友好的な数字

友愛数とは、それぞれの真約数の合計が他の数と等しくなるような関係にある2 つの異なる自然数です。つまり、 s ( a )= bかつs ( b )= aであり、ここでs ( n )=σ( n )- n はn自身を除くnの正の約数の合計に等しくなります(約数関数も参照)。

最も小さい友好的な数のペアは ( 220 , 284 ) です。これらが友好的なのは、220 の真約数が 1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110 であり、それらの合計が 284 であり、284 の真約数が 1、2、4、71、142 であり、それらの合計が 220 であるためです。

最初の 10 個の友好的な数ペアは、(220, 284)、(1184, 1210)、(2620, 2924)、(5020, 5564)、(6232, 6368)、(10744, 10856)、(12285, 14595)、(17296, 18416)、(63020, 76084)、(66928, 66992) です ( OEISのシーケンスA259180 )。友好的な数のペアが無限に存在するかどうかは不明です。

親和数 2 組は周期2の因数列を構成します。関連する概念に完全数があります。完全数とは、自身の真約数の合計に等しい数、つまり周期 1 の因数列を形成する数です。周期が 2 より大きい因数列の要素である数は、親和数として知られています。

ピタゴラス学派は友愛数を知っていました。彼らは友愛数に多くの神秘的な性質があると信じていました。これらの数のいくつかを導く一般的な公式は、850年頃にイラクの数学者Thābit ibn Qurra (826–901)によって発明されました。友愛数を研究した他のアラブの数学者には、 al-Majriti (1007年死去)、al-Baghdadi (980–1037)、al-Fārisī (1260–1320)がいます。イランの数学者Muhammad Baqir Yazdi (16世紀)は、ペア(9363584、9437056)を発見しましたが、これはしばしばデカルトに帰せられてきました。^{[1]この分野における}東洋の数学者の仕事の多くは忘れ去られています。

タービト・イブン・クルラの公式はフェルマー（1601–1665）とデカルト（1596–1650）によって再発見され、この二人の功績とされることもある。そしてオイラー（1707–1783）によって拡張された。1972年にボルホによってさらに拡張された。フェルマーとデカルトは、アラブの数学者に知られていた友好的な数のペアも再発見した。オイラーも数十の新しいペアを発見した。^{[2] 2}番目に小さいペア（1184、1210）は、1867年に16歳のB.ニコロ・I.パガニーニ（作曲家兼バイオリニストと混同しないように）によって発見されたが、それ以前の数学者によって見落とされていた。^{[3] [4]}

友好的なペアは10億組以上知られている。^[5]

これらのルールは確かに友好的な数字のペアを生成しますが、他の多くのペアも知られているため、これらのルールは決して包括的なものではありません。

特に、以下の 2 つの規則は偶数の友好ペアのみを生成するため、210 = 2·3·5·7 と互いに素な友好ペアを見つけるという未解決の問題には関係ありません。一方、30 = 2·3·5 と互いに素なペアは 1000 組以上知られています [García、Pedersen & te Riele (2003)、Sándor & Crstici (2004)]。

タービット・イブン・クルラの定理は、 9世紀にアラブの 数学者 タービット・イブン・クルラによって発明された、友好数を発見する方法である。^[6]

それは、もし $${\displaystyle {\begin{aligned}p&=3\times 2^{n-1}-1,\\q&=3\times 2^{n}-1,\\r&=9\times 2^{2n-1}-1,\end{aligned}}}$$

ここでn > 1は整数で、p、q、 r は素数である場合、2 ⁿ × p × qと2 ⁿ × rは友好的な数のペアです。この公式は、n = 2の場合は(220, 284)、n = 4の場合は(17296, 18416)、n = 7の場合は(9363584, 9437056)のペアを与えますが、他にそのようなペアは知られていません。3 × 2 ⁿ − 1の形式の数は、タビト数として知られています。イブン・クルラの公式が友好的なペアを生成するためには、2つの連続するタビト数が素数でなければなりません。これにより、nの可能な値が厳しく制限されます。

