基本グループ

位相空間が与えられた場合${\displaystyle X}$ループは​${\displaystyle x_{0}}$は連続関数（連続写像とも呼ばれる）として定義される。

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to X}$

出発点${\displaystyle \gamma (0)}$そして終点${\displaystyle \gamma (1)}$両方とも等しい${\displaystyle x_{0}}$。

ホモトピーとは、2 つのループ間の連続的な補間のことです。より正確には、2 つのループ間のホモトピーとは、${\displaystyle \gamma ,\gamma '\colon [0,1]\to X}$（同じ地点に基づく）${\displaystyle x_{0}}$) は連続マップです $${\displaystyle h\colon [0,1]\times [0,1]\to X,}$$ そのため

• ${\displaystyle h(0,t)=x_{0}}$すべての人々のために${\displaystyle t\in [0,1]}$つまり、ホモトピーの開始点は${\displaystyle x_{0}}$すべての人々のために${\displaystyle t}$（これはしばしば時間パラメータとして考えられます。）
• ${\displaystyle h(1,t)=x_{0}}$すべての人々のために${\displaystyle t\in [0,1]}$つまり、同様に終点は${\displaystyle x_{0}}$すべての人々のために${\displaystyle t}$。
• ${\displaystyle h(r,0)=\gamma (r)}$、${\displaystyle h(r,1)=\gamma '(r)}$すべての人々のために${\displaystyle r\in [0,1]}$。

このようなホモトピー${\displaystyle h}$存在する、${\displaystyle \gamma }$そして${\displaystyle \gamma '}$は同調的であると言われている。関係「${\displaystyle \gamma }$はホモトピックである${\displaystyle \gamma '}$「は同値関係であり、同値類の集合は次のように考えることができる。 $${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0}):=\{{\text{all loops }}\gamma {\text{ based at }}x_{0}\}/{\text{homotopy}}.}$$ この集合（以下に説明する群構造を持つ）は、位相空間の基本群と呼ばれる。${\displaystyle X}$基点において${\displaystyle x_{0}}$ループの同値類をホモトピーまで考慮する目的は、すべてのループの集合（いわゆるループ空間）とは対照的に、${\displaystyle X}$後者は様々な用途に役立つものの、かなり大きくて扱いにくいものである。それに対し、上記の商は多くの場合、より扱いやすく計算しやすい。

上記の定義によれば、${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$は単なる集合です。ループの連結によって群（したがって基本群という名前にふさわしい）になります。より正確には、2 つのループが与えられた場合、${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1}}$彼らの製品はループとして定義される

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \gamma _{1}\colon [0,1]\to X}$

${\displaystyle (\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})(t)={\begin{cases}\gamma _{0}(2t)&0\leq t\leq {\tfrac {1}{2}}\\\gamma _{1}(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leq t\leq 1.\end{cases}}}$

したがってループ${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \gamma _{1}}$まずループをたどる${\displaystyle \gamma _{0}}$「2倍のスピード」で、そして続いて${\displaystyle \gamma _{1}}$「2倍のスピード」で。

ループの2つのホモトピークラスの積${\displaystyle [\gamma _{0}]}$そして${\displaystyle [\gamma _{1}]}$は次のように定義される。${\displaystyle [\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}]}$この積は代表者の選択に依存しないことが示され、したがって集合上で明確に定義された演算を与える。${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$この操作により${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$群に。その中立要素は定数ループの同値（ホモトピー）クラスであり、${\displaystyle x_{0}}$いつでも${\displaystyle t}$（つまり、このクラスは定数ループに連続的に変形できるすべてのループで構成されます。直感的に言えば、「穴をぐるりと囲まない」すべてのループです。）ループ（のホモトピークラス）の逆ループは、同じループですが、逆方向にたどったものです（これは別のホモトピークラスに属します）。より厳密には、

${\displaystyle \gamma ^{-1}(t):=\gamma (1-t).}$

3つの基本ループが与えられた場合${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},}$製品

${\displaystyle (\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})\cdot \gamma _{2}}$

