常微分方程式

数学において、常微分方程式（ODE）は、 1つの独立変数のみに依存する微分方程式（DE）である。他のDEと同様に、その未知数は1つ（または複数）の関数で構成され、それらの関数の導関数を含む。 ^[1]「常微分」という用語は、複数の独立変数に関する偏微分方程式（PDE）と対比して使用され、 [ 2 ] あまり一般的ではないが^、進行がランダムな確率微分方程式（SDE）と対比される。[ 3 ^]

線型微分方程式は、未知の関数とその導関数の線型多項式によって定義される微分方程式であり、次の形式の 方程式である。

${\displaystyle a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}+b(x)=0,}$

ここで、⁠ ⁠${\displaystyle a_{0}(x)}$、...、⁠ ⁠${\displaystyle a_{n}(x)}$、⁠ ⁠${\displaystyle b(x)}$は線形である必要のない任意の微分可能関数であり、 ⁠ ⁠ は${\displaystyle y',\ldots ,y^{(n)}}$変数xの未知の関数yの連続導関数である。^[4]

常微分方程式の中でも、線型微分方程式はいくつかの理由から重要な役割を果たしている。物理学や応用数学で遭遇するほとんどの基本関数と特殊関数は、線型微分方程式の解である（ホロノミック関数を参照）。物理現象が非線型方程式でモデル化される場合、通常は線型微分方程式で近似して解を容易にする。明示的に解くことができる非線型常微分方程式は少数しかないが、通常は方程式を等価な線型常微分方程式に変換することで解く（リカッチ方程式を参照）。^[5]

一部の常微分方程式は、既知の関数と積分を使って明示的に解くことができます。それが不可能な場合は、解のテイラー級数を計算する方程式が役に立つ場合があります。応用問題の場合、常微分方程式の数値法によって解の近似値を得ることができます。

常微分方程式（ODE）は、数学や社会科学、自然科学の多くの場面で登場します。変化の数学的記述には、微分と導関数が使用されます。さまざまな微分、導関数、関数が方程式を介して関連付けられるため、微分方程式は、動的に変化する現象、進化、および変動を記述する結果となります。多くの場合、量は他の量の変化率（たとえば、時間に対する変位の導関数）または量の勾配として定義され、微分方程式に組み込まれます。^[6]

数学の具体的な分野としては、幾何学や解析力学などがある。科学分野では、物理学や天文学（天体力学）、気象学（気象モデル）、化学（反応速度）^{[7] 、} 生物学（感染症、遺伝的変異）、生態学および人口モデル（人口競争）、経済学（株価動向、金利、市場均衡価格の変化）などがある。

ニュートン、ライプニッツ、ベルヌーイ一族、リカッチ、 クレロー、ダランベール、オイラーなど多くの数学者が微分方程式を研究し、この分野に貢献してきました。

簡単な例としては、ニュートンの運動の第二法則がある。力Fを受けた物体の変位xと時間tの関係は、微分方程式で与えられる。

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=F(x(t))\,}$

これは、質量が一定である粒子の運動を制約する。一般に、F は時刻tにおける粒子の位置x ( t )の関数である。未知の関数x ( t ) は微分方程式の両辺に現れ、F ( x ( t ) ) と表記される。^{[8] [9] [10] [11]}

以下では、 y は独立変数xの未知の関数y = f ( x )を表す従属変数です。微分法の表記法は、著者によって、また、どの表記法が手元のタスクに最も役立つかによって異なります。この文脈では、ライプニッツの表記法( ⁠ ダイ/dx⁠、⁠²年​/DX2 ^2015/03/13⁠、…、⁠d ⁿ y/dxn^​⁠ ) は微分と積分に便利ですが、ラグランジュの表記法 ( y ′, y ", …, y ^{( n )} ) は高次の導関数を簡潔に表すのに便利で、ニュートンの表記法 は物理学において時間に関する低次の導関数を表すためによく使用されます。 ${\displaystyle ({\dot {y}},{\ddot {y}},{\overset {...}{y}})}$

F、x、y、およびyの導関数が与えられます。すると、次の式の方程式が 成り立ちます。

${\displaystyle F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}}$

はn次の明示的な常微分方程式と呼ばれる。^{[12] [13]}

より一般的には、n次の暗黙の常微分方程式は次の形を取る：^[14]

