部分的に順序付けられた集合

数学、特に順序理論において、集合上の半順序とは、特定の要素のペアについて、一方が他方に先行するような配置のことである。半という語は、すべての要素のペアが比較可能である必要はないことを示すために使用される。つまり、どちらの要素も他方に先行しないペアが存在する可能性がある。したがって、半順序は、すべてのペアが比較可能である全順序を一般化するものである。

正式には、半順序とは、反射的、反対称的、推移的な同次二項関係です。半順序集合(略してposet )は、集合 ( の基底集合と呼ばれる) と 上の半順序からなる順序付きペアです。文脈から意味が明らかで、半順序に曖昧さがない場合は、集合自体が poset と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle P=(X,\leq )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \leq}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

半順序という用語は通常、反射半順序関係を指し、この記事では非厳密半順序と呼びます。ただし、一部の著者は、他の一般的な半順序関係である非反射半順序関係 (厳密半順序とも呼ばれます) を指すためにこの用語を使用しています。厳密半順序と非厳密半順序は1 対 1で対応できるため、すべての厳密半順序には対応する一意の非厳密半順序があり、その逆も同様です。

再帰的、弱い、^[1]または非厳密な半順序^[2]、半順序と呼ばれ反射的、反対称的、推移的な集合上同次関係≤である。つまり、すべてに対して以下を満たす必要がある。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle a,b,c\in P,}$

1. 反射性:つまり、すべての要素はそれ自体に関連しています。${\displaystyle a\leq a}$
2. 反対称性: かつ の場合、つまり、2 つの異なる要素が互いに先行することはありません。${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle b\leq a}$${\displaystyle a=b}$
3. 推移性: ifかつthen 。${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle b\leq c}$${\displaystyle a\leq c}$

非厳密な半順序は、反対称事前順序とも呼ばれます。

非反射的で強い[ 1 ^]または厳密な半順序は、非反射的、非対称的、推移的な集合上の同次関係<である。つまり、すべての${\displaystyle P}$${\displaystyle a,b,c\in P:}$

1. 非反射性: つまり、どの要素もそれ自体とは関連がありません (反反射性とも呼ばれます)。${\displaystyle \neg \left(a<a\right)}$
2. 非対称性: if then not 。${\displaystyle a<b}$${\displaystyle b<a}$
3. 推移性: ifかつthen 。${\displaystyle a<b}$${\displaystyle b<c}$${\displaystyle a<c}$

非反射性と推移性は、ともに非対称性を意味します。また、非対称性は非反射性を意味します。言い換えれば、推移関係は、非反射性である場合にのみ非対称です。^[3]したがって、非反射性または非対称性のどちらかを省略した場合（両方を省略した場合ではない）でも定義は同じです。

厳密な半順序は、非対称厳密な前順序とも呼ばれます。

集合上の厳密な半順序と非厳密な半順序は密接に関連しています。非厳密な半順序は、 という形式のすべての関係を削除することで厳密な半順序に変換できます。つまり、厳密な半順序は、 が上の恒等関係であり、 が集合減算を表す集合 です。逆に、 上の厳密な半順序 < は、その形式のすべての関係を付加することで非厳密な半順序に変換できます。つまり、は非厳密な半順序です。したがって、 が非厳密な半順序である場合、対応する厳密な半順序 < は、次で示される 非反射核です 。逆に、 < が厳密な半順序である場合、対応する非厳密な半順序は、次で示される反射閉包です。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle \leq}$${\displaystyle a\leq a;}$${\displaystyle <\;:=\ \leq \ \setminus \ \Delta _{P}}$${\displaystyle \Delta _{P}:=\{(p,p):p\in P\}}$${\displaystyle P\times P}$${\displaystyle \;\setminus \;}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \leq \;:=\;\Delta _{P}\;\cup \;<\;}$${\displaystyle \leq}$$${\displaystyle a<b{\text{ }}a\leq b{\text{ かつ }}a\neq b の場合。}$$${\displaystyle \leq}$$${\displaystyle a\leq b{\text{ }}a<b{\text{ または }}a=b の場合。}$$