これらのループを連結し、${\displaystyle \gamma _{0}}$その後${\displaystyle \gamma _{1}}$4倍速で、そして${\displaystyle \gamma _{2}}$2倍のスピードで。それに比べて、

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot (\gamma _{1}\cdot \gamma _{2})}$

同じ経路を（同じ順序で）辿りますが、${\displaystyle \gamma _{0}}$2倍のスピードで、${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$4倍の速度で。したがって、速度が異なるため、2つの経路は同一ではない。結合法則

${\displaystyle [\gamma _{0}]\cdot \left([\gamma _{1}]\cdot [\gamma _{2}]\right)=\left([\gamma _{0}]\cdot [\gamma _{1}]\right)\cdot [\gamma _{2}]}$

したがって、これは経路がホモトピーに関して考慮されるという事実に決定的に依存する。実際、上記の2つの合成経路は、例えば3つのループすべてを横断するループとホモトピックである。${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2}}$3倍の速度で。したがって、上記の操作を備えたホモトピーまでの基底ループのセットは回転します。${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$グループに。

基本群は一般に基点の選択に依存するが、同型を除いて、空間が一定であればこの選択は違いを生じないことがわかった。${\displaystyle X}$はパス連結である。より正確には、2つの基点間のパスを前後に連結することで同型写像が得られる。この同型写像は一般に一意ではなく、ホモトピーを除いてパスの選択に依存する。しかし、パスを変更しても、2つの基本群間の同型写像は内部自己同型との合成によってのみ変化する。したがって、と書くのが慣例である。${\displaystyle \pi _{1}(X)}$の代わりに${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$基準点の選択が重要でない場合。

基本群が自明な経路連結空間を単連結空間と呼ぶ。例えば、2次元球面${\displaystyle S^{2}=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}}$右図に示されているように、またすべての高次元球面は単連結である。この図は、特定のループを定数ループに縮約するホモトピーを示している。この考え方はすべてのループに適用できる。${\displaystyle \gamma }$点が存在する${\displaystyle (x,y,z)\in S^{2}}$それは​${\displaystyle \gamma .}$しかし、次のようなループが存在するため${\displaystyle \gamma ([0,1])=S^{2}}$（例えばペアノ曲線から構成される）完全な証明には、セイフェルト・ファン・カンペン定理やセル近似定理などの代数トポロジーのツールを用いたより綿密な分析が必要となる。

円（ 1-球面とも呼ばれる）

${\displaystyle S^{1}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$

は単連結ではありません。代わりに、各ホモトピー類は、円を所定の回数（巻き方向に応じて正または負）巻き付けるすべてのループで構成されます。 を巻き付けるループの積は${\displaystyle m}$数回と、その周りをぐるぐる回るもう1回${\displaystyle n}$時は、ぐるぐる回るループです${\displaystyle m+n}$回。したがって、円の基本群は、${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+),}$整数の加法群。この事実は、Brouwerの不動点定理^{[ 2 ]}と2次元のBorsuk–Ulamの定理^{[ 3 ]}の証明を与えるために使用できます。

8の字の基本群は、 2文字の自由群です。これを証明する考え方は次のとおりです。2つの円が交わる点（右の図で黒点線で示されている点）を基点として選択し、任意のループ${\displaystyle \gamma }$分解すると次のようになる $${\displaystyle \gamma =a^{n_{1}}b^{m_{1}}\cdots a^{n_{k}}b^{m_{k}}}$$ ここで、aとbは図示されている図の各半分を巻き付ける 2 つのループであり、指数は${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{k},m_{1},\dots ,m_{k}}$整数です。${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})}$、8の字の基本群はアーベル群ではない ：2つの構成方法${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$互いに相同ではない。 $${\displaystyle [a]\cdot [b]\neq [b]\cdot [a]}$$

