リーマンゼータ関数

N ( T )を、虚部が区間0 < Im( s ) < Tにある臨界帯0 < Re( s ) < 1内のζ ( s )の零点の数とする。Timothy Trudgian は、 T > eの場合、^{[ 13 ]}が成り立つことを証明した。

${\displaystyle \left|N(T)-{\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi e}}\right|\leq 0.112\log T+0.278\log \log T+3.385+{\frac {0.2}{T}}}$。

1914年、GHハーディはζ(1/2 + it )が無限に多くの実数零点を持つことを証明した。 ^{[ 14 ] [ 15 ]}

ハーディとJEリトルウッドは、大きな正の実数の区間におけるζ (1/2 + it )の零点の密度と零点間の距離に関する2つの予想を定式化した。以下では、N ( T )は区間(0, _T ]にある関数ζ (1/2 + it )の実零点の総数、 N0 ( T )は奇数次の零点の総数である。

これら二つの予想は、リーマンゼータ関数の研究に新たな方向性を開いた。

リーマンゼータ関数の零点の位置は、数論において非常に重要です。素数定理は、直線Re( s ) = 1上にゼータ関数の零点が存在しないという事実と同等です。^{[ 16 ]}また、直線Re( s ) = 1のわずかに左側の特定の領域、いわゆる零点のない領域には零点が存在しないことも知られています。例えば、Korobov ^{[ 17 ]}と Vinogradov ^{[ 18 ]}は、 Vinogradov の平均値の定理を用いて、 | t |が十分に大きい場合、ζ ( σ + it ) ≠ 0 となることを独立に示しました。

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {c}{(\log |t|)^{2/3+\varepsilon }}}}$

任意のε > 0およびεに依存する数c > 0に対して。漸近的に、これはゼータ関数の既知の最大のゼロフリー領域である。

明示的なゼロフリー領域も知られています。PlattとTrudgian ^{[ 19 ]は}、 σ ≠ 1/2かつ| t | ≤ 3⋅10 ¹²の場合、 ζ ( σ + it ) ≠ 0である ことを計算によって検証しました。Mossinghoff、Trudgian、Yangは^{[ 20 ]}、ζにはその領域にゼロがないことを証明しました。

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{5.558691\log |t|}}}$

| t | ≥ 2の場合、これは3⋅10 ¹² < | t | < exp(64.1) ≈ 7⋅10 ²⁷の臨界帯で知られている最大のゼロフリー領域です(以前の結果については^{[ 21 ]}を参照)。Yang ^{[ 22 ]}は、 ζ ( σ + it ) ≠ 0 となるのは、

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {\log \log |t|}{21.233\log |t|}}}$そして${\displaystyle |t|\geq 3}$

これは、exp(170.2) < | t | < exp(4.8⋅10⁵ ⁾に対して知られている最大のゼロフリー領域である。ベロッティは^{[ 23 ]}（フォードの研究^{[ 24 ]}に基づいて）ゼロフリー領域を証明した。

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{53.989(\log |t|)^{2/3}(\log \log |t|)^{1/3}}}}$そして${\displaystyle |t|\geq 3}$。

これは、固定された| t | ≥ exp(4.8⋅10 ⁵ )に対して知られている最大のゼロフリー領域です。Bellotti はまた、十分に大きな| t |に対して、次のより良い結果が知られていることを示しました: ζ ( σ + it ) ≠ 0の場合

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{48.0718(\log |t|)^{2/3}(\log \log |t|)^{1/3}}}.}$

この種の結果の中で最も期待できるのは、リーマン予想の正しさであり、それは数論において多くの重大な結果をもたらすだろう。

臨界線上には無限に多くの零点が存在することが知られている。リトルウッドは、数列 ( γn ₎が上半平面上のすべての零点の虚部を昇順で含む場合、

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\gamma _{n+1}-\gamma _{n}\right)=0.}$

臨界線定理は、非自明な零点の正の割合が臨界線上に存在すると主張する。（リーマン予想によれば、この割合は1である。）

臨界帯では、最小の非負の虚部を持つ零点は1/2 + 14.13472514... i ( OEIS : A058303  ) です。すべての複素数s ≠ 1に対して、

${\displaystyle \zeta (s)={\overline {\zeta ({\overline {s}})}}}$

これは、リーマンゼータ関数の零点が実軸に関して対称であることを意味します。さらに、この対称性を関数方程式と組み合わせると、非自明な零点が臨界線Re( s ) = 1/2に関して対称であることがわかります。

