合同部分群

数学において、整数要素を持つ行列群の合同部分群は、要素の合同条件によって定義される部分群です。非常に単純な例としては、非対角要素が偶数である、行列式1 の可逆な2 × 2整数行列の部分群があります。より一般的には、合同部分群の概念は、代数群の算術部分群、つまり「積分構造」の概念を持ち、整数を法とする縮小写像を定義できる部分群に対して定義できます。

等差群に合同部分群が存在すると、その群には豊富な部分群が与えられ、特に群が残差有限であることが示されます。等差群の代数構造に関する重要な問題は、合同部分群問題であり、有限指数の部分群はすべて本質的に合同部分群であるかどうかを問うものです。

2 × 2行列の合同部分群は、モジュラー形式の古典理論における基本的な対象です。現代の保型形式の理論では、より一般的な算術群において合同部分群を同様に使用します。

合同な部分群を研究できる最も単純で興味深い設定は、モジュラー群の設定である。[ 1 ^]${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

が整数の場合、⁠ ⁠の縮約法によって誘導される準同型性があります。⁠ ⁠ のレベルの主合同部分群は⁠ ⁠の核であり、通常は⁠ ⁠と表記されます。明示的には次のように記述されます。 ${\displaystyle n\geqslant 1}$${\displaystyle \pi _{n}:\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\to \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \pi_{n}}$${\displaystyle \Gamma (n)}$

${\displaystyle \Gamma (n)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ):a,d\equiv 1{\pmod {n}},\quad b,c\equiv 0{\pmod {n}}\right\}}$

この定義は、 ⁠ ⁠における有限指数の正規部分群であることが直ちに意味します。強近似定理（この場合は中国剰余定理の簡単な帰結）は、が全射であることを意味し、したがって商は⁠ ⁠に同型です。この有限群の位数を計算すると、指数の次の式が得られます。 ${\displaystyle \Gamma (n)}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \pi_{n}}$${\displaystyle \Gamma /\Gamma (n)}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle [\Gamma :\Gamma (n)]=n^{3}\cdot \prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)}$

ここで、積はすべての素数にわたって求められ、⁠ ⁠${\displaystyle n}$を割ります。

ならば、 の任意の有限部分群への制限は単射である。これは次の結果を意味する。 ${\displaystyle n\geqslant 3}$${\displaystyle \pi_{n}}$${\displaystyle \ガンマ}$

ならば、主合同部分群は捩れなしになります。${\displaystyle n\geqslant 3}$${\displaystyle \Gamma (n)}$

群はを含み、捩れなしではありません。一方、 の像は捩れなしであり、双曲平面をこの部分群で割った商は 3 つの尖端を持つ球面です。 ${\displaystyle \Gamma (2)}$${\displaystyle -\operatorname {Id} }$${\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

⁠ ⁠に含まれる主合同部分群が存在するとき、 ⁠ ⁠内の部分群は合同部分群 と呼ばれます。 ⁠ ⁠のレベルは、そのような⁠ ⁠ の最小値です。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle n\geqslant 1}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \Gamma (n)}$ ${\displaystyle l}$${\displaystyle H}$${\displaystyle n}$

この定義から次のことが分かります。

• 合同部分群は⁠ ⁠${\displaystyle \ガンマ}$において有限の指数を持ちます。
• レベルの合同な部分群は、⁠ ⁠の部分群と 1 対 1 に対応します。${\displaystyle \ell}$${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} /\ell \mathbb {Z} )}$

部分群⁠ ⁠は、レベル${\displaystyle \Gamma _{0}(n)}$⁠ ⁠のヘッケ合同部分群とも呼ばれ、上三角行列の群の逆像として定義されます。つまり、 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \pi_{n}}$

${\displaystyle \Gamma _{0}(n)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma :c\equiv 0{\pmod {n}}\right\}.}$

インデックスは次の式で与えられます。

${\displaystyle [\Gamma :\Gamma _{0}(n)]=n\cdot \prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)}$

ここで、積は⁠ ⁠${\displaystyle n}$を割り切れるすべての素数に対して取られます。が素数である場合、 は有限体⁠ ⁠上の射影直線と自然一対一であり、におけるの (左または右) 剰余類の明示的な表現は次の行列です。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle \Gamma /\Gamma _{0}(p)}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle \Gamma _{0}(p)}$${\displaystyle \ガンマ}$

${\displaystyle \operatorname {Id} 、{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}},\ldots 、{\begin{pmatrix}1&0\\p-1&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