より一般的には、ブーケの基本群は${\displaystyle r}$サークルは、${\displaystyle r}$手紙。

2つの経路連結空間のウェッジ和の基本群${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$個々の基本群の 自由積として計算できる。$${\displaystyle \pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y)}$$ これは、数字の8が2つの円の扇形和であることから、上記の観察結果を一般化したものである。

平面の基本群は${\displaystyle n}$ポイントは無料グループでもあります${\displaystyle n}$発電機。${\displaystyle i}$- 番目のジェネレーターは、ループのクラスです。${\displaystyle i}$他のパンク箇所を迂回することなく、-番目のパンク箇所に到達します。

基本群は離散構造に対しても定義できる。特に、連結グラフを考えてみよう。${\displaystyle G=(V,E)}$指定された頂点を持つ${\displaystyle v_{0}}$で${\displaystyle V}$. ループは${\displaystyle G}$開始と終了のサイクルは${\displaystyle v_{0}}$[ ^{4 ]​}​${\displaystyle T}$の全域木である${\displaystyle G}$.すべての単純なループは${\displaystyle G}$ちょうど 1 つのエッジが含まれています${\displaystyle E\setminus T}$; すべてのループで${\displaystyle G}$は、このような単純なループの連結です。したがって、グラフの基本群は自由群であり、その生成子の数は、のエッジの数と正確に一致します。${\displaystyle E\setminus T}$この数字は${\displaystyle |E|-|V|+1}$[ ^{5 ]​}

例えば、${\displaystyle G}$16個の頂点が4列に4個ずつ配置され、水平方向または垂直方向に隣接する頂点同士が辺で結ばれている。${\displaystyle G}$全体で 24 のエッジがあり、各全域木のエッジの数は16 − 1 = 15なので、基本群は${\displaystyle G}$は9つの生成元を持つ自由群である。^{[ 6 ]}注意すべき点として、${\displaystyle G}$9つの「穴」があり、これは9つの円の花束に似ており、同じ基本群を持つ。

結び目群は定義上、結び目の補群の基本群である。${\displaystyle K}$埋め込まれた${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$例えば、三つ葉結びの結び目群は、編み紐群であることが知られている。${\displaystyle B_{3}}$これは、非可換基本群の別の例を示しています。Wirtingerのプレゼンテーションでは、結び目の図に基づいて生成元と関係式を用いて結び目群を明示的に説明しています。したがって、結び目群は結び目理論において結び目を区別するためにある程度使用されます。${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K)}$他の結び目群とは同型ではない${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K')}$別の結び目の${\displaystyle K'}$、 それから${\displaystyle K}$変換できません${\displaystyle K'}$したがって、三つ葉結びは連続して円（アンノットとも呼ばれる）に変換することはできません。なぜなら、後者は結び目群を持つからです。${\displaystyle \mathbb {Z} }$しかしながら、互いに変形することはできないが、同型の結び目群を持つ結び目も存在する。

種数n の向き付け可能な曲面の基本群は、生成元と関係式を用いて次のよう に計算できる。$${\displaystyle \left\langle A_{1},B_{1},\ldots ,A_{n},B_{n}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}\right.\right\rangle .}$$

これには、種数 1 の場合である トーラスが含まれ、その基本群は$${\displaystyle \left\langle A_{1},B_{1}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\right.\right\rangle \cong \mathbb {Z} ^{2}.}$$

位相群の基本群${\displaystyle X}$（基点が中立要素であると仮定すると）は常に可換である。特に、リー群の基本群は可換である。実際、群構造は${\displaystyle X}$寄付する${\displaystyle \pi _{1}(X)}$別のグループ構造の場合：2つのループが与えられた場合${\displaystyle \gamma }$そして${\displaystyle \gamma '}$で${\displaystyle X}$もう一つのループ${\displaystyle \gamma \star \gamma '}$群乗法を用いて定義できる${\displaystyle X}$:

