代数幾何学

代数幾何学は、主に可換代数の抽象代数技法を使用して幾何学的問題を解く数学の一分野です。古典的には、多変数多項式の零点を研究しますが、現代のアプローチでは、いくつかの異なる側面でこれを一般化しています。

代数幾何学における基本的な研究対象は代数多様体であり、これは多項式方程式系の解の幾何学的表現である。最も研究されている代数多様体のクラスの例としては、直線、円、放物線、楕円、双曲線、楕円曲線のような3 次曲線、レムニスケート線やカッシーニの楕円のような 4 次曲線がある。これらは平面代数曲線である。平面上の点は、その座標が与えられた多項式方程式を満たす場合、代数曲線上に存在する。基本的な問題には、特異点、変曲点、無限遠点などの特別な関心のある点の研究が含まれる。より高度な問題には、曲線の 位相と、異なる方程式によって定義される曲線間の関係が含まれる。

代数幾何学は現代数学の中心的な位置を占めており、複素解析、位相幾何学、数論などのさまざまな分野と多様な概念的つながりを持っています。多変数の多項式方程式系の研究として、代数幾何学の主題は方程式を解くことによって特定の解を見つけることから始まり、方程式系の解全体の固有の特性を理解することに進みます。この理解には、概念理論と計算技術の両方が必要です。

20 世紀には、代数幾何学はいくつかのサブ領域に分割されました。

• 代数幾何学の主流は、代数多様体の複素点の研究、より一般的には代数的に閉じた体における座標を持つ点の研究です。
• 実代数幾何学は実代数多様体の研究です。
• ディオファントス幾何学、より一般的には数論幾何学は、代数的に閉じていない体、具体的には有理数体、数体、有限体、関数体、p進体などの代数的数論で興味のある体上の代数多様体の研究です。
• 特異点理論の大部分は代数多様体の特異点に費やされています。
• 計算代数幾何学は、コンピュータの台頭により、代数幾何学とコンピュータ代数の交差点に出現した分野です。主に、明示的に与えられた代数多様体の特性を研究するためのアルゴリズム設計とソフトウェア開発から構成されます。

20 世紀における代数幾何学の主流の発展の多くは、抽象代数の枠組みの中で起こり、周囲の座標空間に代数多様体を埋め込む特定の方法に依存しない代数多様体の「本質的な」性質にますます重点が置かれるようになった。これは、位相幾何学、微分幾何学、複素幾何学の発展と並行している。この抽象代数幾何学の重要な成果の 1 つは、グロタンディークのスキーム理論である。これにより、微分多様体や解析多様体の研究で層理論が使用されるのと非常によく似た方法で、代数多様体を研究するために層理論を使用できる。これは、点の概念を拡張することによって得られる。古典的な代数幾何学では、アフィン多様体の点は、ヒルベルトの零点定理を通じて、座標環の極大イデアルと同一視されるが、対応するアフィンスキームの点はすべて、この環の素イデアルである。これは、そのようなスキームの点が通常の点または部分多様体のいずれかである可能性があることを意味する。このアプローチにより、主に複素点を扱う古典的な代数幾何学と代数的数論の言語とツールの統合も可能になります。フェルマーの最終定理と呼ばれる長年の予想に対するワイルズの証明は、このアプローチの威力を示す一例です。

古典的な代数幾何学では、主な関心対象は多項式の集合の消失集合、つまり1つ以上の多項式方程式を 同時に満たすすべての点の集合です。たとえば、3次元ユークリッド空間R ^{3の半径1の}2次元 球面は、 ${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0.\,}$

R ³の「傾斜した」円は、 2つの多項式方程式を満たす すべての点の集合として定義できます。${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0,\,}$

${\displaystyle x+y+z=0.\,}$

まず、体 kから始めます。古典的な代数幾何学では、この体は常に複素数Cでしたが、 kが代数的に閉じていると仮定するだけで、同じ結果の多くが当てはまります。k上のn次元のアフィン空間を考えます。これはA ⁿ ( k ) (または、文脈からkが明らかな場合は、より単純にA ⁿ ) で示されます。座標系を固定すると、A ⁿ ( k ) をk ⁿと同一視できます。 k ⁿを扱わない目的は、 k ^{n が}持つベクトル空間構造を「忘れる」ことを強調するためです。