また、実数部1の直線上にはゼロが存在しないことも知られています。

リーマンゼータ関数と同じ非自明な零点を共有する修正ゼータ関数の大きなクラスが存在する。ここで修正とは、オイラー積の素数を実数に置き換えることを意味し、これはグロスワルドとシュニッツァーの結果で示された。

ゼータ関数の逆数は、メビウス関数μ ( n )に関するディリクレ級数として表すことができる。

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

実部が1より大きいすべての複素数sに対して。さまざまなよく知られた乗法関数を含む同様の関係が多数あります。これらはディリクレ級数に関する記事に記載されています。

リーマン予想は、 sの実部が1/2より大きい場合にこの式が成り立つという主張と同等である。

リーマンゼータ関数の臨界帯は、普遍性という驚くべき性質を持つ。このゼータ関数の普遍性は、おおよそ、垂直方向の平行移動が${\displaystyle \zeta (s)}$ストリップの適切なコンパクト部分集合上の任意の非零正則関数を均一に近似することができる${\displaystyle 1/2<\operatorname {Re} (s)<1}$正則関数は非常に一般的であるため、この性質は非常に注目に値する。普遍性の最初の証明は、1975 年にセルゲイ・ミハイロヴィッチ・ヴォロニンによって提供された。 ^{[ 30 ]}最近の研究では、ヴォロニンの定理の有効バージョン^{[ 31 ]}や、それをディリクレL関数に拡張することなどが含まれている。^{[ 32 ] [ 33 ]}

関数F ( T ; H )およびG ( s ₀ ; Δ)を次の等式で定義する。

${\displaystyle F(T;H)=\max _{|t-T|\leq H}\left|\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)\right|,\qquad G(s_{0};\Delta )=\max _{|s-s_{0}|\leq \Delta }|\zeta (s)|.}$

ここでTは十分に大きな正の数であり、0 < H ≪ log log T、s ₀ = σ ₀ + iT、1/2 ≤ σ ₀ ≤ 1、0 < Δ < 1/3 です。下からFとGの値を推定すると、臨界線の短い区間または臨界帯0 ≤ Re( s ) ≤ 1にある点の小さな近傍でζ ( s )の値がどれほど大きくなるか (絶対値で) がわかります。

H ≫ log log Tの場合については、 Kanakanahalli Ramachandraによって研究されました。Δ > cの場合（cは十分に大きな定数）は自明です。

アナトリー・カラツバは、^{[ 34 ] [ 35 ]}特に、HとΔの値が十分に小さい定数を超えると、推定値が

${\displaystyle F(T;H)\geq T^{-c_{1}},\qquad G(s_{0};\Delta )\geq T^{-c_{2}},}$

ここで、c ₁とc ₂はある絶対定数である。

機能

${\displaystyle S(t)={\frac {1}{\pi }}\arg {\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}}$

はリーマンゼータ関数の引数と呼ばれます。ここで、 arg ζ (1/2 + it )は、点2、2 + itおよび1/2 + itを結ぶ破線に沿ったarg ζ ( s )の任意の連続枝の増分です。

関数S ( t )の性質に関する定理がいくつか存在する。それらの結果の中には^{[ 36 ] [ 37 ]} 、 S ( t )とその第一積分に関する平均値の定理が含まれる。

${\displaystyle S_{1}(t)=\int _{0}^{t}S(u)\,\mathrm {d} u}$

実数直線の区間について、また、すべての区間( T , T + H ]について、

${\displaystyle H\geq T^{{\frac {27}{82}}+\varepsilon }}$

少なくとも

${\displaystyle H{\sqrt[{3}]{\ln T}}e^{-c{\sqrt {\ln \ln T}}}}$

関数S ( t )が符号を変える点。以前、アトレ・セルバーグは、次のケースについて同様の結果を得ていた。

${\displaystyle H\geq T^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }.}$

収束領域の拡張は、元の級数を並べ替えることによって得られる。^{[ 38 ]}級数

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {n}{(n+1)^{s}}}-{\frac {n-s}{n^{s}}}\right)}$

Re( s ) > 0の場合に収束するが、

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n(n+1)}{2}}\left({\frac {2n+3+s}{(n+1)^{s+2}}}-{\frac {2n-1-s}{n^{s+2}}}\right)}$