${\displaystyle (\gamma \star \gamma ')(x)=\gamma (x)\cdot \gamma '(x).}$

このバイナリ演算${\displaystyle \star }$すべてのループの集合上のループは、先験的に上記のループとは独立している。しかし、エックマン・ヒルトンの議論によれば、ループの連結と実際に一致し、さらに結果として得られる群構造はアーベル群となる。^{[ 7 ] [ 8 ]}

証明を検証すると、より一般的には、${\displaystyle \pi _{1}(X)}$任意のH 空間に対してアーベルである${\displaystyle X}$つまり、乗法は逆元を持つ必要はなく、結合法則を満たす必要もありません。例えば、これは、別の位相空間のループ空間の基本群が${\displaystyle Y}$、${\displaystyle X=\Omega (Y),}$はアーベル群である。関連する考え方は、ハインツ・ホップによるリー群のコホモロジーの計算につながる。

基本群のアーベル化は、空間の第一ホモロジー群と同一視できる。

ヒューレビッチの定理の特殊なケースでは、最初の特異ホモロジー群が${\displaystyle H_{1}(X)}$口語的に言えば、これはアーベル群を用いて基本群に最も近い近似値である。より詳細には、各ループのホモトピー類をループのホモロジー類に写像することで群準同型が得られる。

${\displaystyle \pi _{1}(X)\to H_{1}(X)}$

位相空間の基本群から${\displaystyle X}$その第一特異相同群へ${\displaystyle H_{1}(X).}$この準同型写像は一般には同型写像ではありません。なぜなら、基本群は非可換群である可能性があるのに対し、ホモロジー群は定義上常に可換群だからです。ただし、この違いは唯一のものです。${\displaystyle X}$はパス連結であり、この準同型は全射であり、その核は基本群の交換子部分群であるため、${\displaystyle H_{1}(X)}$基本群のアーベル化と同型である。 ^{[ 9 ]}

上記の記述を一般化すると、パスで連結された空間の族に対して${\displaystyle X_{i},}$基本グループ${\textstyle \pi _{1}\left(\bigvee _{i\in I}X_{i}\right)}$は、基本群の自由積である。${\displaystyle X_{i}.}$^{[ 10 ]}この事実は、ザイフェルト・ファン・カンペン定理の特殊な場合であり、より一般的には、他の空間から貼り合わされた空間の基本群を計算することを可能にする。例えば、2次元球面${\displaystyle S^{2}}$赤道付近でわずかに重なり合う2つの半球を貼り合わせることで得られる。この場合、定理は以下を示す。${\displaystyle \pi _{1}(S^{2})}$2つの半球は可縮であるため、基本群は自明であり、これは自明である。前述のように、曲面の基本群もこの定理を用いて計算することができる。

圏論の用語では、この定理は、基本群関手が（位相空間の圏における）プッシュアウトを（群の圏における）プッシュアウトへの包含に沿って取る、と簡潔に述べることができる。 ^{[ 11 ]}

位相空間が与えられた場合${\displaystyle B}$連続マップ

${\displaystyle f:E\to B}$

カバーまたは​${\displaystyle E}$は、​${\displaystyle B}$すべてのポイント${\displaystyle b}$で${\displaystyle B}$開放的な近隣地域を認める${\displaystyle U}$逆像と同相写像が存在する${\displaystyle U}$そして、コピーの非交和${\displaystyle U}$（何らかの集合によってインデックス付けされている）${\displaystyle I}$)

${\displaystyle \varphi$ :\bigsqcup _{i\in I}U\to f^{-1}(U)}

そのような方法で${\displaystyle f\circ \varphi }$標準投影図${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}U\to U.}$^{[ 12 ]}

ファイブレーションは、ホモトピー群を計算するための非常に強力な手段を提供する。ファイブレーション${\displaystyle f}$いわゆる全空間、および基底空間${\displaystyle B}$特に、そのすべての繊維が${\displaystyle f^{-1}(b)}$これらはホモトピー同値であり、したがって基本群（および高次ホモトピー群）を使用して区別することはできない。${\displaystyle B}$パス連結である。^{[ 16 ]}したがって、空間は${\displaystyle E}$ベース空間の「ねじれた産物」と見なすことができる${\displaystyle B}$そして繊維${\displaystyle F=f^{-1}(b).}$ホモトピー群の計算におけるファイブレーションの重要性は、長い完全数列に由来する。

