アーベル多様体

次元gの複素トーラスは、複素多様体の構造を持つ実次元 2 gのトーラスです。これは常に、 g次元複素ベクトル空間をランク 2 gの格子で割った商空間として得られます。次元gの複素アーベル多様体は、複素数体上の射影代数多様体でもある次元gの複素トーラスです。小平の埋め込み定理とチョウの定理を用いることで、正の直線束を持つ次元gの複素トーラスとして、次元gの複素アーベル多様体を同等に定義できます。アーベル多様体は複素トーラスであるため、群の構造を持ちます。アーベル多様体の射は、群構造の単位元を保存する、基礎となる代数多様体の射です。同種写像は、有限対一の射です。

複素トーラスが代数多様体の構造を持つ場合、この構造は必然的に一意である。${\displaystyle g=1}$アーベル多様体の概念は楕円曲線の概念と同じであり、すべての複素トーラスはそのような曲線を生み出す。${\displaystyle g>1}$代数多様体条件が複素トーラスに追加の制約を課すことは、リーマン以来知られている。

リーマンによる以下の基準は、与えられた複素トーラスがアーベル多様体であるかどうか、すなわち、射影空間に正則に埋め込むことができるかどうかを判定する。Xを次のように与えられるg次元トーラスとする。${\displaystyle X=V/L}$ここで、Vは次元gの複素ベクトル空間であり、LはV内の格子である。このとき、Xがアーベル多様体であるのは、V上に正定値エルミート形式が存在し、その虚部が整数値をとる場合に限る。${\displaystyle L\times L}$X上のこのような形式は、通常、（非退化）リーマン形式と呼ばれます。VとLの基底を選択することで、この条件をより明確にすることができます。これにはいくつかの同値な定式化があり、それらはすべてリーマン条件として知られています。

種数Cのすべての代数曲線${\displaystyle g\geq 1}$は、 CからJへの解析写像によって、次元gのアーベル多様体Jに関連付けられています。トーラスとして、J は可換群構造を持ち、 Cの像は群としてJを生成します。より正確には、 Jは によって覆われています。${\displaystyle C^{g}}$[ ^{1 ]} Jの任意の点は、^Cのg個の点の組から得られます。理論の出発点となったアーベル積分を生み出すC上の微分形式の研究は、 J上のより単純な並進不変微分理論から導き出すことができます。複素数上の任意の非特異曲線Cに対して、アーベル多様体JはCのヤコビ多様体と呼ばれます。双有理幾何学の観点から、その関数体は、関数体に作用するg文字上の対称群の固定体です。${\displaystyle C^{g}}$。

アーベル関数はアーベル多様体上の有理型関数であり、したがって2 n 個の独立した周期を持つn 個の複素変数の周期関数とみなすことができます。同等に、それはアーベル多様体の関数体における関数です。例えば、19 世紀には、楕円積分で表現できる超楕円積分に大きな関心が寄せられました。これは、 Jが同種写像を除いて楕円曲線の積であるかどうかを問うことに帰着します。

アーベル多様体の重要な構造定理の一つに松坂の定理がある。これは、代数的に閉じた体上のすべてのアーベル多様体が${\displaystyle A}$は、ある曲線のヤコビアンを商としたもの、すなわち、アーベル多様体の射影である。${\displaystyle J\to A}$どこ${\displaystyle J}$はヤコビアンである。この定理は、基礎体が無限体であっても成り立つ。^{[ 2 ]}

体k上のアーベル多様体Aに対して、双対アーベル多様体が対応付けられる。${\displaystyle A^{\vee }}$（同じ体上で）これは次のモジュライ問題の解である。k多様体Tによってパラメータ化された次数 0 の線束の族は、上の線束Lとして定義される。${\displaystyle A\times T}$そのため

1. Tのすべてのtに対して、 Lの制限は${\displaystyle A\times \{t\}}$0次ラインバンドルです。
2. Lの制限${\displaystyle \{0\}\times T}$は自明な線束である（ここで0はAの単位元である）。