半順序関係の双対（または反対）は、を の逆関係とすることによって定義されます。つまり、 の場合に限ります。非厳密な半順序の双対は非厳密な半順序であり、^[4]厳密な半順序の双対は厳密な半順序です。関係の双対の双対は元の関係です。 ${\displaystyle R^{\text{op}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{\text{op}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle xR^{\text{op}}y}$${\displaystyle yRx}$

集合と半順序関係（通常は非厳密な半順序 ）が与えられた場合、表記を一意に拡張して 4 つの半順序関係 と を定義できます。ここで、 は上の非厳密な半順序関係、は 上の関連する厳密な半順序関係（の非反射核）、は の双対、は の双対です。厳密に言えば、半順序集合という用語は、これらすべての関係が適切に定義された集合を指します。しかし実際には、単一の関係、またはだけを考えればよく、まれに、非厳密な関係と厳密な関係を一緒に考えればよいこともあります。^[5]${\displaystyle P}$${\displaystyle \leq}$${\displaystyle \leq ,}$ ${\displaystyle <,}$ ${\displaystyle \geq ,}$${\displaystyle >}$${\displaystyle \leq}$${\displaystyle P}$${\displaystyle <}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \leq}$${\displaystyle \geq }$${\displaystyle \leq}$${\displaystyle >}$${\displaystyle <}$${\displaystyle (P,\leq )}$${\displaystyle (P,<)}$${\displaystyle (P,\leq ,<)}$

順序付き集合という用語は、文脈から他の種類の順序を意味していないことが明らかである限り、半順序付き集合の省略形として使用されることがあります。特に、全順序付き集合は、これらの構造が半順序集合よりも一般的である分野では、「順序付き集合」と呼ばれることもあります。著者の中には、^[6]や^[7]などの異なる記号を使用して、半順序と全順序を区別する人もいます。 ${\displaystyle \leq }$${\displaystyle \sqsubseteq }$${\displaystyle \preceq }$

半順序について言及する場合、は の補集合として捉えるべきではありません。 この関係は の非反射核の逆であり、 は常に の補集合のサブセットですが、が全順序である場合に限りの補集合と等しくなります。^[a]${\displaystyle \leq }$${\displaystyle >}$${\displaystyle >}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle >}$${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \leq }$

半順序を定義する別の方法は、コンピュータサイエンスで見られるもので、比較の概念を介するものである。具体的には、前述の定義によれば、2つの要素xとy は、互いに排他的な4つの関係、つまりx < y、x = y、x > y、またはxとyが比較不可能 のいずれかにあることが分かる。これは、2つの要素が与えられたときに4つのコードのうちの1つを返す関数で表すことができる。^{[8] [9]}この定義は、等価性が集合等価性ではなく定義された同値関係であるとみなされる、集合体上の半順序と同等である。^[10]${\displaystyle \leq ,<,\geq ,{\text{ and }}>}$${\displaystyle {\text{compare}}:P\times P\to \{<,>,=,\vert \}}$

ウォリスは、より一般的な概念である半順序関係を、推移的かつ反対称的な同次関係として定義しています。これには、サブタイプとして反射的半順序と非反射的半順序の両方が含まれます。^[1]

有限 poset は、そのハッセ図を通じて視覚化できます。^[11]具体的には、厳密な半順序関係 をとると、の各要素をノード、 の各要素をエッジとすることで、有向非巡回グラフ(DAG) を構築できます。この DAG ^[b]の推移的簡約がハッセ図です。同様に、このプロセスを逆にして、特定の DAG から厳密な半順序を構築できます。対照的に、厳密でない半順序に関連付けられたグラフは、すべてのノードで自己ループを持つため、DAG ではありません。厳密でない順序がハッセ図によって表されると言われる場合、実際には対応する厳密な順序が示されています。 ${\displaystyle (P,<)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle <}$

