除数合計関数

数論において、約数和関数は、約数関数の和となる関数である。これは、リーマンゼータ関数の漸近挙動の研究では頻繁に登場する。約数関数の挙動に関するさまざまな研究は、約数問題と呼ばれることもある。

除数総和関数は次のように定義される。

${\displaystyle D(x)=\sum _{n\leq x}d(n)=\sum _{j,k \atop jk\leq x}1}$

どこ

${\displaystyle d(n)=\sigma _{0}(n)=\sum _{j,k \atop jk=n}1}$

は除数関数である。除数関数は整数nが2つの整数の積として表される方法の数を数える。より一般的には、次のように定義される。

${\displaystyle D_{k}(x)=\sum _{n\leq x}d_{k}(n)=\sum _{m\leq x}\sum _{mn\leq x}d_{k-1}(n)}$

ここで、d _k ( n ) は、 n をk個の数の積として表すことができる方法の数を数えます。この量は、 k次元の双曲面で囲まれた格子点の数として視覚化できます。したがって、k = 2 の場合、D ( x ) = D ₂ ( x ) は、左側に垂直軸、下部に水平軸、右上に双曲線jk  =  xで囲まれた正方格子上の点の数を数えます。大まかに言えば、この形状は双曲単体として考えることができます。これにより、 D ( x ) の別の表現と、それを時間 内に計算する簡単な方法を提供できます。${\displaystyle O({\sqrt {x}})}$

${\displaystyle D(x)=\sum _{k=1}^{x}\left\lfloor {\frac {x}{k}}\right\rfloor =2\sum _{k=1}^{u}\left\lfloor {\frac {x}{k}}\right\rfloor -u^{2}}$、 どこ${\displaystyle u=\left\lfloor {\sqrt {x}}\right\rfloor }$

この文脈で双曲線を円に置き換えた場合、結果として得られる関数の値を決定することはガウス円問題として知られています。

D ( n )の配列( OEISの配列A006218 ): 0、1、3、5、8、10、14、16、20、23、27、29、35、37、41、45、50、52、58、60、66、70、74、76、84、87、91、95、101、103、111、...

この合計式の閉じた形を見つけることは、利用可能な技術の範囲を超えているように思われますが、近似値を与えることは可能です。この級数の代表的な挙動は次のように与えられます。

${\displaystyle D(x)=x\log x+x(2\gamma -1)+\Delta (x)\ }$

ここで はオイラー・マスケロニ定数であり、誤差項は ${\displaystyle \gamma}$

${\displaystyle \Delta (x)=O\left({\sqrt {x}}\right).}$

ここで、はBig-O記法を表す。この推定値はディリクレ双曲線法を用いて証明することができ、1849年にディリクレによって初めて確立された。 ^{[1] : 37–38, 69}ディリクレの因子問題 は、正確に言えば、の 最小値を見つけることによってこの誤差範囲を改善することである。${\displaystyle O}$${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle \Delta (x)=O\left(x^{\theta +\epsilon }\right)}$

はすべての に対して成り立ちます。今日現在、この問題は未解決のままです。進歩は遅いです。同じ方法の多くが、この問題と、別の格子点数え上げ問題であるガウスの円問題 に対して有効です。 ^[2]のセクション F1 では、 これらの問題について何がわかっていて、何がわかっていないかについて調査しています。 ${\displaystyle \epsilon >0}$

• 1904年にG.ボロノイは誤差項を次のように改善できることを証明した^{[3] :381}${\displaystyle O(x^{1/3}\log x).}$
• 1916年、GHハーディはであることを示した。特に、彼はある定数 に対して、となるxの値ととなるxの値が存在することを証明した。^{[1] : 69}${\displaystyle \inf \theta \geq 1/4}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \Delta (x)>Kx^{1/4}}$${\displaystyle \Delta (x)<-Kx^{1/4}}$
• 1922年、J. van der Corputはディリクレの境界を に改良した。^{[3] : 381}${\displaystyle \inf \theta \leq 33/100=0.33}$
• 1928年にファン・デル・コルプトはそれを証明した。^{[3] : 381}${\displaystyle \inf \theta \leq 27/82=0.3{\overline {29268}}}$
• 1950年にChih Tsung-taoが、1953年にHE Richertが独立して証明した。^{[3] : 381}${\displaystyle \inf \theta \leq 15/46=0.32608695652...}$
• 1969 年に、グリゴリ コレスニクは次のことを実証しました。^{[3] : 381}${\displaystyle \inf \theta \leq 12/37=0.{\overline {324}}}$
• 1973年にコレスニックは、次のことを証明した。^{[3] : 381}${\displaystyle \inf \theta \leq 346/1067=0.32427366448...}$
• 1982年にコレスニックは、次のことを実証した。^{[3] : 381}${\displaystyle \inf \theta \leq 35/108=0.32{\overline {407}}}$
• 1988年にH.イワニエツとCJモッツォキはそれを証明した。^[4]${\displaystyle \inf \theta \leq 7/22=0.3{\overline {18}}}$
• 2003年にMNハクスリーはこれを改良し、次のことを示しました。^[5]${\displaystyle \inf \theta \leq 131/416=0.31490384615...}$