部分群は必ず行列⁠ ⁠を含むため、ねじれがないことはありません。 の像にもねじれ元が含まれるようなものは無限に存在します。 ${\displaystyle \Gamma _{0}(n)}$${\displaystyle -I}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Gamma _{0}(n)}$${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

この部分群は、単元行列の部分群の逆像である。 ${\displaystyle \Gamma _{1}(n)}$

${\displaystyle \Gamma _{1}(n)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma :a,d\equiv 1{\pmod {n}},c\equiv 0{\pmod {n}}\right\}.}$

それらのインデックスは次の式で与えられます。

${\displaystyle [\Gamma :\Gamma _{1}(n)]=n^{2}\cdot \prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)}$

シータ部分群は 、によって生成される位数2の巡回群の逆像として定義されるの合同部分群である。これは指数3であり、次のように明示的に記述される: ^[2]${\displaystyle \Lambda}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle \Lambda =\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma :ac\equiv 0{\pmod {2}},bd\equiv 0{\pmod {2}}\right\}.}$

これらのサブグループは、次の包含関係を満たします: ⁠ ⁠${\displaystyle \Gamma (n)\subset \Gamma _{1}(n)\subset \Gamma _{0}(n)}$、および⁠ ⁠${\displaystyle \Gamma (2)\subset \Lambda }$。

モジュラー群の合同部分群とそれに関連するリーマン面は、特に優れた幾何学的および位相的特性によって区別されます。次に例を示します。

• モジュラー曲面の種数ゼロの合同被覆は有限個しか存在しない。^[3]
• （セルバーグの 3/16 定理） が、固有値を持つモジュラー曲面の合同被覆上のラプラス-ベルトラミ作用素の非定数固有関数である場合、 ⁠ ⁠となります。${\displaystyle f}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda \geqslant {\tfrac {3}{16}}}$

また、合同被覆上の滑らかな関数に対するヘッケ作用素と呼ばれる一群の優れた作用素があり、これらは互いに可換であり、ラプラス・ベルトラミ作用素とも可換であり、後者の各固有空間において対角化可能である。それらの共通固有関数は保型形式の基本的な例である。これらの合同部分群に関連付けられた他の保型形式は正則モジュラー形式であり、これはアイヒラー・シムラ同型を介して関連付けられたリーマン面上のコホモロジー類として解釈できる。

inの正規化子 が調査されました。 1970 年代にJean-Pierre Serre、Andrew Ogg、John G. Thompsonによって得られた結果の 1 つは、対応するモジュラー曲線(双曲平面の商を⁠ ⁠で割った結果のリーマン面) の種数が0 である (つまり、モジュラー曲線はリーマン球面である)のは、 ⁠ ⁠が 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、41、47、59、または 71 の場合に限る、というものです。Ogg は後にモンスター群について聞いたとき、これらがまさに⁠ ⁠のサイズの素因数であることに気づき、この事実を説明できる人にジャック ダニエルのウイスキーを 1 本提供するという論文を書き上げました。これが、モジュラー関数理論とモンスター群の深いつながりを説明するモンスター密造酒の理論の出発点となりました。 ${\displaystyle \Gamma _{0}(p)^{+}}$${\displaystyle \Gamma _{0}(p)}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \Gamma _{0}(p)^{+}}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$

算術群の概念は、⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} )}$の基本的な例に基づいた広範な一般化です。一般に、定義を与えるには、 ⁠ ⁠上で定義された半単純代数群 と、 ⁠ ⁠から⁠ ⁠への同じく⁠ ⁠上で定義された忠実な表現⁠ ⁠が必要です。すると、 ⁠ ⁠ の算術群は、⁠ ⁠の有限指数部分格子の安定群において有限指数である任意の群です。 ${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathrm {GL} _{d}}$${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \Gamma \subset \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$

を算術群とします。簡単にするために、⁠ ⁠と仮定する方がよいでしょう。 の場合と同様に、簡約射⁠ ⁠が存在します。 の主合同部分群を の核(表現⁠ ⁠に先験的に依存する場合があります)と定義し、の合同部分群を主合同部分群 (表現に依存しない概念) を含む任意の部分群と定義できます。これらは有限群⁠ ⁠の部分群に対応する有限インデックスの部分群であり、レベルが定義されています。 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \pi _{n}:\Gamma \to \mathrm {GL} _{d}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \pi _{n}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \pi _{n}(\Gamma )}$

