frac {390\omega (n)}{47}}\right\rceil {\biggl (}\log \left\lceil {\frac {390\omega (n)}{47}}\right\rceil +2\log \log \left\lceil {\frac {390\omega (n)}{47}}\right\rceil {\biggr )},}$

どこ${\displaystyle \omega (n)}$は、の異なる素因数の数です。${\displaystyle n}$そして${\displaystyle \left\lceil \right\rceil }$は天井関数である。後に、S. Mandal ^{[ 6 ]}は最小値に対して であることを証明した。${\displaystyle r}$-th (${\displaystyle r\geq 2}$素因数$q_r$、以下の境界が成り立つ

${\displaystyle q_{r}<\left\lceil {\frac {{\mathcal {A}}\omega (n)}{\mathcal {B}}}\right\rceil {\biggl (}\log \left\lceil {\frac {{\mathcal {A}}\omega (n)}{\mathcal {B}}}\right\rceil +2\log \log \left\lceil {\frac {{\mathcal {A}}\omega (n)}{\mathcal {B}}}\right\rceil {\biggr )},}$

どこ${\displaystyle {\frac {\mathcal {A}}{\mathcal {B}}}>{\frac {1}{{\dfrac {36}{25}}\prod _{i=4}^{r+1}(1-1/p_{i})-1}},}$（どこ${\displaystyle p_{i}}$は${\displaystyle i}$（ 番目の素数）$\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}}$は正の整数で、${\displaystyle ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})=1}$そして${\displaystyle {\frac {\mathcal {A}}{\mathcal {B}}}\in \mathbb {Q} ^{+}\setminus \mathbb {Z} ^{+}}$そのため${\displaystyle {\mathcal {A}}{\mathcal {B}}(r-2)+2{\mathcal {A}}+{\mathcal {B}}>{\mathcal {B}}^{2}}$さらに、S. Mandal ^{[ 5 ]}は、10 の友人の素因数の指数の半分すべてが 1 を法 3 で合同ではないことを証明しました。さらに、彼は、もし${\displaystyle n=5^{2a}\cdot Q^{2}}$（${\displaystyle Q}$は 15 と互いに素な奇数の正の整数であり、10 の友達であるならば、${\displaystyle \sigma (5^{2a})+\sigma (Q^{2})}$が 6 を法 8 と合同であるのは、${\displaystyle a}$均等で、${\displaystyle \sigma (5^{2a})+\sigma (Q^{2})}$が 2 mod 8 と合同であるのは、${\displaystyle a}$奇妙だ。さらに彼は、${\displaystyle n>{\frac {25}{81}}\cdot \prod _{i=1}^{\omega (n)}(2a_{i}+1)^{2}}$、 特に${\displaystyle n>625\cdot 9^{\omega (n)-3}}$設定することで${\displaystyle Q=\prod _{i=2}^{\omega (n)}p_{i}^{a_{i}}}$そして${\displaystyle a=a_{1}}$、 どこ${\displaystyle p_{i}}$素数です。

比較的大きな最小の友人を持つ小さな数も存在します。たとえば、24 は友好的で、その最小の友人は 91,963,648 です。^{[ 10 ] [ 11 ]}

互いに友好的な数の無限大のクラブが存在するかどうかは未解決問題である。完全数はクラブを形成し、完全数は無限に存在する（少なくともメルセンヌ素数と同じ数）と推測されているが、証明は知られていない。より多くのメンバーが知られているクラブも存在する。特に、過剰数が整数である多重完全数によって形成されるクラブである。多重完全数のクラブの中にはかなり大きいものもあることが知られているが、（完全数自体を除く）多重完全数のクラブは有限であると推測されている。

友好的な数のペアa、bは、 gcd ( n、ab ) = 1となる乗数nのペアna、nbを考慮することにより、すべての自然数の正の割合が友好的である (ただし、異なるクラブに属する) ことになります。たとえば、「原始的」な友好的なペア 6 と 28 は、1、5、11、13、17、19、23、25、29、31、37、または 41 を法 42 とするすべてのnに対して、友好的なペア 6 nと 28 n を生み出します。 ^{[ 13 ]}

これは、友好的な数の自然な密度（もし存在するならば）が正であることを示している。

アンダーソンとヒッカーソンは、密度は実際には1であるべきだ（あるいは同等に、孤立数の密度は0であるべきだ）と提案した。^{[ 13 ]} MathWorldの孤立数に関する記事（下記の参考文献セクションを参照）によると、この予想は解決されていないが、ポメランスはかつてそれを反証したと考えていた。

• グライム、ジェームズ。数字の10についてのビデオ。ナンバーファイル。
• ワイススタイン、エリック・W. 「フレンドリーナンバー」 . MathWorld .
• ワイススタイン、エリック・W. 「フレンドリーペア」 . MathWorld .
• ワイススタイン、エリック・W. 「孤立数」 . MathWorld .
• ワイススタイン、エリック・W. 「豊富さ」 . MathWorld .