${\displaystyle F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n)}\right)=0}$

さらに分類があります:

自律型

微分方程式は、変数xに依存しない場合、自律的である。

リニア

微分方程式が線形であるとは、yの導関数の線形結合として表すことができる場合、つまり次のように書き直すことができる場合 である。${\displaystyle F}$

${\displaystyle y^{(n)}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}+r(x)}$

ここでai  ( x ) とr  ( x )はxの連続関数である。^{[12] [15] [16]}_関数 r ( x )はソース項と呼ばれ、さらに分類される。^{[15] [17]}

均質

r ( x ) = 0の場合、線形微分方程式は同次です。この場合、常に「自明な解」y = 0が存在します。

非均質（または不均質）

r ( x ) ≠ 0の場合、線形微分方程式は 非同次です。

非線形

線形ではない微分方程式。

微分方程式がいくつか連立して連立方程式を形成する。yが関数であるベクトルで、y ( x ) = [ y ₁ ( x ), y ₂ ( x ),..., y _m ( x )]であり、Fがyとその導関数のベクトル値関数である場合、

${\displaystyle \mathbf {y} ^{(n)}=\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)}$

は、 n 次、 m次元の常微分方程式の明示的なシステムです。列ベクトル形式では、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}^{(n)}\\y_{2}^{(n)}\\\vdots \\y_{m}^{(n)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{1}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\f_{2}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\\vdots \\f_{m}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\end{pmatrix}}}$

これらは必ずしも線形ではありません。暗黙的な類似物は次のとおりです。

${\displaystyle \mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)}\right)={\boldsymbol {0}}}$

ここで、0 = (0, 0, ..., 0) は零ベクトルである。行列形式では

${\displaystyle {\begin{pmatrix}f_{1}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\f_{2}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\\vdots \\f_{m}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}}$

形式のシステムの場合、一部の情報源では、これを暗黙の ODE [システム]と呼ぶためには、ヤコビ行列が非特異であることも要求しています。このヤコビの非特異性条件を満たす暗黙の ODE システムは、明示的な ODE システムに変換できます。同じ情報源では、特異なヤコビアンを持つ暗黙の ODE システムは微分代数方程式(DAE) と呼ばれています。この区別は単なる用語の 1 つではありません。DAE は根本的に異なる特性を持ち、一般に (非特異な) ODE システムよりも解くのがより複雑です。^{[18] [19] [20]}おそらく追加の導関数については、ヘッセ行列などもこのスキームに従って非特異であると想定されますが、^[要出典] 1 より大きい次数の ODE はすべて (通常は) 1 次 ODE のシステムとして書き直すことができることに注意してください。^[21]これにより、ヤコビの特異性基準は、この分類法がすべての次数で包括的であるのに十分になります。 ${\displaystyle \mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} '\right)={\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {F} (x,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}{\partial \mathbf {v} }}}$

ODE システムの挙動は、位相図を使用して視覚化できます。

微分方程式が与えられた場合

${\displaystyle F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n)}\right)=0}$

関数u : I ⊂ R → R （ Iは区間）は、 u がI上でn回微分可能であり、 かつ

${\displaystyle F(x,u,u',\ \ldots ,\ u^{(n)})=0\quad x\in I.}$

2つの解u : J ⊂ R → Rとv : I ⊂ R → Rが与えられた とき、I ⊂ Jかつ

${\displaystyle u(x)=v(x)\quad x\in I.\,}$

拡張を持たない解は最大解と呼ばれます。R全体にわたって定義された解は大域解と呼ばれます。

n次方程式の一般解は、 n個の任意の独立した積分定数を含む解である。特異解は、定数を特定の値に設定することで一般解から導かれ、多くの場合、設定された「初期条件または境界条件」を満たすように選択される。^[22] 特異解は、一般解の任意の定数に明確な値を割り当てることによって得られない解である。^[23]

線形 ODE のコンテキストでは、特異解という用語は、ODE の任意の解 (必ずしも初期条件を満たしている必要はありません) を指すこともあります。この解は、同次解 (同次 ODE の一般解) に追加され、元の ODE の一般解を形成します。これは、この記事の推測法のセクションで使用されている用語であり、未定係数法とパラメータの変化について説明するときに頻繁に使用されます。