の主合同部分群は、次によって与えられる部分群である。 ${\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \Gamma (n)}$

${\displaystyle \Gamma (n)=\left\{(a_{ij})\in \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} ):\forall i\,a_{ii}\equiv 1{\pmod {n}},\,\forall i\neq j\,a_{ij}\equiv 0{\pmod {n}}\right\}}$

合同部分群は の部分群に対応する。 ${\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$

算術群の別の例は、 が数体 内の整数環である場合の群によって与えられます (例: ⁠ ⁠ )。 が有理素数を割り切る素イデアルである場合、を法とする縮小写像の核である部分群は、 ⁠ ⁠を法とする縮小によって定義される主合同部分群を含むため、合同部分群です。 ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(O)}$${\displaystyle O}$${\displaystyle O=\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \Gamma ({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle p}$

さらに別の算術群は、次のように定義されるシーゲル・モジュラー群 ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$です。

${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )=\left\{\gamma \in \mathrm {GL} _{2g}(\mathbb {Z} ):\ \gamma ^{\mathrm {T} }{\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\gamma ={\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\right\}.}$

⁠ ⁠の場合には⁠ ⁠ となることに注意。のシータ部分群は、との両方が偶数の対角要素を持つようなすべての集合である。^[4]${\displaystyle g=1}$${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2}(\mathbb {Z} )=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Gamma _{\vartheta }^{(n)}}$${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}}\right)\in \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle AB^{\top }}$${\displaystyle CD^{\top }}$

与えられた算術群の合同な部分群の族は、常に Lubotzky–Zimmer の性質 (τ) を持ちます。^[5]これは、それらのSchreier 剰余類グラフの族のCheeger 定数( ⁠ ⁠の固定された生成集合に関して) が 0 から一様に制限されている、言い換えればそれらは拡張グラフの族である、という意味に取ることができます。表現論的な解釈もあります。 ⁠ ⁠ がリー群⁠ ⁠の格子である場合、性質 (τ) は、自明な表現から制限されている空間で発生する⁠ ⁠の非自明なユニタリ表現と同等です ( ⁠ ⁠のユニタリ双対上のFell 位相において)。性質 (τ) は、すべての有限指数部分群の族が性質 (τ) を持つことを意味するKazhdan の性質 (T)の弱めです。 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle L^{2}(G/\Gamma )}$${\displaystyle G}$

が -群でが素数の有限集合である場合、の -算術部分群は、⁠ ⁠の代わりにを用いた算術部分群として定義されます。基本的な例は⁠ ⁠です。 ${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle S=\{p_{1},\ldots ,p_{r}\}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p_{1},\ldots ,1/p_{r}])}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {SL} _{d}(\mathbb {Z} [1/p_{1},\ldots ,1/p_{r}])}$

を代数群 ⁠ ⁠ の -算術群とします。が⁠ ⁠内のどの素数でも割り切れない整数である場合、すべての素数は⁠ ⁠を法として可逆であり、射⁠ ⁠が存在することになります。したがって、 ⁠ ⁠内の合同部分群を定義することが可能であり、そのレベルは常に⁠ ⁠内のすべての素数と互いに素です。 ${\displaystyle \Gamma _{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {G} \subset \operatorname {GL} _{d}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \pi _{n}:\Gamma _{S}\to \mathrm {GL} _{d}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \Gamma _{S}}$${\displaystyle S}$

の合同な部分群は有限指数部分群です。これらが⁠ ⁠のすべての有限指数部分群を説明するかどうかを尋ねるのは自然なことです。答えは断固として「いいえ」です。この事実はフェリックス・クラインがすでに知っていたもので、多くの非合同な有限指数部分群を示す方法は多数あります。たとえば、 ${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \Gamma }$