数学で現れる半順序集合の標準的な例には以下のものがあります。

• 実数、または一般に、標準的な「以下」の関係 ≤で順序付けられた完全に順序付けられた集合は、半順序です。
• 実数 では、通常の「より小さい」関係 < は厳密な半順序です。 上の通常の「より大きい」関係 >についても同じことが言えます。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 定義により、すべての厳密な弱順序は厳密な半順序です。
• 与えられた集合（そのべき集合）の包含順に並べられた部分集合の集合（図 1 を参照）。同様に、部分列順に並べられたシーケンスの集合、および部分文字列順に並べられた文字列の集合。
• 割り切れる関係を備えた自然数の集合。（図3、図6参照）
• 到達可能性によって順序付けられた有向非巡回グラフの頂点集合。
• 包含順に並べられたベクトル空間の部分空間の集合。
• 部分的に順序付けられた集合Pについて、Pの要素のすべてのシーケンスを含むシーケンス空間。シーケンスaがシーケンスbに先行するのは、シーケンスaのすべての項目がシーケンスbの対応する項目に先行する場合です。正式には、すべての に対して の場合のみ、つまり要素ごとの順序 の場合に限ります。${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\leq \left(b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
• 集合Xと半順序集合Pに対して、XからPまでのすべての関数を含む関数空間。ただし、f ≤ gであるためには、すべての関数に対してf ( x ) ≤ g ( x )が成立する必要がある。${\displaystyle x\in X.}$
• フェンスは、順序関係a < b > c < d ...の交互のシーケンスによって定義される部分的に順序付けられたセットです。
• 特殊相対性理論、およびほとんどの場合^[c] 一般相対性理論における一連のイベント。2 つのイベントXとYについて、YがXの未来光円錐内にある場合のみ、 X ≤ Yとなります。イベントY は、 X ≤ Yの場合にのみ、Xによって因果的に影響を受けます。

部分的に順序付けられた集合のよく知られた例としては、系図上の子孫順に並べられた人々の集まりが挙げられます。一部の人々のペアは子孫と祖先の関係を持ちますが、他の人々のペアは比較できず、どちらも他方の子孫ではありません。

強度が増す順、つまりペアのセットが減少する順に、 2 つの半順序セットの直積上の可能な半順序のうち 3 つは次のとおりです (図 4 を参照)。

• 辞書式順序: a   < cまたは( a = cかつb ≤ d )の場合、( a、b ) ≤ ( c、d )。
• 積の順序: a ≤ cかつb ≤ dの場合、 ( a , b ) ≤ ( c , d ) 。
• 対応する厳密な順序の   直積の反射閉包: ( a < cかつb < d ) または ( a = cかつb = d )の場合、( a、b ) ≤ ( c、d )。

これら 3 つは、2 つ以上のセットの直積に対しても同様に定義できます。

同じ体上の順序付きベクトル空間に適用すると、結果はそれぞれの場合も順序付きベクトル空間になります。

全順序集合の直積の順序も参照してください。

2つの（互いに素な）半集合を結合する別の方法は、順序和^[12]（または線型和）^[13] Z = X ⊕ Yであり、これは基底集合XとYの和集合上で順序a ≤ _Z bによって定義され、次の場合に限ります。

• a , b ∈ Xかつa ≤ _X b、または
• a , b ∈ Y（a ≤ _Y b ）、または
• a ∈ Xかつb ∈ Yです。

2つの半順序集合が順序付けられている場合、それらの順序和も順序付けられます。^[14]

直列並列半順序は、順序和演算 (この文脈では直列合成と呼ばれる) と並列合成と呼ばれる別の演算から形成されます。並列合成は、 2 つの半順序セットの互いに素な和集合であり、一方のセットの要素ともう一方のセットの要素の間に順序関係はありません。

例では、集合の包含関係によって順序付けられた3 要素集合のすべての部分集合の集合からなるposet を使用します(図 1 を参照)。 ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(\{x,y,z\}),\subseteq )}$${\displaystyle \{x,y,z\},}$