非線形自律常微分方程式では、ある条件下では有限持続時間の解を求めることが可能であり、^[24]ここでの意味は、システム自身のダイナミクスから、システムは終了時に値 0 に到達し、その後は永久に 0 のままであるということです。これらの有限持続時間の解は実数直線全体上の解析関数にはならず、終了時に非リプシッツ関数となるため、リプシッツ微分方程式の解の一意性定理には含まれません。

たとえば、次の式:

${\displaystyle y'=-{\text{sgn}}(y){\sqrt {|y|}},\,\,y(0)=1}$

有限期間の解を認める:

${\displaystyle y(x)={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{2}}+\left|1-{\frac {x}{2}}\right|\right)^{2}}$

常微分方程式および偏微分方程式の特異解の理論はライプニッツの時代から研究対象となっていたが、19世紀中ごろからようやく特別な注目を集めるようになった。このテーマに関する貴重だがあまり知られていない著作は、ウタン（1854年）の著作である。ダルブー（1873年以降）はこの理論の先駆者であり、これらの解の幾何学的解釈において、カソラーティやケイリーなどさまざまな著者が研究する分野を切り開いた。1900年ごろに受け入れられた1階微分方程式の特異解の理論は、後者（1872年）によるものである。

微分方程式を扱う初期の試みは、求積法への簡約を念頭に置いていた。18世紀の代数学者が一般のn次方程式を解く方法を見つけることを望んでいたのと同様に、分析家たちはあらゆる微分方程式を積分する一般的な方法を見つけることを望んでいた。しかし、ガウス（1799）は、複素微分方程式には複素数が必要であることを示した。そのため、分析家たちは関数の研究を代わりに始め、新しい有望な分野を切り開いた。この見解の重要性を認識した最初の人物はコーシーだった。その後、本当の問題は、既知の関数またはその積分によって解が可能であるかどうかではなく、与えられた微分方程式が独立変数または変数の関数の定義に十分であるかどうか、そして十分であるとすれば、特徴的な特性は何かということになった。

フックスの2つの回想録^{[25]は、後にトーメと}フロベニウスによって詳述された新しいアプローチに影響を与えた。コレットは1869年以降、著名な貢献者であった。非線形システムを積分する彼の方法は、1868年にベルトランに伝えられた。クレプシュ(1873)は、彼のアーベル積分理論と平行して理論に取り組んだ。アーベル積分は、有理変換で変化しない基本曲線の特性に従って分類できるため、クレプシュは、微分方程式によって定義される超越関数を、有理1対1変換の下での 対応する曲面f = 0の不変特性に従って分類することを提案した。

1870 年以降、ソフス・リーの研究は微分方程式の理論に優れた基礎を置いた。彼は、古い数学者の積分理論はリー群を使用することで共通の源泉を参照できること、また同じ微小変換を許容する常微分方程式は同等の積分困難を伴うことを示した。彼はまた、接触変換という主題を強調した。

リーの微分方程式群論は、(1)微分方程式を解くために知られている多くのアドホックな方法を統合し、(2)解を見つけるための強力な新しい方法を提供するという点で証明されています。この理論は、常微分方程式と偏微分方程式の両方に応用できます。^[26]

一般的な解法のアプローチでは、微分方程式の対称性、解から解への連続的な無限小変換(リー理論) を使用します。連続群論、リー代数、微分幾何学は、積分可能な方程式を生成するための線形および非線形 (偏) 微分方程式の構造を理解し、そのLax ペア、再帰演算子、Bäcklund 変換を見つけ、最終的に DE の正確な解析解を見つけるために使用されます。

対称性法は、数学、物理学、工学、その他の分野で生じる微分方程式に適用されてきました。

シュトゥルム・リウヴィル理論は、特殊なタイプの2次線型常微分方程式の理論である。その解は、2次同次線型方程式で定義された線型演算子の固有値と対応する固有関数に基づいている。この問題はシュトゥルム・リウヴィル問題 (SLP) として識別され、1800年代半ばにこの問題を研究したJ. C. F. シュトゥルムとJ. リウヴィルにちなんで名付けられている。SLP には無限の数の固有値があり、対応する固有関数は完全な直交集合を形成し、直交展開を可能にする。これは応用数学、物理学、工学における重要な考え方である。^[27] SLP は特定の偏微分方程式の解析にも有用である。