関数f  : A ⁿ → A ¹は、多項式として表すことができる場合、つまり、 A n 内の座標 ( t 1 ,..., t n ) を持つすべての点 M に対して f ( M ) = p ( t 1 ,..., t n ) となるような多項式p が k [ x 1 ,..., x n ] 内に存在する_場合、多項式₍または正則)であると言われます。関数_が多項式(または正則)_であるかどう_かは、 A ⁿ内^の座標系の選択には依存しません。

座標系を選択すると、アフィンn空間上の正則関数は、 k上のn変数の多項式関数の環と同一視される。したがって、 A ⁿ上の正則関数の集合は環であり、k [ A ⁿ ] と表記される。

ある点で多項式を評価するとゼロになるとき、その多項式はそこで消滅すると言う。S をk [ A ⁿ ]の多項式の集合とする。Sの消失集合(または消失軌跡、ゼロ集合) は、 Sのすべての多項式が消滅するA ⁿのすべての点の集合V ( S )である。記号的に、

${\displaystyle V(S)=\{(t_{1},\dots ,t_{n})\mid p(t_{1},\dots ,t_{n})=0{\text{ for all }}p\in S\}.\,}$

あるSに対してV ( S )となるA ⁿの部分集合を代数集合と呼びます。V は多様体(以下で定義される代数集合の特定の種類) を表します。

A ⁿのサブセットUが与えられた場合、それを生成する多項式の集合を復元できますか? U がA ⁿの任意のサブセットである場合、I ( U ) を、消失集合にU が含まれるすべての多項式の集合として定義します。I はイデアルを表します。つまり、2 つの多項式fとg が両方ともUで消失する場合、f + g はUで消失し、h が任意の多項式である場合、hf はUで消失するため、I ( U ) は常に多項式環k [ A ⁿ ]のイデアルです。

当然、次のような 2 つの質問が考えられます。

• A ⁿのサブセットUが与えられたとき、U = V ( I ( U )) となるのはいつですか?
• 多項式の集合Sが与えられたとき、S = I ( V ( S )) となるのはいつですか?

最初の質問への答えは、ザリスキー位相を導入することによって与えられます。ザリスキー位相は、A ⁿ上の位相で、その閉集合は代数集合であり、k [ A ⁿ ] の代数構造を直接反映します。すると、U = V ( I ( U )) であるための必要十分条件は、Uが代数集合または同値なザリスキー閉集合である場合です。2 番目の質問への答えは、ヒルベルトの零点定理によって与えられます。その形式の 1 つでは、I ( V ( S )) はSによって生成されるイデアルの根基であるとされています。より抽象的な言葉で言えば、ガロア接続があり、2 つの閉包演算子が生じます。これらは同一視でき、当然理論の基本的な役割を果たします。この例は、ガロア接続で詳しく説明されています。

さまざまな理由から、代数集合Uに対応するイデアル全体を扱うことが常に望ましいとは限りません。ヒルベルトの基底定理は、k [ A ⁿ ]内のイデアルは常に有限生成されることを意味します。

代数集合は、2 つのより小さな代数集合の和集合として表すことができないとき、既約であると呼ばれます。任意の代数集合は、既約な代数集合の有限和集合であり、この分解は一意です。したがって、その要素は代数集合の既約成分と呼ばれます。既約な代数集合は、多様体とも呼ばれます。代数集合が多様体であるためには、多様体は、多項式環の 素イデアルの消失集合として定義できる必要があります。

著者によっては、代数集合と代数多様体を明確に区別せず、必要に応じて既約多様体を使用して区別しています。

連続関数が位相空間上の自然な写像であり、滑らかな関数が微分可能多様体上の自然な写像であるのと同様に、代数集合上の関数の自然なクラスがあり、これを正則関数または多項式関数と呼びます。 A ⁿに含まれる代数集合V上の正則関数は、 A ⁿ上の正則関数のVへの制限です。複素数体上で定義された代数集合の場合、正則関数は滑らかで解析的ですらあります。

正則関数が常に周囲空間に拡張されることを要求するのは不自然な制限のように思えるかもしれませんが、これは通常の 位相空間での状況と非常によく似ており、Tietze 拡張定理により、閉部分集合上の連続関数が常に周囲位相空間に拡張されることが保証されます。

