有界集合

数学的解析および関連する数学の分野では、集合のすべての点が互いに一定の距離内にある場合、その集合は有界であると呼ばれます。逆に、有界でない集合は非有界であると呼ばれます。対応する距離のない一般的な位相空間では、「有界」という言葉は意味をなさない。

境界は明確な概念です。たとえば、単独では円は境界のない有界集合ですが、半平面は有界ではありませんが境界があります。

有界集合は必ずしも閉集合とは限らず、その逆も同様です。たとえば、直交座標系で定義された2 つの放物線x ² + 1 とx ² - 1 によって制約される2 次元実空間R ²の部分集合Sは、曲線によって閉じられていますが、有界ではありません (つまり、有界ではありません)。

実数での定義

実数の集合S は、 S内のすべてのsに対してk ≥ sとなるような実数k (必ずしもS内にはない) が存在する場合、上から有界であると呼ばれます。数kはSの上限と呼ばれます。下から有界および下限という用語は同様に定義されます。

集合S は、上限と下限の両方がある場合に有界です。したがって、実数の集合は有限の区間に含まれる場合に有界です。

距離空間( M、d )の部分集合 Sが有界であるとは、 r > 0が存在し、 S内のすべてのsとtに対してd(s、t ) < rが成り立つことです。距離空間 ( M、d ) は、 M が自身の部分集合として有界である場合に、有界距離空間 (またはdが有界距離空間) です。

位相ベクトル空間では、有界集合の別の定義が存在し、これはフォン・ノイマン有界性と呼ばれることもあります。位相ベクトル空間の位相が同次な計量によって誘導される場合、たとえばノルム付きベクトル空間のノルムによって誘導される計量の場合、2 つの定義は一致します。

実数の集合は、上限と下限がある場合に限り、有界です。この定義は、任意の半順序集合のサブセットに拡張できます。このより一般的な有界性の概念は、「サイズ」の概念に対応しないことに注意してください。

半順序集合Pの部分集合Sは、 Pに元k が存在し、 S内のすべてのsに対してk ≥ sが成り立つ場合、上界があると呼ばれます。元k はSの上限と呼ばれます。下界と下限の概念も同様に定義されます。(上限と下限も参照してください。)

半順序集合Pの部分集合S は、上限と下限の両方を持つ場合、または同等に、区間に含まれる場合、有界であると呼ばれます。これは集合Sの特性であるだけでなく、 Pの部分集合としての集合Sの特性でもあることに注意してください。

有界な半集合 P (つまり、部分集合としてではなく、それ自体) は、最小元と最大元を持つ半集合です。この有界性の概念は有限のサイズとは関係がなく、順序としてP上の順序の制限を持つ有界な半集合PのサブセットSは、必ずしも有界な半集合ではないことに注意してください。

R ⁿのサブセットS は、積順序でR ⁿのサブセットとして境界が付けられている場合に限り、ユークリッド距離に関して境界が付けられます。ただし、S は、辞書式順序でR ⁿのサブセットとして境界が付けられる場合がありますが、ユークリッド距離に関しては境界が付けられません。

順序数のクラスは、無限大、または共終数であると言われます。任意の順序数が与えられた場合、そのクラスにはそれよりも大きい要素が常に存在します。したがって、この場合、「無限大」は、それ自体が無限大であることを意味するのではなく、すべての順序数のクラスのサブクラスとして無限大であることを意味します。

バートル、ロバート G. ; シャーバート、ドナルド R. (1982)。実解析入門。ニューヨーク: ジョンワイリーアンドサンズ。ISBN 0-471-05944-7。
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