局所的および大域的に常微分方程式の 初期値問題に対する解の存在と一意性を証明する定理はいくつかある。主な定理は次の2つである。

基本的な形式では、これらの定理は両方とも局所的な結果のみを保証しますが、後者は、たとえばグロンヴァルの不等式の条件が満たされている場合、グローバルな結果を与えるように拡張できます。

また、上記のリプシッツのような一意性定理はDAEシステムには適用されません。DAEシステムでは、（非線形）代数部分のみから複数の解が生じる可能性があります。^[28]

この定理は、簡単に言えば、次のように述べることができる。^[29]方程式と初期値問題について、 Fと ∂ F /∂ y がxy平面 の閉じた長方形内で連続している 場合、aとb は実数（記号的には、a、b ∈ R）であり、 × は直積を表し、角括弧は閉区間を表す、 あるh ∈ Rに対して、上記の方程式と初期値問題の解が見つかる区間が存在する。つまり、解が存在し、その解は一意である。Fが線形である必要はないため、これはF ( x、y )という形式を取る非線形方程式にも適用でき、連立方程式にも適用できる。 $${\displaystyle y'=F(x,y)\,,\quad y_{0}=y(x_{0})}$$$${\displaystyle R=[x_{0}-a,x_{0}+a]\times [y_{0}-b,y_{0}+b]}$$$${\displaystyle I=[x_{0}-h,x_{0}+h]\subset [x_{0}-a,x_{0}+a]}$$

ピカール・リンデレーフ定理の仮定が満たされると、局所的な存在と一意性は大域的な結果に拡張される。より正確には：^[30]

各初期条件（x ₀、y ₀）に対して、一意の最大（おそらく無限）開区間が存在する。

${\displaystyle I_{\max }=(x_{-},x_{+}),x_{\pm }\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},x_{0}\in I_{\max }}$

この初期条件を満たす任意の解は、領域 でこの初期条件を満たす解の制限になります。 ${\displaystyle I_{\max }}$

の場合、正確には2つの可能性がある。 ${\displaystyle x_{\pm }\neq \pm \infty }$

• 有限時間内での爆発:${\displaystyle \limsup _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty }$
• 定義のドメインを離れる:${\displaystyle \lim _{x\to x_{\pm }}y(x)\ \in \partial {\bar {\Omega }}}$

ここで、Ω はFが定義されている開集合であり、その境界です。 ${\displaystyle \partial {\bar {\Omega }}}$

解の最大領域は

• 常に区間である（一意性を持つため）
• より小さいかもしれない${\displaystyle \mathbb {R} }$
• ( x ₀ , y ₀ )の具体的な選択によって変わる可能性があります。

例。

${\displaystyle y'=y^{2}}$

これは、 F ( x, y ) = y ²であり、C ¹であるため局所的にリプシッツ連続となり、ピカール・リンデレーフの定理を満たします。

このような単純な設定でも、解の最大領域は、解が ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle y(x)={\frac {y_{0}}{(x_{0}-x)y_{0}+1}}}$

最大のドメインを持つもの:

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {R} &y_{0}=0\\[4pt]\left(-\infty ,x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}}\right)&y_{0}>0\\[4pt]\left(x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}},+\infty \right)&y_{0}<0\end{cases}}}$

これは、最大間隔が初期条件に依存する可能性があることを明確に示しています。y のドメインはと見なすことができますが、これは間隔ではないドメインにつながり、初期条件の反対側は初期条件から切り離され、したがってそれによって一意に決定されなくなります。 ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus (x_{0}+1/y_{0}),}$

最大ドメイン は${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \lim _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty ,}$

これは上記の定理によれば 2 つの可能なケースのうちの 1 つです。

通常、微分方程式は、方程式の 次数を減らすことができれば、解きやすくなります。

n次の明示的な微分方程式は、

${\displaystyle F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}}$

は、新しい未知の関数族を定義することにより、 n個の1階微分方程式のシステムとして記述できる。

${\displaystyle y_{i}=y^{(i-1)}.\!}$

i = 1, 2, ..., nである。n次元の 1階連立微分方程式は、

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}y_{1}'&=&y_{2}\\y_{2}'&=&y_{3}\\&\vdots &\\y_{n-1}'&=&y_{n}\\y_{n}'&=&F(x,y_{1},\ldots ,y_{n}).\end{array}}}$