• a ≤ bの場合、a はbと関連してい ます。ただし、この関係は対称的である必要はないため、 bもaと関連しているわけではありません。たとえば、は と関連していますが、その逆は当てはまりません。${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \{x,y\},}$
• a ≤ bまたはb ≤ aの場合、aとb は比較可能です。それ以外の場合は比較できません。たとえば、と は比較可能ですが、と は比較できません。${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \{x,y,z\}}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \{y\}}$
• 全順序または線形順序は、すべての要素のペアが比較可能な、つまり三分法が成り立つ部分順序です。たとえば、標準順序を持つ自然数などです。
• チェーンは、全順序集合である poset のサブセットです。たとえば、はチェーンです。${\displaystyle \{\{\,\},\{x\},\{x,y,z\}\}}$
• 反連鎖とは、2つの異なる要素が比較できないポセットの部分集合である。例えば、シングルトンの集合は ${\displaystyle \{\{x\},\{y\},\{z\}\}.}$
• 要素aが要素bより小さいとは、a ≤ bであり、例えば、 aがbより小さい場合を言う。${\displaystyle a\neq b.}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \{x,y\}.}$
• 要素aが別の要素bによって覆われているとは、a ⋖ b (またはa <: b ) と書かれ、a がbより小さく、3番目の要素c がそれらの間に適合しない場合をいいます。正式には、a ≤ bと が両方とも真で、 が成り立つ各cに対してa ≤ c ≤ b が偽である場合です。厳密な順序 < を使用すると、関係a ⋖ b は「任意のcに対してa < bだがa < c < bではない」と同等に言い換えることができます。たとえば、は によって覆われますが、 は によって覆われません。${\displaystyle a\neq b}$${\displaystyle a\neq c\neq b.}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \{x,z\},}$${\displaystyle \{x,y,z\}.}$

poset には「最大」要素と「最小」要素の概念がいくつかあります。 ${\displaystyle P,}$

• 最大元と最小元: 元が最大元となるのは、すべての元に対しての場合です。元が最小元となるのは、すべての元に対して の場合です。poset には、最大元または最小元が1 つだけ存在します。実行中の例では、セットは最大元であり、 は最小元です。${\displaystyle g\in P}$${\displaystyle a\leq g}$${\displaystyle a\in P.}$${\displaystyle m\in P}$${\displaystyle m\leq a}$${\displaystyle a\in P.}$${\displaystyle \{x,y,z\}}$${\displaystyle \{\,\}}$
• 最大元と最小元: 要素が最大元であるとは、となる要素が存在しないことです。同様に、要素が最小元​​であるとは、 となる要素が存在しないことです。poset に最大元がある場合、それが唯一の最大元でなければなりませんが、そうでない場合は、最大元が複数存在する可能性があり、最小元と最小元についても同様です。実行中の例では、と が最大元と最小元です。これらを除くと、3 つの最大元と 3 つの最小元が存在します (図 5 を参照)。${\displaystyle g\in P}$${\displaystyle a\in P}$${\displaystyle a>g.}$${\displaystyle m\in P}$${\displaystyle a\in P}$${\displaystyle a<m.}$${\displaystyle \{x,y,z\}}$${\displaystyle \{\,\}}$
• 上限と下限: Pの部分集合Aについて、 Aの各要素aについてa  ≤  xであれば、 Pの要素xはAの上限です。特に、Aの上限となるためにx がAにある必要はありません。同様に、 Aの各要素aについてa  ≥  xであれば、 P の要素xはAの下限です。 Pの最大要素はP自体の上限であり、最小要素はPの下限です。この例では、集合は要素の集合の上限です。${\displaystyle \{x,y\}}$${\displaystyle \{\{x\},\{y\}\}.}$

別の例として、割り切れる順で並べられた正の整数を考えてみましょう。1 は他のすべての要素を割り切るので、最小元です。一方、この poset には最大元がありません。この部分的に順序付けられたセットには最大元さえありません。任意のgは、たとえばそれとは異なる2 g を割り切るので、 g は最大ではありません。割り切れる順を 1 より大きい要素の順序として維持しながら、数 1 を除外すると、結果の poset には最小元はありませんが、任意の素数はその最小元になります。この poset では、60 は、下限がないサブセットの上限です (最小上限ではありません) (1 は poset に含まれないため)。一方、2 は、上限がない 2 の累乗のサブセットの下限です。数 0 が含まれる場合、これはすべての整数の倍数であるため、最大元になります (図 6 を参照)。 ${\displaystyle \{2,3,5,10\},}$