アフィン空間上の正則関数と同様に、V上の正則関数は環を形成し、これをk [ V ] で表します。この環はV の座標環と呼ばれます。

V 上の正則関数はA ⁿ上の正則関数から来ているので、座標環の間には関係があります。具体的には、V上の正則関数がk [ A ⁿ ]における2 つの関数fとgの制限である場合、f  −  gはV上でヌルである多項式関数であり、したがってI ( V ) に属します。したがって、k [ V ] はk [ A ⁿ ]/ I ( V )と同一視できます。

アフィン多様体からA ¹への正則関数を使用して、あるアフィン多様体から別のアフィン多様体への正則写像を定義できます。まず、多様体からアフィン空間への正則写像を定義します。 V をA ⁿに含まれる多様体とします。V上のm個の正則関数を選択し、それらをf ₁、...、f _mと呼びます。f = ( f ₁、...、f _m )とすることにより、VからA ^mへの正則写像f を定義します。言い換えると、各f _{i は}fの範囲の 1 つの座標を決定します。

V ′ がA ^mに含まれる多様体である場合、 fの値域がV ′に含まれるとき、 f はVからV ′への正則写像であるといいます。

正則写像の定義は代数集合にも適用されます。正則写像は射とも呼ばれ、すべてのアフィン代数集合のコレクションをカテゴリ にまとめます。ここで、オブジェクトはアフィン代数集合で、射は正則写像です。アフィン多様体は、代数集合のカテゴリのサブカテゴリです。

VからV ′への正則写像gとk [ V ′]の正則関数fが与えられたとき、f ∘ g ∈ k [ V ]である。写像f → f ∘ gはk [ V ′]からk [ V ]への環準同型である。逆に、k [ V ′] からk [ V ]へのすべての環準同型は、 VからV ′への正則写像を定義する。これは、代数集合のカテゴリと有限生成の縮小k代数の反対のカテゴリとの間のカテゴリの同値性を定義する。この同値性は、スキーム理論の出発点の 1 つである。

前のセクションとは対照的に、このセクションは代数集合ではなく多様体のみを扱います。一方、アフィン多様体とその射影完備化は同じ関数体を持つため、定義は射影多様体 (次のセクション) に自然に拡張されます。

V がアフィン多様体であれば、その座標環は整域であり、したがってk ( V )で表され、 V上の有理関数の体、または簡単にVの関数体と呼ばれる分数の体を持つ。その元は、 V を含むアフィン空間上の有理関数のVへの制限である。有理関数fの領域はVではなく、fの分母が消える部分多様体（超曲面）の補集合である。

正則写像と同様に、多様体Vから多様体V ' への有理写像を定義できます。正則写像と同様に、VからV 'への有理写像は、 k ( V ')からk ( V ) への体準同型と同一視できます。

2 つのアフィン多様体の間に、両方が定義されている領域で互いに 逆となる2 つの有理関数がある場合、それらは双有理的に同値です。同様に、それらの関数体が同型である場合も、それらは双有理的に同値です。

アフィン多様体は、それがアフィン空間と双有理的に同値である場合、有理多様体である。これは、多様体が有理パラメータ化、つまり有理関数によるパラメータ化を許容することを意味する。例えば、方程式の円は、パラメータ方程式を持つので、有理曲線である。${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$

${\displaystyle x={\frac {2\,t}{1+t^{2}}}}$

${\displaystyle y={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\,,}$

これは直線から円への有理数写像として見ることもできます。

特異点の解決の問題は、すべての代数多様体が、その射影完備化が非特異である多様体と双有理的に同値であるかどうかを知ることである（滑らかな完備化も参照）。これは、1964年に広中平祐によって特性 0 で肯定的に解決されたが、有限特性ではまだ解決されていない。

2 次、3 次、4 次多項式の根の公式が、実数を複素数のより代数的に完全な設定に拡張することを示唆するのと同様に、代数多様体の多くの特性は、アフィン空間をより幾何学的に完全な射影空間に拡張することを示唆しています。複素数は、多項式x ² + 1の根である数i を追加することで得られますが、射影空間は、平行線が交わる可能性のある点である「無限遠」の適切な点を追加することで得られます。

これがどのように起こるかを見るために、多様体V ( y − x ² )を考えてみましょう。これを描くと放物線になります。x が正の無限大に近づくと、原点から点 ( x ,  x ² )までの直線の傾きも正の無限大に近づきます。 x が負の無限大に近づくと、同じ直線の傾きも負の無限大に近づきます。