Re( s ) > −1の場合でも収束します。このようにして、任意の負の整数− kに対して、収束領域をRe( s ) > − kまで拡張できます。

Re( s ) > −2の場合に有効な式から漸化式の関係が明確に見え、部分積分によるさらなる展開が可能になります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)=&1+{\frac {1}{s-1}}-{\frac {s}{2!}}[\zeta (s+1)-1]\\-&{\frac {s(s+1)}{3!}}[\zeta (s+2)-1]\\&-{\frac {s(s+1)(s+2)}{3!}}\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {t^{3}dt}{(n+t)^{s+3}}}.\end{aligned}}}$

この再帰により、上昇階乗を使用する別の級数展開が実現し、複素平面全体で有効になります^{[ 38 ]。}

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (s+n)-1{\bigr )}{\frac {s(s+1)\cdots (s+n-1)}{(n+1)!}}.}$

これは再帰的に用いることで、ディリクレ級数の定義をすべての複素数に拡張することができる。

リーマンゼータ関数は、 x ^{s −1}に作用するガウス–クズミン–ウィルシング演算子の積分において、メリン変換に似た形で現れる。この文脈では、減少階乗による級数展開が生じる。^{[ 39 ]}

関数f ( x )のメリン変換は次のように定義される^{[ 40 ]}

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)x^{s}\,{\frac {\mathrm {d} x}{x}}}$

積分が定義されている領域において。ゼータ関数は、メリン変換のような積分として様々な形で表されます。sの実部が1より大きい場合、次のようになります。

${\displaystyle \Gamma (s)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x\quad }$そして${\displaystyle \quad \Gamma (s)\zeta (s)={\frac {1}{2s}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{\cosh(x)-1}}\,\mathrm {d} x,}$

ここでΓはガンマ関数を表す。リーマンは経路を修正することで、

${\displaystyle 2\sin(\pi s)\Gamma (s)\zeta (s)=i\oint _{H}{\frac {(-x)^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x}$

すべてのsについて^{[ 41 ]}（ここでHはハンケル曲線を表す）。

素数と素数定理に関連する式も見つけることができます。π ( x )が素数計数関数である場合、

${\displaystyle \ln \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x(x^{s}-1)}}\,\mathrm {d} x,}$

Re( s ) > 1 の値の場合。

同様のメリン変換には、素数のべき乗p ^{n を}重み1/ nで数えるリーマン関数J ( x )が含まれるため、

${\displaystyle J(x)=\sum {\frac {\pi \left(x^{\frac {1}{n}}\right)}{n}}.}$

今

${\displaystyle \ln \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }J(x)x^{-s-1}\,\mathrm {d} x.}$

これらの式は、逆メリン変換によって素数定理を証明するために使用できます。リーマンの素数計数関数は扱いやすく、そこからメビウス反転によってπ ( x )を復元できます。

リーマンゼータ関数はメリン変換によって与えられる^{[ 42 ]}

${\displaystyle 2\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\theta (it)-1{\bigr )}t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t,}$

ヤコビのシータ関数の観点から

${\displaystyle \theta (\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau }.}$

しかし、この積分はsの実部が1より大きい場合にのみ収束しますが、正則化することができます。これにより、 0と1を除くすべてのsに対して適切に定義されるゼータ関数の次の式が得られます。

${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{s}}+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left(\theta (it)-t^{-{\frac {1}{2}}}\right)t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t+{\frac {1}{2}}\int _{1}^{\infty }{\bigl (}\theta (it)-1{\bigr )}t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t.}$

リーマンゼータ関数は、s = 1に位数 1 の単一の極を持つ有理型関数です。したがって、 s = 1 の周りのローラン級数として展開できます。級数展開は次のようになります^{[ 43 ]}

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\gamma _{n}}{n!}}(1-s)^{n}.}$

ここで定数γ _{n は}スティルチェス定数と呼ばれ、極限によって定義される。

${\displaystyle \gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left(\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}\right)-{\frac {(\ln m)^{n+1}}{n+1}}\right)}.}$

定数項γ ₀はオイラー・マスケローニ定数である。

すべてのs ∈${\displaystyle \mathbb {C} }$、s ≠ 1 の場合、積分関係 (アベル-プラナの公式を参照)

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t)}{\left(1+t^{2}\right)^{s/2}\left(e^{2\pi t}-1\right)\ }}\ \operatorname {d} t}$

これは成り立ち、ゼータ関数の数値評価に利用できる。

ワイエルシュトラスの因数分解定理に基づいて、アダマールは無限積展開を与えた。

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {e^{\left(\log(2\pi )-1-{\frac {\gamma }{2}}\right)s}}{2(s-1)\Gamma \left(1+{\frac {s}{2}}\right)}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)e^{\frac {s}{\rho }},}$