2 つの半順序集合( S , ≤)と( T , ≼)が与えられたとき、すべて に対して がf ( x ) ≼ f ( y )であるとき、関数は順序保存、または単調、または等調 と呼ばれます。( U , ≲)も半順序集合で、 と が両方とも順序保存である場合、それらの合成も順序保存になります。関数は、すべてf ( x ) ≼ f ( y )に対して が であるとき、順序反映と呼ばれます。 fが順序保存かつ順序反映の両方である 場合、それは( S , ≤)の( T , ≼)への順序埋め込みと呼ばれます。後者の場合、が を意味し、さらに の反対称性により、 であるため、 f は必然的に単射です。2 つの半順序集合SとT の間に順序埋め込みが存在する場合、S はTに埋め込むことができるといいます。順序埋め込みが全単射である場合、それは順序同型と呼ばれ、半順序( S、≤)と( T、≼)は同型であると言われる。同型順序は構造的に類似したハッセ図を持つ (図 7a を参照)。順序保存写像およびが存在し、およびがそれぞれSとT上の恒等関数を生成する場合、SとT は順序同型であることが示される。 ^[15]${\displaystyle f:S\to T}$${\displaystyle x,y\in S,}$ ${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle f:S\to T}$${\displaystyle g:T\to U}$ ${\displaystyle g\circ f:S\to U}$${\displaystyle f:S\to T}$${\displaystyle x,y\in S,}$ ${\displaystyle x\leq y.}$${\displaystyle f(x)=f(y)}$${\displaystyle x\leq y{\text{ and }}y\leq x}$${\displaystyle x=y}$${\displaystyle \leq .}$${\displaystyle f:S\to T}$${\displaystyle f:S\to T}$${\displaystyle g:T\to U}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f\circ g}$

たとえば、自然数の集合（割り切れる順）から自然数のべき集合（集合の包含順）への写像は、各数をその素因数の集合 に写すことで定義できます。これは順序を保存します。つまり、x がy を割り切る場合、 xの各素因数はyの素因数でもあります。ただし、これは単射でもなく（12 と 6 の両方を に写すため）、順序を反映するものでもありません（12 は 6 を割り切れないため）。代わりに、各数をその素数べき乗の約数の集合 に写すと、順序を保存し、順序を反映し、したがって順序埋め込みとなる写像が定義されます。これは順序同型ではありませんが（たとえば、どの数も集合 に写さないため）、その共域を に制限することで順序同型にすることができます。図 7b は のサブセットとgによる同型像を示しています。このような順序同型をべき集合に構築することは、分配格子と呼ばれる広いクラスの半順序に一般化できます。バーコフの表現定理を参照してください。 ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {P} (\mathbb {N} )}$${\displaystyle \{2,3\}}$${\displaystyle g:\mathbb {N} \to \mathbb {P} (\mathbb {N} )}$${\displaystyle \{4\}}$${\displaystyle g(\mathbb {N} ).}$${\displaystyle \mathbb {N} }$

OEISのシーケンス A001035 は、 n 個のラベル付き要素の集合における部分順序の数を示します。

S ( n , k )は第2種スターリング数を指すことに注意してください。

厳密な半順序の数は半順序の数と同じです。

同型までのみカウントすると、1、1、2、5、16、63、318、...（OEISのシーケンスA000112）が得られます。

がのサブセットであり、がのサブセットである場合、その posetは別の poset のサブposetと呼ばれます。後者の条件は、 における任意の および(したがって においても) に対して、である場合に となるという要件と同等です。 ${\displaystyle P^{*}=(X^{*},\leq ^{*})}$${\displaystyle P=(X,\leq )}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \leq ^{*}}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\leq ^{*}y}$${\displaystyle x\leq y}$

が のサブポセットであり、さらににおけるすべてのおよびに対して であり、も成り立つときはいつでも、によって誘導されるのサブポセットと呼び、 と書きます。 ${\displaystyle P^{*}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle x\leq ^{*}y}$${\displaystyle P^{*}}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle P^{*}=P[X^{*}]}$

集合上の半順序は、すべての要素に対してが成り立つときはいつでも、集合上の別の半順序の拡張と呼ばれます。線型拡張は、線型（つまり全）順序でもある拡張です。典型的な例として、全順序集合の辞書式順序は、その積順序の線型拡張です。すべての半順序は全順序に拡張できます（順序拡張原理）。^[16]${\displaystyle \leq ^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle X}$${\displaystyle x,y\in X,}$${\displaystyle x\leq y,}$${\displaystyle x\leq ^{*}y.}$