これを多様体V ( y  −  x ³ ) と比較してください。これは3 次曲線です。x が正の無限大に向かうにつれて、原点から点 ( x、  x ³ ) までの直線の傾きは、前と同じように正の無限大に向かいます。しかし前と異なり、x が負の無限大に向かうにつれて、同じ直線の傾きも正の無限大に向かいます。これは放物線とはまったく逆です。したがって、 V ( y  −  x ³ )の「無限大での」動作は、V ( y  −  x ² ) の「無限大での」動作とは異なります。

2 つの曲線の射影完備化、つまり射影平面における「無限遠での」延長を考慮すると、この違いを定量化できます。放物線の無限遠点は正則点であり、その接線は無限遠直線ですが、3 次曲線の無限遠点は尖点 です。また、両方の曲線はxによってパラメーター化されるため有理曲線であり、リーマン・ロッホの定理によれば、3 次曲線には必ず特異点があり、その特異点は無限遠にある必要があります。これは、アフィン空間内のすべての点が正則であるためです。

したがって、双有理同値性やすべての位相的性質を含む代数多様体の多くの性質は、「無限遠」での振る舞いに依存しているため、射影空間で多様体を研究するのは自然なことです。さらに、射影技法の導入により、代数幾何学の多くの定理がより単純かつ明確になりました。たとえば、 2 つの多様体間の交点の数に関するベズーの定理は、射影空間でのみ最も明確な形で述べることができます。これらの理由から、射影空間は代数幾何学で基本的な役割を果たします。

現在、n次元の射影空間 P ^{nは、通常、} n + 1次元のアフィン空間内の原点と考えられる点を通過する直線の集合として定義されます。または、 n + 1次元のベクトル空間内のベクトル直線の集合と同等です。 n + 1次元の空間で座標系が選択されている場合、直線上のすべての点は、kの元による乗算まで同じ座標集合を持ちます。これにより、 P ⁿの点の同次座標は、 kの非ゼロ元による乗算まで定義される、基本体kのn + 1個の元のシーケンスとして定義されます(シーケンス全体で同じ)。

n + 1変数の多項式は、それが同次である場合に限り、原点を通る直線のすべての点で消滅します。この場合、多項式はP ⁿの対応する点で消滅すると言えます。これにより、 P ⁿの射影代数集合を集合V ( f ₁ , ..., f _k )として定義できます。ここで、同次多項式の有限集合{ f ₁ , ..., f _k }は消滅します。アフィン代数集合の場合と同様に、射影代数集合とそれらを定義する被約同次イデアルの間には一対一の関係があります。射影多様体は、定義イデアルが素数である射影代数集合です。言い換えれば、射影多様体は、同次座標環が整域である射影代数集合であり、射影座標環は、多様体を定義する同次（簡約）イデアルによる次数環またはn + 1変数の多項式の商として定義されます。すべての射影代数集合は、射影多様体の有限和に一意に分解できます。

射影多様体上で適切に定義できる唯一の正則関数は定数関数です。したがって、この概念は射影の状況では使用されません。一方、有理関数の体または関数体は便利な概念であり、アフィンの場合と同様に、同次座標環の同じ次数の 2 つの同次元の商の集合として定義されます。

実代数幾何学は実代数多様体の研究です。

実数の体 が順序体であるという事実は、このような研究では無視できません。たとえば、 の場合には方程式 の曲線は円ですが、 の場合には実点を持ちません。実代数幾何学では、より広義には、多項式不等式の解である半代数集合も研究します。たとえば、の双曲線のどちらの枝も実代数多様体ではありません。ただし、第 1 象限の枝は、およびによって定義される半代数集合です。 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-a=0}$${\displaystyle a>0}$${\displaystyle a<0}$${\displaystyle xy-1=0}$${\displaystyle xy-1=0}$${\displaystyle x>0}$

実代数幾何学における未解決の問題の 1 つは、ヒルベルトの第 16 問題の次の部分です。8次 非特異平面曲線の楕円に対して、それぞれの位置がどのような可能性があるかを決定します。

計算代数幾何学の起源は、 1979年6月にフランスのマルセイユで開催されたEUROSAM'79（記号および代数的操作に関する国際シンポジウム）会議に遡ると考えられる。この会議では、