${\displaystyle \dots \to \pi _{2}(B)\to \pi _{1}(F)\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}(B)\to \pi _{0}(F)\to \pi _{0}(E)}$

ただし、${\displaystyle B}$パス連結である。^{[ 17 ]}この用語は${\displaystyle \pi _{2}(B)}$は、​${\displaystyle B}$これは、からの写像のホモトピー類の集合として定義されます。${\displaystyle S^{2}}$に${\displaystyle B}$定義と直接類似して${\displaystyle \pi _{1}.}$

もし${\displaystyle E}$たまたまパス連結かつ単連結である場合、このシーケンスは同型写像に還元される。

${\displaystyle \pi _{1}(B)\cong \pi _{0}(F)}$

これは、普遍的な被覆に関する上記の事実を一般化したものです（これは、繊維が${\displaystyle F}$（離散的でもある）。${\displaystyle F}$たまたま連結していて単純に連結しているだけなので、同型写像に還元される。

${\displaystyle \pi _{1}(E)\cong \pi _{1}(B).}$

さらに、この数列は左側でより高次のホモトピー群を用いて継続することができる。${\displaystyle \pi _{n}}$これら3つの空間は、同様の手法でそのような群を計算するための手段を提供する。

大まかに言えば、基本群は空間の1次元の穴構造を検出するが、2次元球面のような高次元の穴は検出しない。このような「高次元の穴」は、高次ホモトピー群を用いることで検出できる。${\displaystyle \pi _{n}(X)}$これらは、(基点保存)写像のホモトピー類から構成されると定義される。${\displaystyle S^{n}}$に${\displaystyle X}$例えば、ヒューレビッツの定理は、すべての に対して が成り立つことを示唆している。${\displaystyle n\geq 1}$の${\displaystyle n}$n次元球面の 番目のホモトピー群は

${\displaystyle \pi _{n}(S^{n})=\mathbb {Z} .}$^{[ 27 ]}

上記の計算で述べたように、${\displaystyle \pi _{1}}$古典的なリー群の高次ホモトピー群は、基本群を計算する際にも重要となる場合がある。

点付き空間における基底ループの集合（ホモトピー変換を行わない、そのままの）${\displaystyle X}$コンパクトな開位相を備えた は、ループ空間として知られており、 と表記される。${\displaystyle \Omega X.}$基本群${\displaystyle X}$は、そのループ空間のパス成分の集合と一対一対応である。 ^{[ 28 ]}

${\displaystyle \pi _{1}(X)\cong \pi _{0}(\Omega X).}$

基本群は、基点の選択が重要な状況で役立つ基本群の変形である。${\displaystyle x_{0}\in X}$は望ましくない。これは、まずパスのカテゴリを考慮することによって定義される。${\displaystyle X,}$すなわち、連続関数

${\displaystyle \gamma \colon [0,r]\to X}$、

どこ${\displaystyle r}$は任意の非負の実数です。長さは${\displaystyle r}$このアプローチでは可変であるため、このようなパスはそのまま連結することができ（つまり、ホモトピーを除いて）、したがってカテゴリが得られます。^{[ 29 ]}このようなパスの 2 つ${\displaystyle \gamma ,\gamma '}$同じ終点と長さ${\displaystyle r}$、それぞれ。${\displaystyle r}$実数が存在する場合、それらは同等とみなされる。${\displaystyle u,v\geqslant 0}$そのため${\displaystyle r+u=r'+v}$そして${\displaystyle \gamma _{u},\gamma '_{v}\colon [0,r+u]\to X}$は、その端点に関して相同であり、${\displaystyle \gamma _{u}(t)={\begin{cases}\gamma (t),&t\in [0,r]\\\gamma (r),&t\in [r,r+u].\end{cases}}}$^{[ 30 ] [ 31 ]}