そして、多様性がある${\displaystyle A^{\vee }}$そして、次数0の線束Pの族、ポアンカレ束は、次のようにパラメータ化される。${\displaystyle A^{\vee }}$T上の族Lには一意の射が関連付けられる${\displaystyle f\colon T\to A^{\vee }}$したがって、L は射に沿ったPの引き戻しと同型である$\displaystyle 1_{A}\times f\colon A\times T\to A\times A^{\vee }}$これをTが点の場合に適用すると、${\displaystyle A^{\vee }}$A上の次数 0 の線束に対応するので、自然な群演算が存在する${\displaystyle A^{\vee }}$これは線束のテンソル積によって与えられ、アーベル多様体となる。

この関連付けは、反変関数的であるという意味で双対性であり、つまり、すべての射に関連付けられます。${\displaystyle f\colon A\to B}$双対射$\displaystyle f^{\vee }\colon B^{\vee }\to A^{\vee }}$互換性のある方法で、二重双対の間には自然な同型性がある${\displaystyle (A^{\vee })^{\vee }}$そして${\displaystyle A}$（ポアンカレ束によって定義される）。アーベル多様体のnねじれと、その双対のnねじれは、 n が基底の標数と互いに素である場合に双対となる。一般に、すべてのnに対して、双対アーベル多様体のnねじれ群スキームは互いにカルティエ双対となる。これは、楕円曲線に対するワイル対を一般化するものである。

アーベル多様体の偏極とは、アーベル多様体からその双対への同種写像であり、アーベル多様体の二重双対性に関して対称であり、関連するグラフ準同型に沿ったポアンカレ束の引き戻しが豊富（したがって、正定値二次形式に類似）である。偏極したアーベル多様体は有限の自己同型群を持つ。主偏極とは、同型である偏極のことである。曲線のヤコビアンには、曲線上の任意の有理基点を選べばすぐに主偏極が自然に備わり、種数が の場合、偏極したヤコビアンから曲線を再構成することができる。${\displaystyle >1}$主偏極したアーベル多様体のすべてが曲線のヤコビアンであるとは限らない。ショットキー問題を参照のこと。偏極は自己準同型環上にロザティ対合を誘導する。${\displaystyle \mathrm {End} (A)\otimes \mathbb {Q} }$Aの。

複素数体上では、偏極アーベル多様体は、アーベル多様体Aと、選択されたリーマン形式Hとの組み合わせとして定義できる。2 つのリーマン形式${\displaystyle H_{1}}$そして${\displaystyle H_{2}}$正の整数nとmが存在し、${\displaystyle nH_{1}=mH_{2}}$A上のリーマン形式の同値類の選択は、Aの偏極と呼ばれます。複素数体上では、これは上記の偏極の定義と同値です。偏極したアーベル多様体の射は射です。${\displaystyle A\to B}$B上のリーマン形式のAへの引き戻しがA上の与えられた形式と等価であるようなアーベル多様体。

させて${\displaystyle A,B\in \mathbb {Z} }$次のような${\displaystyle x^{3}+Ax+B}$重複する複素根を持たない。判別式${\displaystyle \Delta =-16(4A^{3}+27B^{2})}$はゼロではない。${\displaystyle R=\mathbb {Z} [1/\Delta ]}$、 それで${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$はオープンなサブスキームです${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$。 それから${\displaystyle \operatorname {Proj} R[x,y,z]/(y^{2}z-x^{3}-Axz^{2}-Bz^{3})}$は、${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ネロンモデルに拡張できます。${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$これは、上の滑らかな群スキームです。${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$しかし、ネロンモデルは適切ではなく、したがって、上のアーベルスキームではない。${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$。

ヴィクトル・アブラシュキン^{[ 3 ]}とジャン＝マルク・フォンテーヌ^{[ 4 ]}は、それぞれ独立に、非零アーベル多様体は存在しないことを証明した。${\displaystyle \mathbb {Q} }$すべての素数において良好な還元が成り立つ。言い換えれば、上には非零のアーベルスキームは存在しない。${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$証明には、座標が${\displaystyle p^{n}}$ねじれ点は分岐が非常に少なく判別式が小さい数体を生成するが、一方で数体の判別式には下限が存在する。^{[ 5 ]}