この定理を確立するために、Thâbit ibn Qurraは2つのグループに分かれた9つの補題を証明した。最初の3つの補題は自然数の約数の決定を扱っている。2番目のグループの補題は、完全数、過剰数、不足数の形成をより具体的に扱っている。^[6]

オイラーの定理は、 Thābit ibn Qurra の定理を一般化したものである。これは、 n > m > 0が整数 で、p、q、r が素数である場合、2 ⁿ × p × qと2 ⁿ × r が友好的な数のペアであるということを述べている。Thābit ibn Qurra の定理は、 m = n − 1の場合に対応する。オイラーの定理は、( m、n ) = (1,8)、(29,40)に対して追加の友好的なペアを作成し、他には知られていない。オイラー (1747 & 1750) は全体で 58 の新しいペアを発見し、当時知られていたペアの数は 61 に増加した。^{[2] [7]}$${\displaystyle {\begin{aligned}p&=(2^{n-m}+1)\times 2^{m}-1,\\q&=(2^{n-m}+1)\times 2^{n}-1,\\r&=(2^{n-m}+1)^{2}\times 2^{m+n}-1,\end{aligned}}}$$

( m , n ) をm < nの友好的な数のペアとし、m = gMおよびn = gNと書きます。ここでgはmとnの最大公約数です。 MとNが両方ともgと互いに素で平方根がない場合は、ペア ( m , n ) は正則( OEISのシーケンスA215491 )であると言われます。そうでない場合は、不規則または異常と呼ばれます。 ( m , n ) が正則で、MとNにそれぞれi 個とj個の素因数がある場合、 ( m , n )は( i , j )型であると言われます。

たとえば、( m , n ) = (220, 284)の場合、最大公約数は4なので、M = 55、N = 71となります。したがって、(220, 284) は(2, 1)型の正規数です。

友好的なペア( m、n )が双子であるとは、 mとnの間に、他の友好的なペアに属する整数がない場合です( OEISのシーケンスA273259 )。

既知のすべてのケースでは、ペアの数は両方とも偶数か両方とも奇数です。偶奇の友好的な数ペアが存在するかどうかはわかっていませんが、存在する場合、偶数は平方数か1の2倍で、奇数は平方数でなければなりません。ただし、2つのメンバーが異なる最小の素因数を持つ友好的な数は存在し、そのようなペアは7つ知られています。^[8]また、既知のすべてのペアは、少なくとも1つの共通の素因数を共有しています。互いに素な友好的な数のペアが存在するかどうかはわかっていませんが、存在する場合、2つの積は10 ⁶⁵より大きくなければなりません。^{[9] [10]}また、互いに素な友好的な数のペアは、上記のタビトの公式や同様の公式では生成できません。

1955年にポール・エルデシュは、正の整数に対する友好的な数の密度は0であることを示した。^[11]

1968年にマーティン・ガードナーは、ほとんどの偶数和合ペアは9で割り切れることに注目し、 ^[12]例外を特徴付ける規則（OEISのシーケンスA291550）が得られました。^[13]

友好ペアの合計予想によれば、友好数の数が無限大に近づくにつれて、10 で割り切れる友好ペアの合計の割合は 100% に近づきます ( OEISのシーケンスA291422 )。10,000 までの友好ペアはすべて偶数ペアですが、奇数友好ペアの割合はより大きな数に近づくにつれて着実に増加し、おそらく偶数友好ペアよりも奇数友好ペアの方が多いと考えられます (OEIS の A360054)。

ガウス整数の友好的なペアが存在する。^{[14] [15]}例えば、s(8008+3960i) = 4232-8280i、s(4232-8280i) = 8008+3960i。^[16]

友好的な数はと を満たし、これらは と書き表すことができます。これは、 などのより大きな組に一般化することができ、その場合は ${\displaystyle (m,n)}$${\displaystyle \sigma (m)-m=n}$${\displaystyle \sigma (n)-n=m}$${\displaystyle \sigma (m)=\sigma (n)=m+n}$${\displaystyle (n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k})}$

${\displaystyle \sigma (n_{1})=\sigma (n_{2})=\dots =\sigma (n_{k})=n_{1}+n_{2}+\dots +n_{k}}$

