完全な理論

数理論理学において、言語の理論は、それが無矛盾であり、かつ矛盾しないすべての閉じた論理式を証明できる場合に完全である。つまり、無矛盾な理論とは、${\displaystyle T}$すべての文について、${\displaystyle \varphi }$言語では、${\displaystyle T\vdash \varphi }$保持または$\displaystyle T\cup \{\varphi \}}$矛盾している。形式体系が爆発原理を満たす場合に同等である別の一般的な定義では、代わりに以下のいずれかを要求する。${\displaystyle \varphi }$あるいはその否定${\displaystyle \neg \varphi }$証明可能${\displaystyle T}$この定義を用いると、${\displaystyle T}$「either」と「or」が排他的論理和として解釈される場合、これは自動的に続くため、定義から省略できます。${\displaystyle T}$さらに演繹的に閉じられ、完全性は、次の条件のうちのちょうど１つが満たされるという簡潔な条件に帰着する。${\displaystyle \varphi }$そして${\displaystyle \neg \varphi }$に含まれる${\displaystyle T}$すべての文について${\displaystyle \varphi }$再帰的に公理化可能な一階理論は、一般的な数学的推論を定式化できるほど一貫性があり、かつ十分に豊かであるため、完全であることはできない。これはゲーデルの第一不完全性定理によって実証されている。^{[ 1 ]}

この構文的な意味での「完全性」は、意味論的な意味での「完全な形式体系」とは区別される。意味論的な意味での「完全な形式体系」とは、形式体系で定式化できるすべての理論について、意味論的に妥当なすべての命題が証明可能な定理である（「意味論的に妥当」という言葉の適切な意味において）と主張するものである。ゲーデルの完全性定理は、後者の種類の完全性に関するものである。

完全な理論は、 Tスキームを内部的にモデル化するいくつかの条件の下で閉じている。

• 一連の数式について${\displaystyle S}$:${\displaystyle A\land B\in S}$かつその場合に限り${\displaystyle A\in S}$そして${\displaystyle B\in S}$、
• 一連の数式について${\displaystyle S}$:${\displaystyle A\lor B\in S}$かつその場合に限り${\displaystyle A\in S}$または${\displaystyle B\in S}$。

最大整合集合は、古典論理と様相論理のモデル理論における基本的なツールである。特定のケースにおける最大整合集合の存在は、通常、矛盾が有限個の前提のみの使用を伴うという考えに基づくツォルンの補題の直接的な帰結である。様相論理の場合、理論T （必然性規則の下で閉じている）を拡張する最大整合集合の集合は、Tのモデル、すなわち正準モデルと呼ばれる構造を持つことができる。

完全な理論の例をいくつか挙げると次のようになります。

• プレスバーガー算術
• タルスキのユークリッド幾何学の公理
• 端点のない稠密線形順序の理論
• 与えられた標数の代数的閉体の理論
• 実閉体の理論
• すべての非可算カテゴリー可算理論
• すべての可算カテゴリー可算理論
• 3つの要素のグループ
• 真の算術、またはその他の基本的な図

• リンデンバウムの補題
• ウォシュ・ヴォート検定

• メンデルソン、エリオット（1997）。数理論理学入門（第4 版）。チャップマン＆ホール。p.  86。ISBN 978-0-412-80830-2。