コンピュータサイエンスでは、部分順序の線形拡張（有向非巡回グラフの到達可能性順序として表される）を見つけるアルゴリズムをトポロジカルソートと呼びます。

あらゆる poset (およびあらゆる順序付き集合)は、オブジェクト および に対して、から への射が最大で 1 つ存在するカテゴリと見なすことができます。より明示的には、x ≤ yの場合、hom( x , y ) = {( x , y )} (それ以外の場合は空集合) とし、このようなカテゴリはposetalと呼ばれることもあります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y.}$${\displaystyle (y,z)\circ (x,y)=(x,z).}$

poset は、同型である場合に限り、互いに同値です。poset では、最小の要素が存在する場合はそれが始対象となり、最大の要素が存在する場合はそれが終対象となります。また、すべての順序付き集合は poset と同値です。最後に、poset のすべてのサブカテゴリは同型閉です。

が位相空間の構造も与えられている半順序集合である場合、 は位相積空間の閉部分集合であると仮定するのが通例である。この仮定の下では、半順序関係は、すべての に対して かつ である場合、^[17]という意味で極限において適切に動作する。${\displaystyle P}$${\displaystyle \{(a,b):a\leq b\}}$ ${\displaystyle P\times P.}$${\displaystyle \lim _{i\to \infty }a_{i}=a,}$${\displaystyle \lim _{i\to \infty }b_{i}=b,}$${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle a_{i}\leq b_{i},}$${\displaystyle a\leq b.}$

poset Pの凸集合は、 PのサブセットIであり、 Iの任意のxとyとPの任意のzに対して、x ≤ z ≤ yであれば、zもIに含まれるという性質を持つ。この定義は、実数の区間の定義を一般化するものである。幾何学の凸集合と混同する可能性がある場合には、「凸」ではなく 「順序凸」を使用する。

格子Lの凸部分格子は、Lの凸集合でもあるLの部分格子です。空でない凸部分格子はすべて、フィルターとLのイデアルの交差として一意に表現できます。

poset P内の区間は、区間表記法で定義できる部分集合です。

• a ≤ bの場合、閉区間 [ a , b ]は、 a ≤ x ≤ b（つまり、a ≤ xかつx ≤ b ）を満たす要素xの集合です。これには少なくとも要素aとb が含まれます。
• 対応する厳密な関係 "<" を使用すると、開区間 ( a , b )は、 a < x < b (つまり、a < xかつx < b )を満たす要素xの集合です。開区間は、 a < b の場合でも空になることがあります。たとえば、整数の開区間(0, 1)は、 0 < x < 1となる整数x が存在しないため、空です。
• 半開区間 [ a , b )と( a , b ]も同様に定義されます。

a ≤ bが成立しない場合は、これらすべての区間は空です。すべての区間は凸集合ですが、その逆は成立しません。たとえば、割り切れる数の順序付けられた 120 の約数集合 (図 7b を参照) では、集合 {1, 2, 4, 5, 8} は凸集合ですが、区間ではありません。

区間Iが有界であるとは、 I ⊆ [ a , b ]となる要素が存在する場合です。区間表記で表せるすべての区間は明らかに有界ですが、その逆は真ではありません。たとえば、実数のサブポセットとしてP = (0, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, 3)とします。サブセット(1, 2)は有界区間ですが、 Pに 最小値も最大値もないため、 Pの要素を使用して区間表記で表すことはできません 。 ${\displaystyle a,b\in P}$

ポセットは、すべての有界区間が有限である場合に局所有限と呼ばれます。たとえば、整数は自然な順序付けの下で局所有限です。直積の辞書式順序は、(1, 2) ≤ (1, 3) ≤ (1, 4) ≤ (1, 5) ≤ ... ≤ (2, 1)であるため、局所有限ではありません。区間表記を使用すると、「 aはbによってカバーされる」というプロパティは次のように言い換えることができます。${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$${\displaystyle [a,b]=\{a,b\}.}$

半順序における区間の概念は、区間順序として知られる半順序の特定のクラスと混同しないでください。

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