• デニス・S・アーノンは、ジョージ・E・コリンズの円筒代数分解（CAD）によって半代数集合の位相を計算できることを示した。
• ブルーノ・ブッフベルガーはグレブナー基底とそれを計算するアルゴリズムを提示した。
• ダニエル・ラザードは、計算複雑度が本質的に解の期待数に対して多項式であり、したがって未知数の数に対して単純に指数関数である同次多項式方程式系を解くための新しいアルゴリズムを発表しました。このアルゴリズムは、マコーレーの多変量結果と密接に関連しています。

それ以来、この分野におけるほとんどの結果は、これらのアルゴリズムの 1 つを使用または改善するか、あるいは複雑さが変数の数に対して単純に指数関数的であるアルゴリズムを見つけることによって、これらの項目の 1 つまたは複数に関連付けられています。

過去数十年にわたり、数値代数幾何学と呼ばれる記号的手法を補完する数学理論の体系が開発されてきました。主な計算方法はホモトピー接続です。これは、たとえば、代数幾何学の問題を解くための 浮動小数点計算のモデルをサポートします。

グレブナー基底は、多項式イデアルの生成元のシステムであり、その計算により、イデアルによって定義されるアフィン代数多様体の多くの特性を演繹することができます。

代数集合Vを定義するイデアルIが与えられると、

• Vが空である（基底体の代数的に閉じた拡大上）のは、任意の単項式順序付けのグレブナー基底が{1} に簡約される場合に限ります。
• ヒルベルト級数を用いると、総次数を精緻化する単項式順序付けに対するIの任意のグレブナー基底からVの次元と次数を計算できます。
• Vの次元が 0 の場合、 Iの任意のグレブナー基底からVの点 (数が有限) を計算できます(多項式方程式のシステムを参照)。
• グレブナー基底計算により、与えられた超曲面に含まれるすべての既約成分をVから除去することができます。
• グレブナー基底計算により、 k番目の座標への射影によるVの像のザリスキ閉包と、射影が適切でない像のサブセットを計算できます。
• より一般的には、グレブナー基底計算により、像のザリスキ閉包と、Vの有理関数の別のアフィン多様体への臨界点を計算することができます。

グレブナー基底計算では、 Iの主分解やVの既約成分を定義する素イデアルを直接計算することはできませんが、このためのほとんどのアルゴリズムにはグレブナー基底計算が含まれます。グレブナー基底に基づかないアルゴリズムは通常の連鎖を使用しますが、例外的な状況ではグレブナー基底が必要になる場合があります。

グレブナー基底は計算が難しいと考えられています。実際、グレブナー基底には、最悪の場合、変数の数に対して次数が二重指数関数である多項式と、同様に二重指数関数である多項式の数が含まれることがあります。ただし、これは最悪の場合の複雑さにすぎず、1979 年の Lazard のアルゴリズムの複雑さの上限が頻繁に適用される可能性があります。Faugère F5 アルゴリズムは、この複雑さを実現しており、これは Lazard の 1979 アルゴリズムの改良版と見なすことができます。したがって、最良の実装では、次数が 100 を超える代数セットをほぼ日常的に計算できます。これは、現在、グレブナー基底を計算する難しさは、問題の本質的な難しさと強く関係していることを意味します。

CAD は、実数上の 量指定子除去に関するTarski-Seidenberg 定理を許容できる複雑さで実装するために 1973 年に G. Collins によって導入されたアルゴリズムです。

この定理は、実係数の多項式間の多項式等式または不等式である原子式である一階論理の式に関する。これらの式は、論理演算子 and (∧)、or (∨)、not (¬)、for all (∀)、exists (∃) によって原子式から構築できる式である。タルスキの定理は、このような式から、量指定子 (∀, ∃) のない同等の式を計算できると主張している。

CAD の複雑さは、変数の数に対して 2 倍の指数関数的になります。つまり、CAD を使用すると、理論的には、そのような式で表現できる実代数幾何学のすべての問題、つまり明示的に与えられた多様体と半代数集合に関するほぼすべての問題を解決できます。

グレブナー基底の計算が二重指数関数的な複雑性を持つのはまれなケースですが、CAD ではほぼ常にこの高い複雑性を持ちます。これは、入力に現れるほとんどの多項式が線形でない限り、4 つ以上の変数を持つ問題を解決できない可能性があることを意味します。