この同値関係までの経路のカテゴリは次のように表される。${\displaystyle \Pi (X).}$各射は${\displaystyle \Pi (X)}$は同型写像であり、逆写像は同じ経路を反対方向にたどることで得られる。このような圏は群圏と呼ばれる。 は基本群を再現する。

${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})=\mathrm {Hom} _{\Pi (X)}(x_{0},x_{0})}$。

より一般的には、集合上の基本群圏を考えることができる。${\displaystyle A}$状況の幾何学に応じて選択された基点。たとえば、 2 つの連結した開集合の和集合として表すことができる円の場合、その交差部分に 2 つの成分があり、各成分に 1 つの基点を選択できます。ファン・カンペンの定理は、基本群圏に対するバージョンを許容し、たとえば、基本群 (群圏) を計算する別の方法を提供します。${\displaystyle S^{1}.}$^{[ 32 ]}

一般的に、表現は、他の数学的対象、多くの場合ベクトル空間に対する作用によって群の特徴を示すのに役立つ。基本群の表現は非常に幾何学的な意味を持つ。任意の局所システム（つまり、層）${\displaystyle {\mathcal {F}}}$の上${\displaystyle X}$十分に小さな近隣地域にある物件${\displaystyle U}$任意の地点${\displaystyle X}$制限${\displaystyle F}$は、次の形式の定数層です。${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}=\mathbb {Q} ^{n}}$) は、いわゆるモノドロミー表現、つまり基本群の表現を生み出す。${\displaystyle n}$-次元的${\displaystyle \mathbb {Q} }$-ベクトル空間。逆に、パス連結空間上のそのような表現は${\displaystyle X}$この方法で生じる。^{[ 33 ]}カテゴリーの等価性は、${\displaystyle \pi _{1}(X)}$また、局所システムは、例えば、クニジニク・ザモロドチコフ方程式などの微分方程式の研究に使用されます。

代数幾何学では、いわゆるエタール基本群が基本群の代わりとして用いられる。^{[ 34 ]}代数多様体またはスキーム上のザリスキ位相以来${\displaystyle X}$例えば、開部分集合のトポロジーよりもはるかに粗い。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$区間から区間への連続写像を考えることはもはや意味がない${\displaystyle X}$その代わりに、グロタンディークが開発したアプローチは、${\displaystyle \pi _{1}^{\text{et}}}$すべての有限エタールカバーを考慮することにより${\displaystyle X}$これらは、有限繊維を持つ被覆の代数幾何学的な類似物として機能する。

これにより、例えば有限体上で定義された多様体のように、古典的な位相幾何学的直観が全く適用できない状況でも適用可能な理論が得られる。また、体のエタール基本群はその（絶対）ガロア群である。一方、滑らかな多様体の場合${\displaystyle X}$複素数上のエタール基本群は、古典的な基本群に内在する情報の多くを保持しています。前者は後者のプロ有限完備化です。 ^{[ 35 ]}

ルート系の基本群は、リー群の計算と同様の方法で定義される。^{[ 36 ]}これにより、半単純線形代数群の基本群を定義し、利用することができる。${\displaystyle G}$これは、線形代数群の分類において有用な基本ツールである。^{[ 37 ]}

単体集合の1単体間のホモトピー関係${\displaystyle X}$が同値関係である場合${\displaystyle X}$はKan 複合体であるが、必ずしも一般的にそうであるとは限らない。^{[ 38 ]}したがって、${\displaystyle \pi _{1}}$Kan複体の基本群は、1-単体のホモトピー類の集合として定義できる。任意の単体集合の基本群は、${\displaystyle X}$は、その位相的実現のホモトピー群として定義される。${\displaystyle |X|,}$すなわち、単体集合構造によって規定される位相単体を貼り合わせることによって得られる位相空間${\displaystyle X}$[ ^{39 ]​}