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抽象代数学では、自己準同型とは、数学的対象からそれ自身への準同型である。 [ 1 ]より一般的には、圏論では、自己準同型とは、ある圏の対象からそれ自身への射である。 [ 2 ]同型でもある自己準同型は自己同型である。例えば、ベクトル空間 V の自己準同型は線形写像 f: V → V であり、群Gの自己準同型は群準同型f: G → Gである。
一般に、自己準同型はどの圏でも議論できます。集合の圏では、自己準同型とは集合Sからそれ自身への関数です。
どの圏においても、Xの任意の 2 つの自己準同型の合成は、再びXの自己準同型になります。したがって、Xのすべての自己準同型の集合は、完全変換モノイドであるモノイドを形成し、End( X ) (または圏Cを強調するためにEnd C ( X )と表記) します。
Xの可逆な自己準同型を自己同型と呼びます。すべての自己同型の集合は、群構造を持つEnd( X )の部分集合であり、 Xの自己同型群と呼ばれ、Aut( X )と表記されます。次の図では、矢印は含意を表します。
アーベル群Aの任意の 2 つの自己準同型は、規則( f + g )( a ) = f ( a ) + g ( a )によって加算できます。この加算の下で、乗法を関数合成として定義すると、アーベル群の自己準同型は環(自己準同型環) を形成します。例えば、 の自己準同型の集合はは、整数成分を持つすべてのn × n行列の環です。ベクトル空間またはモジュールの自己準同型も環を形成し、前加法圏の任意の対象の自己準同型も同様です。非可換群の自己準同型は、近環として知られる代数構造を生成します。 を持つすべての環は、その正則モジュールの自己準同型環であり、可換群の自己準同型環の部分環でもあります。[ 3 ]ただし、どの可換群の自己準同型環でもない環も存在します。
具体的なカテゴリー、特にベクトル空間においては、自己準同型写像は集合から集合自身への写像であり、その集合上の要素に作用する単項演算子として解釈することができ、要素軌道の概念を定義することなどを可能にする。
対象となるカテゴリに定義された追加構造（位相、距離など）によっては、このような演算子は連続性、有界性などの特性を持つことがあります。詳細については、演算子理論に関する記事を参照してください。
自己関数とは、定義域と終域が等しい関数のことである。準同型自己関数は自己準同型写像である。
S を任意の集合とする。S 上の自己関数の中には、Sの置換と、 Sのすべての要素 xに対してSの同じ要素cを対応させる定数関数がある。S のすべての置換は、終域がその定義域と等しく、全単射かつ可逆である。Sが複数の要素を持つ場合、 S 上の定数関数は終域の真部分集合となる像を持つため、全単射ではない（したがって可逆ではない）。各自然数nに対してn /2の床関数は、終域と等しく、可逆ではない。
有限自己関数は有向擬似森林と同等である。サイズnの集合にはn n 個の自己関数が存在する。
全単射自己関数の具体的な例としては、対合、すなわち逆関数と一致する関数が挙げられる。