ベクトル表記ではより簡潔に表すと次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {y} '=\mathbf {F} (x,\mathbf {y} )}$

どこ

${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{n}),\quad \mathbf {F} (x,y_{1},\ldots ,y_{n})=(y_{2},\ldots ,y_{n},F(x,y_{1},\ldots ,y_{n})).}$

いくつかの微分方程式には、正確な閉じた形式で記述できる解があります。ここではいくつかの重要なクラスを示します。

以下の表で、P ( x )、Q ( x )、P ( y )、Q ( y )、およびM ( x、y )、N ( x、y )はx、yの任意の積分可能な関数です。bおよびc は与えられた実定数です。C ₁、C ₂、...は任意の定数です (一般には複素数)。 微分方程式は、積分によって解を導く同等の形式と代替形式になっています。

積分解では、 λ と ε は積分のダミー変数（和の指数の連続体類似体）であり、表記法∫ ^x F ( λ ) dλ は単にF ( λ ) をλに関して積分し、積分後にλ = x を代入し、定数を追加しないことを意味します（明示的に述べられています）。

ODE を解く他の方法がすべて失敗した場合、または DE の解がどのようなものになるかについて何らかの直感がある場合、解を推測してそれが正しいことを検証するだけで DE を解くことができることがあります。この方法を使用するには、微分方程式の解を推測し、その解を微分方程式に代入して方程式を満たすかどうかを検証します。方程式を満たす場合は DE の特定の解が得られ、そうでない場合は最初からやり直して別の推測を試みます。たとえば、DE の解は次の形式であると推測できます。これは、物理的に正弦波のように動作する非常に一般的な解であるためです。 ${\displaystyle y=Ae^{\alpha t}}$

非同次な 1 階 ODE の場合、まず DE の同次部分 (つまり関連する同次方程式) の解を求め、次に推測によって非同次方程式全体の解を求める必要があります。最後に、これらの解の両方を加算して、ODE の一般解を取得します。つまり、次のようになります。

${\displaystyle {\text{general solution}}={\text{general solution of the associated homogeneous equation}}+{\text{particular solution}}}$

• オープンソースのコンピュータ代数システムであるMaxima。
• COPASI は、 ODE の積分と解析のための無料 ( Artistic License 2.0 ) ソフトウェア パッケージです。
• MATLAB、技術計算アプリケーション (MATrix LABoratory)
• GNU Octave は、主に数値計算を目的とした高水準言語です。
• 数値計算用のオープンソースアプリケーションであるScilab 。
• 記号計算用の独自アプリケーションであるMaple 。
• Mathematica は、主に記号計算を目的とした独自のアプリケーションです。
• SymPy は、常微分方程式を記号的に解くことができる Python パッケージです。
• Julia (プログラミング言語) は、主に数値計算を目的とした高級言語です。
• SageMath は、数学のさまざまな分野にわたる幅広い機能を備えた Python のような構文を使用するオープンソース アプリケーションです。
• SciPy は、ODE 統合モジュールを含む Python パッケージです。
• Chebfun は、 MATLABで記述されたオープンソース パッケージで、関数を 15 桁の精度で計算します。
• GNU R は、主に統計学を目的としたオープンソースの計算環境で、ODE を解くためのパッケージが含まれています。

• 境界値問題
• 微分方程式の例
• 微分方程式に適用されるラプラス変換
• 動的システムと微分方程式のトピックのリスト
• 行列微分方程式
• 未定係数法
• 再帰関係

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• オンラインノート / 微分方程式、著者：ポール・ドーキンス、ラマー大学。
• 微分方程式、SOS数学。
• サウスフロリダ大学 Holistic Numerical Methods Institute による微分方程式の解析解法の入門書。
• ジェラルド・テシュルによる常微分方程式と動的システムの講義ノート。
• Diffy Qs に関するメモ: エンジニアのための微分方程式UIUCの Jiri Lebl による微分方程式の入門書。
• Scilab を使用した ODE によるモデリング Openeering チームによる、Scilab 標準プログラミング言語を使用して ODE で記述された物理システムをモデリングする方法に関するチュートリアル。
• Wolfram|Alpha で常微分方程式を解く