たとえば、(1980, 2016, 2556) は友好的な三つ組( OEISのシーケンスA125490 ) であり、(3270960, 3361680, 3461040, 3834000) は友好的な四つ組 ( OEISのシーケンスA036471 ) です。

友好的多重集合も同様に定義され、これをもう少し一般化します ( OEISのシーケンスA259307 )。

社交数とは、各数が前の数の真約数の合計である、循環的な数リスト（長さが 2 より大きい）内の数です。たとえば、は位数 4 の社交数です。 ${\displaystyle 1264460\mapsto 1547860\mapsto 1727636\mapsto 1305184\mapsto 1264460\mapsto \dots }$

因数列は、与えられた整数 に対して、有向グラフとして表すことができます。ここで、は の真約数の合計を表します。^[17]内のサイクルは、区間 内の社交的な数を表します。2つの特別なケースとして、完全数を表すループと、友好的なペアを表す長さ 2 のサイクルがあります。 ${\displaystyle G_{n,s}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle s(k)}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G_{n,s}}$${\displaystyle [1,n]}$

• 友好的な数字は、小川洋子の小説『家政婦と教授』、およびそれを原作とした日本映画に登場します。
• ポール・オースターの短編集『True Tales of American Life』には、友好的な数字が重要な役割を果たす物語（アレックス・ゴールトによる「Mathematical Aphrodisiac」）が収録されています。
• レジナルド・ヒルの小説『異邦人の家』には、友好的な数字が少しだけ登場します。
• 友好数は、デニス・ゲジのフランスの小説『オウムの定理』で言及されています。
• 友好的な数字は、JRPGペルソナ 4 ゴールデンで言及されています。
• ビジュアルノベル「Rewrite」には友好的な数字が登場します。
• 2017年の韓国ドラマ「アンダンテ」の第13話では、友好的な数字（220、284）が言及されています。
• ギリシャ映画『The Other Me』（2016年映画）には、友好的なナンバーが使われています。
• 友好的な数については、ブライアン・クレッグの著書『Are Numbers Real?』で説明されています。
• 友好的な数字は、2020年に出版されたコラム・マッキャンの小説『アペイロゴン』で言及されています。

• 婚約数（準友好数）
• アミケーブル トリプル- アミケーブル ナンバーの 3 つの数字のバリエーション。

ウィキソースには、1911 年のブリタニカ百科事典の記事「Amicable Numbers 」のテキストがあります。

•  この記事には、現在パブリック ドメインとなっている出版物のテキストが組み込まれています: ヒュー・チザム編 (1911)。「Amicable Numbers」。ブリタニカ百科事典(第 11 版)。ケンブリッジ大学出版局。
• サンダー、ジョゼフ。クリスティチ、ボリスラフ (2004)。整数論ハンドブック II．ドルドレヒト: クルーワー学者。 32～36ページ。ISBN 978-1-4020-2546-4.ZBL1079.11001  。​
• ウェルズ、D. (1987)。『ペンギン不思議数字辞典』ロンドン：ペンギングループ、pp.145-147。
• Weisstein、Eric W.「友好的なペア」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック・W.「タービット・イブン・クラー・ルール」。マスワールド。
• Weisstein, Eric W. 「オイラーの定理」。MathWorld。

• M.ガルシア; JMペダーセン; HJJ テ リエレ (2003-07-31)。 「仲良しペア、アンケート」（PDF）。レポート MAS-R0307。
• グライム、ジェームズ。「220 と 284 (友好的な数)」。Numberphile。ブレイディ・ハラン。2017 年 7 月 16 日のオリジナルからアーカイブ。2013年 4 月 2 日閲覧。
• グライム、ジェームズ。「MegaFavNumbers - 偶数友好数予想」。YouTube 。 2021年11月23日時点のオリジナルよりアーカイブ。2020年6月9日閲覧。
• Koutsoukou-Argyraki、Angeliki (2020 年 8 月 4 日)。「Amicable Numbers (Isabelle/HOL での形式的証明の開発、Archive of Formal Proofs)」。
• チェルニフ、セルゲイ。 「友好的なペアリスト」。2023-09-10に取得。(すべての既知の友好的な番号のデータベース)