1. 商 ⁠ ⁠ の合成級数における単純群（ここでは正規合同部分群）は、リー型（または巡回）の単純群でなければならず、実際は素数 ⁠ ⁠ の群の1つです。しかし、任意の ⁠ ⁠に対して、交代群と同型となる有限指数部分群が存在します（たとえば、2つの生成元を持つ任意の群、特にすべての交代群上の全射や、これらの射の核が例を示します）。したがって、これらの群は非合同でなければなりません。${\displaystyle \Gamma /\Gamma '}$${\displaystyle \Gamma '}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {F} _{p})}$${\displaystyle p}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \Gamma '\subset \Gamma }$${\displaystyle \Gamma /\Gamma '}$ ${\displaystyle A_{m}}$${\displaystyle \Gamma (2)}$
2. 全射⁠ ⁠${\displaystyle \Gamma (2)\to \mathbb {Z} }$が存在します。十分に大きい場合、 の核は非合同でなければなりません (これを確認する 1 つの方法は、シュライアー グラフの Cheeger 定数が 0 になることです。前の項目の精神に基づいた簡単な代数的証明もあります)。${\displaystyle m}$${\displaystyle \Gamma (2)\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$
3. 指数の合同な部分群の数は⁠ ⁠ を満たします。一方、指数の有限指数の部分群の数は⁠ ⁠ を満たすので、有限指数の部分群のほとんどは非合同でなければなりません。^[6]${\displaystyle c_{N}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle N}$${\displaystyle \log c_{N}=O\left((\log N)^{2}/\log \log N\right)}$${\displaystyle a_{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle N\log N=O(\log a_{N})}$

モジュラー群の場合と同じ質問を任意の算術群に対して行うことができます。

単純な合同部分群問題: 算術群が与えられた場合、その有限指数部分群はすべて合同部分群でしょうか?

この問題には肯定的な解が存在する可能性がある。その起源は、の場合とは対照的に、のすべての有限指数部分群が合同部分群であるとき、が成り立つことを証明した Hyman Bass 、Jean- Pierre SerreおよびJohn Milnor 、Jens Mennicke の研究にある。Bass–Milnor–Serre による解決法は、 K 理論に関連する代数的整数論の側面を含んでいた。^[7]一方、数体上の Serre の研究は、場合によっては素朴な質問に対する答えが「いいえ」であるが、問題を少し緩和すると肯定的な答えが得られることを示している。^[8]${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle n\geqslant 3}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}}$

この新しい問題は、算術群⁠ ⁠${\displaystyle \Gamma }$に関連付けられた特定のコンパクトな位相群の観点から表現した方が適切です。 上の位相があり、その位相では自明な部分群の近傍の基数が有限指数の部分群の集合になります (プロ有限位相)。また、合同部分群のみを使用して同じように定義された別の位相があります。プロ有限位相は ⁠ ⁠ の完備化 ⁠ ⁠ を生じ、"合同"位相は別の完備化⁠ ⁠を生じます。どちらもプロ有限群であり、自然な射影射があります(直感的に、コーシー列が従う条件は、プロ有限位相よりも合同位相の方が少なくなります)。 ^{[9] [10]}合同核はこの射の核であり、上記の合同部分群問題は、が自明であるかどうかという問題になります。結論を弱めると、次の問題が導かれます。 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle {\widehat {\Gamma }}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle {\overline {\Gamma }}}$${\displaystyle {\widehat {\Gamma }}\to {\overline {\Gamma }}}$ ${\displaystyle C(\Gamma )}$${\displaystyle C(\Gamma )}$

合同部分群問題: 合同核は有限か?${\displaystyle C(\Gamma )}$

問題に正の解がある場合、 は合同部分群の性質を持つという。一般にセールの仮説とされる仮説では、半単純リー群の既約算術格子が合同部分群の性質を持つのは、の実数階数が少なくとも 2 である場合のみである、とされている。たとえば、 の格子は常に性質を持つはずである。 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{3}(\mathbb {R} )}$

セールの予想によれば、階数 1 のリー群の格子は合同部分群の性質を持たないはずである。そのような群には、直交群 、ユニタリ${\displaystyle \mathrm {SO} (d,1),d\geqslant 2}$群、 群(ハミルトン四元数上の半直線形の等長群)、および例外群(単純リー群の一覧を参照) の 3 つの族がある。合同部分群問題の現在の状況は以下のとおりである。 ${\displaystyle \mathrm {SU} (d,1),d\geqslant 2}$${\displaystyle \mathrm {Sp} (d,1),d\geqslant 2}$${\displaystyle F_{4}^{-20}}$

• これは、 ⁠ ⁠ を持つすべてのグループに対して負の解（予想を裏付ける）を持つことが知られています。証明では2と同じ議論を使用します。 の場合：一般的なケースでは⁠ ⁠への全射を構築することははるかに難しく、証明はすべてのケースで一様ではなく、三元数現象のために次元7のいくつかの格子では証明が失敗します。 [ ^{11] [12]}次元2と3、およびより高次元の一部の格子では、議論1と3も適用されます。${\displaystyle \mathrm {SO} (d,1)}$${\displaystyle d\neq 7}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• これは の多くの格子に対して知られているが、すべてに対して知られているわけではない（ここでも議論2の一般化を用いる）。^[13]${\displaystyle \mathrm {SU} (d,1)}$
• 残りのすべてのケースでは完全にオープンです。

