等差数列

等差数列、等差数列、または線形数列^{[ 1 ]}は、次の項と前の項との差が数列全体を通して一定であるような数列です。この一定の差を等差数列の公差と呼びます。たとえば、数列5、7、9、11、13、15、...は公差が2の等差数列です。

等差数列の最初の項が${\displaystyle a_{1}}$そして連続するメンバーの共通差は${\displaystyle d}$すると、${\displaystyle n}$数列の 番目の項 (${\displaystyle a_{n}}$) は次のように与えられる

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d.}$

等差数列の有限部分を有限等差数列といい、単に等差数列と呼ぶこともある。有限等差数列の和を等差級数と呼ぶ。

信憑性に疑問のある逸話によると、^{[ 2 ]}カール・フリードリヒ・ガウスは小学校で公式を再発明した。${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$1からまでの整数を合計する${\displaystyle n}$の場合${\displaystyle n=100}$数列の両端の数字を合計が 101 になるペアにグループ化し、そのペアの数を掛けることで、この数式が成り立つ。この話の真偽はともかく、ガウスがこの公式を最初に発見したわけではない。同様の法則は、古代ではアルキメデス、ヒュプシクレス、ディオファントス^{[ 3 ]}、中国では張秋堅、インドではアーリヤバタ、ブラフマグプタ、バースカラ 2 世[ ^{4 ] 、}中世ヨーロッパではアルクイン^{[ 5 ]} 、ディクイル^{[ 6 ]} 、フィボナッチ^{[ 7 ]} 、サクロボスコ[ ^{8 ]}、そしてトサフィストとして知られるタルムードの匿名の注釈者^{[ 9 ]に知られていた}。その起源は紀元前 5 世紀のピタゴラス派に遡ると考える人もいる^{[ 10 ] 。}

有限等差数列の各項の和を等差級数と呼びます。例えば、次の和を考えてみましょう。

${\displaystyle 2+5+8+11+14=40}$

この和は、加算される項の数n (ここでは 5)を取り、数列の最初と最後の数の和 (ここでは 2 + 14 = 16) を掛け、2 で割ることで簡単に求めることができます。

${\displaystyle {\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}$

上記の場合、次の式が得られます。

${\displaystyle 2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.}$

この公式は、${\displaystyle a_{1}}$そして最後に${\displaystyle a_{n}}$。 例えば、

${\displaystyle \left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.}$

導出

上記の公式を導出するには、まず等差数列を2つの異なる方法で表現することから始めます。

${\displaystyle S_{n}=a+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{(n-1)}+a_{n}}$

${\displaystyle S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\dots +(a+(n-2)d)+(a+(n-1)d).}$

用語を逆順に書き直すと次のようになります。

${\displaystyle S_{n}=(a+(n-1)d)+(a+(n-2)d)+\dots +(a+2d)+(a+d)+a.}$

2つの等式の両辺の対応する項を足し合わせ、両辺を半分にする。

${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d].}$

この式は次のように簡略化できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {n}{2}}[a+a+(n-1)d].\\&={\frac {n}{2}}(a+a_{n}).\\&={\frac {n}{2}}({\text{initial term}}+{\text{last term}}).\end{aligned}}}$

さらに、系列の平均値は次のように計算できます。${\displaystyle S_{n}/n}$:

${\displaystyle {\overline {a}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.}$

この公式は、等差数列を等確率の結果の集合として解釈することで、離散一様分布の平均を求める公式と本質的に同じである。

初項a ₁、公差d、合計n個の要素を持つ有限等差数列の各要素の積は、閉じた式で求められる。

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}&=a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)\cdots (a_{1}+(n-1)d)\\[1ex]&=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)=d^{n}{\frac {\Gamma {\left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}}{\Gamma {\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle \Gamma }$はガンマ関数を表します。この式は、次の場合には有効ではありません。${\displaystyle a_{1}/d}$負の値またはゼロです。

これは、数列の積が${\displaystyle 1\times 2\times \cdots \times n}$階乗によって与えられる${\displaystyle n!}$そしてその製品は

${\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n}$

正の整数に対して${\displaystyle m}$そして${\displaystyle n}$は

${\displaystyle {\frac {n!}{(m-1)!}}.}$

等差数列の標準偏差は

${\displaystyle \sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}}$

どこ${\displaystyle n}$は数列の項数であり、${\displaystyle d}$は項間の共通差です。この式は、等差数列を等確率の結果の集合として解釈することで、離散一様分布の標準偏差の式と本質的に同じです。

任意の 2 つの二重無限等差数列の共通部分は空集合であるか、または別の等差数列であり、これは中国剰余定理を使用して見つけることができます。二重無限等差数列の族の各数列のペアが空集合でない共通部分を持つ場合、それらすべてに共通する数が存在し、つまり、無限等差数列はヘリー族を形成します。^{[ 11 ]}ただし、無限に多くの無限等差数列の共通部分は、それ自体が無限数列ではなく、単一の数である可能性があります。

させて${\displaystyle a(n,k)}$長さの算術部分集合の数を表す${\displaystyle k}$セットから作ることができる${\displaystyle \{1,\cdots ,n\}}$そして${\displaystyle \phi (\eta ,\kappa )}$次のように定義される：

${\displaystyle \phi (\eta ,\kappa )={\begin{cases}0&{\text{if }}\kappa \mid \eta \\\left(\left[\eta \;({\text{mod }}\kappa )\right]-2\right)\left(\kappa -\left[\eta \;({\text{mod }}\kappa )\right]\right)&{\text{if }}\kappa \not \mid \eta \\\end{cases}}}$

それから：

${\displaystyle {\begin{aligned}a(n,k)&={\frac {1}{2(k-1)}}\left(n^{2}-(k-1)n+(k-2)+\phi (n+1,k-1)\right)\\&={\frac {1}{2(k-1)}}\left((n-1)(n-(k-2))+\phi (n+1,k-1)\right)\end{aligned}}}$

例えば、${\textstyle (n,k)=(7,3)}$期待されるのは${\textstyle a(7,3)=9}$算術的部分集合であり、直接数えると9つあることがわかります。これらは${\textstyle \{1,2,3\},\{2,3,4\},\{3,4,5\},\{4,5,6\},\{5,6,7\},\{1,3,5\},\{3,5,7\},\{2,4,6\},\{1,4,7\}.}$

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• 「等差数列」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• ワイススタイン、エリック W. 「等差数列」 . MathWorld .
• ワイススタイン、エリック W. 「等差数列」 . MathWorld .