ここで、積はζの非自明な零点ρに関するものであり、文字γは再びオイラー・マスケローニ定数を表す。より単純な無限積展開は次のようになる。

${\displaystyle \zeta (s)=\pi ^{\frac {s}{2}}{\frac {\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)}{2(s-1)\Gamma \left(1+{\frac {s}{2}}\right)}}.}$

この形式は、 s = 1における単純極、分母のガンマ関数項による−2、−4、 …における自明な零点、およびs = ρにおける非自明な零点を明確に示しています。（後者の式で収束を保証するには、積を「一致する零点のペア」について取る必要があります。つまり、 ρと1 − ρの形の零点のペアの因数を組み合わせる必要があります。）

ゼータ関数のグローバル収束級数は、ある整数nに対してs = 1 + ⁠ 2π i / ln 2 ⁠ nを除くすべての複素数sに対して有効であり、1926 年にコンラート・クノップによって予想され^{[ 44 ]} 、 1930 年にヘルムート・ハッセによって証明されました^{[ 45 ]} (オイラーの総和を参照)。

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{s}}}.}$

このシリーズはハッセの論文の付録に掲載され、1994年にジョナサン・ソンドウによって2度目に出版された。^{[ 46 ]}

ハッセはまた、世界的に収束するシリーズを証明した。

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{s-1}}}}$

同じ出版物の中で。^{[ 45 ]}ヤロスラフ・ブラグーチンの研究^{[ 47 ] [ 44 ]}によると、同様の同等のシリーズがジョセフ・サーによって1926年に 出版されていたことがわかった。^{[ 48 ]}

1997年、K. Maślankaは、リーマンゼータ関数について、 ( s = 1 の場合を除いて)大域的に収束する別の級数を与えた。

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\biggl (}\prod _{i=1}^{k}(i-{\frac {s}{2}}){\biggl )}{\frac {A_{k}}{k!}}={\frac {1}{s-1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\biggl (}1-{\frac {s}{2}}{\biggl )}_{k}{\frac {A_{k}}{k!}}}$

実数係数${\displaystyle A_{k}}$は以下によって与えられます。

${\displaystyle A_{k}=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {k}{j}}(2j+1)\zeta (2j+2)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}{\frac {B_{2j+2}\pi ^{2j+2}}{\left(2\right)_{j}\left({\frac {1}{2}}\right)_{j}}}}$

ここで、B _nはベルヌーイ数であり、( x ) _kはポッホハマー記号を表す。^{[ 49 ] [ 50 ]}

ゼータ関数のこの表現は、本質的にはノードを持つ補間であり、ノードは点s = 2, 4, 6, ... 、つまりオイラーが示したようにゼータ値が正確にわかっている点であることに注意してください。カールソンの定理に基づくゼータ関数のこの表現のエレガントで非常に短い証明は、2006 年にフィリップ・フラジョレによって提示されました。^{[ 51 ]}

係数の漸近挙動${\displaystyle A_{k}}$成長のためには、かなり興味深い。${\displaystyle k}$値では、振幅がほぼ指数関数的に減少し、周波数が徐々に減少する規則的な振動が観測されます（おおよそ${\displaystyle k^{-2/3}}$)鞍点法を用いると、次のことが示せる。

${\displaystyle A_{k}\sim {\frac {4\pi ^{3/2}}{\sqrt {3\kappa }}}\exp {\biggl (}-{\frac {3\kappa }{2}}+{\frac {\pi ^{2}}{4\kappa }}{\biggl )}\cos {\biggl (}{\frac {4\pi }{3}}-{\frac {3{\sqrt {3}}\kappa }{2}}+{\frac {{\sqrt {3}}\pi ^{2}}{4\kappa }}{\biggl )}}$

どこ${\displaystyle \kappa }$は以下を表します。

${\displaystyle \kappa$ :={\sqrt[{3}]{\pi ^{2}k}}

（詳細は^{[ 52 ]を参照）。}

この表現に基づいて、2003年にルイス・バエス＝ドゥアルテはリーマン予想の新しい基準を提示した。^{[ 53 ] [ 54 ] [ 55 ]}すなわち、係数c _kを次のように定義すると、

${\displaystyle c_{k}:=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {k}{j}}{\frac {1}{\zeta (2j+2)}}}$

するとリーマン予想は以下と同等である。

${\displaystyle c_{k}={\mathcal {O}}\left(k^{-3/4+\varepsilon }\right)\qquad (\forall \varepsilon >0)}$

