代数面

数学において、代数曲面は次元2の代数多様体です。複素数体上の幾何学の場合、代数曲面は複素次元 2 (非特異な場合は複素多様体として) を持ち、滑らかな多様体の場合は次元 4 になります。

代数曲面の理論は、代数曲線の理論よりもはるかに複雑です( (実)次元 2 の真正な曲面であるコンパクトな リーマン面を含む)。多くの結果が得られましたが、イタリアの代数幾何学学派、およびは 100 年も前のものです。

次元 1 の場合、多様体は位相種数のみで分類されますが、次元 2 では位相種数のみを双有理的に区別することはできないため、算術種数 と幾何種数を区別する必要があります。次に、多様体の分類に不規則性を導入します。結果の要約 (詳細、各曲面の種類については各リダイレクトを参照) は次のとおりです。 ${\displaystyle p_{a}}$ ${\displaystyle p_{g}}$

代数曲面の例としては、次のものがある（κは小平次元）。

• κ = −∞:射影平面、P ³の二次曲面、三次曲面、ヴェロネーゼ面、デル・ペッツォ面、線織面
• κ = 0 : K3 曲面、アーベル曲面、エンリケス曲面、超楕円曲面
• κ = 1:楕円面
• κ = 2:一般型の表面。

その他の例については、代数曲面のリストを参照してください。

最初の 5 つの例は、実際には双有理的に同値です。つまり、たとえば、3 次曲面には、射影平面の関数体と同型の関数体があり、これは 2 つの不定値における有理関数です。2 つの曲線の直積も例となります。

代数曲面の双有理幾何学は、ブローアップ（モノイド変換とも呼ばれる）により豊かであり、ブローアップでは、点が、それに入るすべての極限接線方向の曲線（射影直線）に置き換えられます。特定の曲線はブローダウンすることもできますが、制限があります（自己交差数は -1 でなければなりません）。

曲面の双有理幾何学の基本定理の 1 つに、カステルヌオーヴォの定理があります。これは、代数曲面間の任意の双有理写像は、ブローアップとブローダウンの有限のシーケンスによって与えられることを述べています。

中井基準は次のように述べています。

曲面S上の因子Dが十分であるためには、D ² > 0であり、 S上のすべての既約曲線Cに対してD•C > 0 である必要があります。

十分な因子は、射影空間の超平面束の引き戻しのような、よく知られた性質を持っています。S上のすべての因子からなるアーベル群を とします。交差定理により、${\displaystyle {\mathcal {D}}(S)}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}(S)\times {\mathcal {D}}(S)\rightarrow \mathbb {Z} :(X,Y)\mapsto X\cdot Y}$

は2次形式として考えられます。

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0}(S):=\{D\in {\mathcal {D}}(S)|D\cdot X=0,{\text{for all }}X\in {\mathcal {D}}(S)\}}$

すると、Sの数値同値類群となり、 ${\displaystyle {\mathcal {D}}/{\mathcal {D}}_{0}(S):=Num(S)}$

${\displaystyle Num(S)\times Num(S)\mapsto \mathbb {Z} =({\bar {D}},{\bar {E}})\mapsto D\cdot E}$

は 上の二次形式にもなり、 はS上の因子Dの像です。(以下では、像はDと省略されています。) ${\displaystyle Num(S)}$${\displaystyle {\bar {D}}}$${\displaystyle {\bar {D}}}$

S上の十分な直線束Hに対して、定義

${\displaystyle \{H\}^{\perp }:=\{D\in Num(S)|D\cdot H=0\}.}$

はホッジ指数定理の表面バージョンで使用されます。

に対して、つまり、交差形式を に制限すると、負定値の二次形式になります。${\displaystyle D\in \{\{H\}^{\perp }|D\neq 0\},D\cdot D<0}$${\displaystyle \{H\}^{\perp }}$

この定理は、ナカイ基準と曲面のリーマン・ロッホの定理を使用して証明されます。ホッジ指数定理は、ドリーニュのヴェイユ予想の証明で使用されています。

代数曲面に関する基本的な結果には、ホッジ指​​数定理や、代数曲面の分類と呼ばれる双有理同値類の 5 つのグループへの分割が含まれます。小平次元2 の一般型クラスは非常に大きいです (たとえば、 P ³の非特異曲面の次数 5 以上がこのクラスに含まれます)。

曲面には、本質的に 3 つのホッジ数不変量がある。そのうち、 h ^{1,0 は、古典的には}不規則性と呼ばれ、 qで表された。また、h ^{2,0 は、}幾何種 p _gと呼ばれていた。3 番目のh ^1,1は、爆発によってH ^1,1のクラスを持つ曲線全体を追加できるため、双有理不変量で はない。ホッジサイクルは代数的であり、代数的同値はホモロジー的同値と一致することが知られているため、h ^{1,1 は、}ネロン・セヴェリ群の階数 ρ の上限である。算術種p _aは、

幾何学的属 − 不規則性。

これは、不規則性が一種の「誤差項」としてその名前を得た理由を説明しています。

曲面に関するリーマン・ロッホの定理は、マックス・ネーターによって初めて定式化されました。曲面上の曲線の族は、ある意味では分類することができ、その興味深い幾何学的性質の多くを生み出します。

• ドルガチェフ、IV (2001) [1994]、「代数面」、数学百科事典、EMSプレス
• ザリスキ、オスカー（1995）、代数面、Classics in Mathematics、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-58658-6、MR  1336146

• ユーザー ギャラリーを含む、代数曲面をリアルタイムで視覚化する無料プログラム SURFER。
• SingSurf は代数面のインタラクティブな 3D ビューアです。
• 代数曲面に関するページは2008年に開始されました
• 代数曲面の設計に関する概要と考察