したがって、は 1/4 と 131/416 (約 0.3149) の間のどこかにあります。1/4 であると広く推測されています。理論的証拠は、 が(非ガウス) 極限分布を持つことから、この推測に信憑性を与えています。^{[6] 1/4 の値は、}指数ペア に関する推測からも得られます。^[7]${\displaystyle \inf \theta }$${\displaystyle \Delta (x)/x^{1/4}}$

一般化されたケースでは、

${\displaystyle D_{k}(x)=xP_{k}(\log x)+\Delta _{k}(x)\,}$

ここで は次数の多項式である。簡単な推定値を用いると、次の式が容易に証明される。 ${\displaystyle P_{k}}$ ${\displaystyle k-1}$

${\displaystyle \Delta _{k}(x)=O\left(x^{1-1/k}\log ^{k-2}x\right)}$

整数 に対して となります。この場合と同様に、 の任意の値に対して境界の最小値は不明です。これらの最小値を計算することは、ドイツの数学者アドルフ・ピルツ(ドイツ語のページも参照)にちなんでピルツ因子問題として知られています。 が成り立つ最小の値として順序を定義すると、任意の に対して、次の結果が得られます ( は前のセクションのであることに注意してください)。 ${\displaystyle k\geq 2}$${\displaystyle k=2}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \alpha _{k}}$${\displaystyle \Delta _{k}(x)=O\left(x^{\alpha _{k}+\varepsilon }\right)}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \alpha _{2}}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \alpha _{2}\leq {\frac {131}{416}}\ ,}$^[5]

${\displaystyle \alpha _{3}\leq {\frac {43}{96}}\ ,}$^[8]と^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{k}&\leq {\frac {3k-4}{4k}}\quad (4\leq k\leq 8)\\[6pt]\alpha _{9}&\leq {\frac {35}{54}}\ ,\quad \alpha _{10}\leq {\frac {41}{60}}\ ,\quad \alpha _{11}\leq {\frac {7}{10}}\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {k-2}{k+2}}\quad (12\leq k\leq 25)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {k-1}{k+4}}\quad (26\leq k\leq 50)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {31k-98}{32k}}\quad (51\leq k\leq 57)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {7k-34}{7k}}\quad (k\geq 58)\end{aligned}}}$

• ECティッチマーシュは次のように推測している。${\displaystyle \alpha _{k}={\frac {k-1}{2k}}\ .}$

両方の部分はメリン変換として表現できます。

${\displaystyle D(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw}$

である 。ここで、はリーマンゼータ関数である。同様に、${\displaystyle c>1}$${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle \Delta (x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c^{\prime }-i\infty }^{c^{\prime }+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw}$

となる。 の主要項は、の二重極を過ぎて等高線を移動させることによって得られる。主要項は、コーシーの積分公式により留数となる。一般に、 ${\displaystyle 0<c^{\prime }<1}$${\displaystyle D(x)}$${\displaystyle w=1}$

${\displaystyle D_{k}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{k}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw}$

についても、 についても同様です。 ${\displaystyle \Delta _{k}(x)}$${\displaystyle k\geq 2}$

• HMエドワーズ、リーマンのゼータ関数、（1974）ドーバー出版、ISBN 0-486-41740-9 
• EC ティッチマーシュ『リーマンゼータ関数の理論』(1951) オックスフォード、クラレンドン プレス、オックスフォード。(一般化された約数問題については第 12 章を参照)
• アポストル、トム・M. (1976)、解析的数論入門、数学の学部テキスト、ニューヨーク-ハイデルベルグ：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90163-3、MR  0434929、Zbl  0335.10001 (ディリクレ因子問題の概要を説明します。)
• HE Rose.数論講座、オックスフォード、1988年。
• MN Huxley (2003)「指数和と格子点III」、ロンドン数学会誌(3)87: 591–609