合同部分群問題が正の解を持つことが期待される多くの状況において、これが実際に当てはまることが証明されている。以下は、関連するリー群の階数（またはより一般的には、⁠ ⁠ ⁠算術群の場合は実数因子と⁠ ⁠ ⁠${\displaystyle p}$進因子の階数の合計）が少なくとも2の場合、関連する算術格子に対して合同部分群の性質が成り立つことが知られている代数群のリストである：^[14]${\displaystyle S}$

• 任意の非異方性群（これには Bass–Milnor–Serre が扱うケースのほか、⁠ ⁠、その他多数が含まれます）。${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$${\displaystyle \min(p,q)>1}$
• 型でない任意の群（例えば、実階数のシンプレクティック群または直交群のすべての異方性形式）${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle \geqslant 2}$
• エルミート形式のユニタリ群。

型の内外形式の場合はまだ未解決である。型の内外形式の場合の代数群は、中心単純除算代数の単位群に関連付けられたものである。例えば、コンパクト商を持つ格子またはコンパクト商を持つ格子では、合同部分群の性質は知られていない。^[15]${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{3}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

アデールの環は 、⁠ ⁠のすべての完備化の制限積、すなわち ${\displaystyle \mathbb {A} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \mathbb {A} =\mathbb {R} \times \prod _{p}'\mathbb {Q} _{p}}$

ここで、積はすべての素数の集合上にあり、はp進数の体であり、要素が制限積に属するのは、ほとんどすべての素数⁠ ⁠に対して、がp進整数の部分環に属する場合のみです。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle (x,(x_{p})_{p\in {\mathcal {P}}})}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x_{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

上の任意の代数群が与えられると、アデル代数群は明確に定義されます。アデルは標準位相を持つことができ、が線型代数群である場合、⁠ ⁠のサブセットとしての位相になります。有限アデルは、すべての非アルキメデス完備化（すべてのp進体）の制限された積です。 ${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {A} )}$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbb {A} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{f}}$

が算術群である場合、その合同部分群は次の性質によって特徴付けられます:が合同部分群である場合と、その閉包がコンパクト開部分群である場合（コンパクト性は自動的に得られる）かつ⁠ ⁠である場合に限ります。一般に、群は⁠ ⁠におけるの合同閉包に等しく、 ⁠ ⁠ 上の合同位相は⁠ ⁠の部分群としての誘導位相であり、特に、合同完備化はその群におけるその閉包です。これらの注釈は⁠ ⁠ ⁠ -算術部分群にも当てはまり、有限アデルの環を⁠ ⁠にないすべての素数上の制限積に置き換えます。 ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$${\displaystyle H\subset \Gamma }$${\displaystyle {\overline {H}}\subset \mathbf {G} (\mathbb {A} _{f})}$${\displaystyle H=\Gamma \cap {\overline {H}}}$${\displaystyle \Gamma \cap {\overline {H}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {A} _{f})}$${\displaystyle {\overline {\Gamma }}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

より一般的には、固定された算術部分群を明示的に参照することなく、部分群が合同部分群であることが何を意味するのかを、その合同閉包⁠ ⁠と等しいことを要求することによって定義できます。したがって、離散部分群⁠ ⁠を見ることで、すべての合同部分群を一度に調べることが可能です。これは、保型形式の理論では特に便利です。たとえば、アーサー・セルバーグのトレース公式の現代的な扱いはすべて、このアデリック設定で行われます。 ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$${\displaystyle {\overline {\Gamma }}\cap \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {Q} )\subset \mathbf {G} (\mathbb {A} )}$

• ルボツキー、アレクサンダー。ダン・シーガル (2003)。サブグループの成長。ビルクホイザー。ISBN 3-7643-6989-2。
• プラトーノフ、ウラジミール、ラピンチュク、アンドレイ (1994)。代数群と数論。(1991 年のロシア語原文からレイチェル・ローウェンが翻訳。)純粋および応用数学。第 139 巻。ボストン、マサチューセッツ州: Academic Press, Inc. ISBN 0-12-558180-7. MR  1278263。
• Sury, B. (2003)。合同部分群問題。ヒンドゥスタン・ブック・エージェンシー。ISBN 81-85931-38-0。