ピーター・ボルウェインは、チェビシェフ多項式をディリクレのイータ関数に適用して、高精度の数値計算に適した非常に速く収束する級数を生成するアルゴリズムを開発した。^{[ 56 ]}

${\displaystyle \zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}}\qquad k=2,3,\ldots .}$

ここでp _n #は原始数列であり、J _kはジョルダンのトーシェント関数である。^{[ 57 ]}

関数ζは、 Re( s ) > 1の場合、無限級数で表すことができる。

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n,\geq 2}^{(s)}{\frac {(W_{k}(-1))^{n}}{n!}},}$

ここで、k ∈ {−1, 0}、W _kはランベルトW関数のk番目の分岐であり、B ^{( μ )} _{n ≥2}は不完全な多ベルヌーイ数である。^{[ 58 ]}

関数g ( x ) = x (1 + ⌊ x ⁻¹ ⌋ ) − 1を繰り返して、エンゲル展開に現れる係数を見つけます。^{[ 59 ]}

地図のメリン変換${\displaystyle g(x)}$は、次の式によってリーマンゼータ関数と関連付けられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}g(x)x^{s-1}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\frac {1}{n+1}}^{\frac {1}{n}}(x(n+1)-1)x^{s-1}\,dx\\[6pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{-s}(s-1)+(n+1)^{-s-1}(n^{2}+2n+1)+n^{-s-1}s-n^{1-s}}{(s+1)s(n+1)}}\\[6pt]&={\frac {\zeta (s+1)}{s+1}}-{\frac {1}{s(s+1)}}\end{aligned}}}$

ブラウン運動とリーマンゼータ関数は、ブラウン運動から派生した確率過程のモーメント母関数を介して結びついている。^{[ 60 ]}

音楽の調律理論では、ゼータ関数を使用して、倍音列の音程に非常に近いオクターブの等分割(EDO) を見つけることができます。${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$、その値

${\displaystyle \left\vert \zeta \left({\frac {1}{2}}+{\frac {2\pi {i}}{\ln {(2)}}}t\right)\right\vert }$

このようなEDOに対応する整数付近にピークが現れる。^{[ 63 ]}例としては、12、19、53などの一般的な選択肢が挙げられる。^{[ 64 ]}

等間隔の正の整数で評価されたゼータ関数は、多くの定数の無限級数表現に現れる。^{[ 65 ]}

• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\bigl (}\zeta (n)-1{\bigr )}=1}$

実際、偶数項と奇数項は2つの和を与える。

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (2n)-1{\bigr )}={\frac {3}{4}}}$

そして

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (2n+1)-1{\bigr )}={\frac {1}{4}}}$

上記の和のパラメータ化されたバージョンは次のように与えられる。

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (2n)-1)\,t^{2n}={\frac {t^{2}}{t^{2}-1}}+{\frac {1}{2}}\left(1-\pi t\cot(\pi t)\right)}$

そして

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (2n+1)-1)\,t^{2n}={\frac {t^{2}}{t^{2}-1}}-{\frac {1}{2}}\left(\psi ^{0}(t)+\psi ^{0}(-t)\right)-\gamma }$

| t | < 2かつ${\displaystyle \psi }$そして${\displaystyle \gamma }$はそれぞれポリガンマ関数とオイラー定数であり、

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}\,t^{2n}=\log \left({\dfrac {1-t^{2}}{\operatorname {sinc} (\pi \,t)}}\right)}$

これらはすべて連続しています${\displaystyle t=1}$その他の金額には以下が含まれます

• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}=1-\gamma }$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}=\ln 2}$
• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}\left(\left({\tfrac {3}{2}}\right)^{n-1}-1\right)={\frac {1}{3}}\ln \pi }$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (4n)-1{\bigr )}={\frac {7}{8}}-{\frac {\pi }{4}}\left({\frac {e^{2\pi }+1}{e^{2\pi }-1}}\right)}$
• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}\Im {\bigl (}(1+i)^{n}-1-i^{n}{\bigr )}={\frac {\pi }{4}}}$

どこ${\displaystyle \Im }$は複素数の虚数部を表します。

レムニスケート定数の自然対数に関連するもう一つの興味深い数列は次のとおりです。

• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\left[{\frac {2(-1)^{n}\zeta (n)}{4^{n}n}}-{\frac {(-1)^{n}\zeta (n)}{2^{n}n}}\right]=\ln \left({\frac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}\right)}$

調和数に関する記事には、さらに多くの公式が掲載されています。