1973 年以来、このテーマに関する研究のほとんどは、CAD の改善、または一般的な関心のある特殊なケースでの代替アルゴリズムの発見に費やされてきました。

最先端の例として、半代数集合のすべての連結成分に少なくとも 1 つの点を見つけ、半代数集合が空かどうかをテストする効率的なアルゴリズムがあります。一方、CAD は、実際には連結成分の数を数えるための最良のアルゴリズムです。

計算幾何学の基本的な一般アルゴリズムは、最悪の場合、二重指数関数的な複雑度を持ちます。より正確には、d が入力多項式の最大次数でn が変数の数である場合、その複雑度は最大で定数cであり、入力によっては、別の定数c ′ に対して複雑度が最小になります。${\displaystyle d^{2^{cn}}}$${\displaystyle d^{2^{c'n}}}$

20世紀最後の20年間に、より複雑な特定の部分問題を解くために、さまざまなアルゴリズムが導入されました。これらのアルゴリズムのほとんどは複雑度を持っています。^[1]${\displaystyle d^{O(n^{2})}}$

グレブナー基底によって解決される問題のサブ問題を解くこれらのアルゴリズムの中には、アフィン多様体が空であるかどうかをテストすることや、有限個の解を持つ非同次多項式系を解くことなどが挙げられる。このようなアルゴリズムはめったに実装されない。なぜなら、ほとんどのエントリでは、フォジェールの F4 および F5 アルゴリズムの方が実用的効率が高く、おそらく同等かそれ以上の複雑性があるからである (おそらく、特定のエントリのクラスでのグレブナー基底アルゴリズムの複雑性の評価は、いくつかの特殊なケースでしか行われていない困難な作業であるためである)。

CAD によって解決される問題を解く実代数幾何学の主なアルゴリズムは、半代数集合の位相に関連しています。連結成分の数を数えること、2 つの点が同じ成分内にあるかどうかをテストすること、実代数集合のWhitney 層化を計算することなどが挙げられます。これらのアルゴリズムの複雑度は です が、 O表記法に伴う定数が非常に大きいため、CAD によって効果的に解決される重要な問題をこれらを使用して解くことは、世界中の既存の計算能力をすべて使用できたとしても不可能です。したがって、これらのアルゴリズムは実装されたことがなく、これは、良好な漸近的複雑度と良好な実用的効率を併せ持つアルゴリズムを探す活発な研究分野です。 ${\displaystyle d^{O(n^{2})}}$

代数幾何学への現代的なアプローチは、基本オブジェクトの範囲を、さまざまな一般性レベルで再定義し、スキーム、形式スキーム、インドスキーム、代数空間、代数スタックなどに効果的に拡張します。この必要性は、多様体理論内の有用なアイデアからすでに生じています。たとえば、ザリスキの形式関数は、構造環に冪零要素を導入することで対応できます。ループと弧の空間を考慮し、群作用によって商を構成し、自然交差理論と変形理論の形式的根拠を展開することで、さらに拡張することができます。

最も注目すべきことに、1960 年代初頭に、代数多様体はアレクサンダー・グロタンディークのスキームの概念に包含された。その局所対象は、アフィン スキームまたは素スペクトルであり、これは局所環付き空間であり、可換単位環のカテゴリに反同値なカテゴリを形成し、体k上のアフィン代数多様体のカテゴリと有限生成被約k代数のカテゴリとの間の双対性を拡張する。接着はザリスキ トポロジーに沿って行われる。局所環付き空間のカテゴリ内で接着できるだけでなく、米田埋め込みを使用して、アフィン スキームのカテゴリ上の集合の前層のより抽象的なカテゴリ内でも接着できる。集合論的な意味でのザリスキ トポロジーは、グロタンディーク トポロジーに置き換えられる。グロタンディークは、粗いザリスキー位相よりもエキゾチックだが幾何学的に細かくより敏感な例、すなわちエタール位相と、2 つの平坦グロタンディーク位相である fppf と fpqc を念頭に置いてグロタンディーク位相を導入しました。今日では、ニスネヴィッチ位相を含むいくつかの他の例が有名になっています。層はさらに、グロタンディークの意味でのスタックに一般化することができ、通常はいくつかの追加の表現可能性条件により、アルティン スタックや、さらに細かいドリーニュ–マンフォード スタックが生成されます。どちらも代数スタックと呼ばれることがよくあります。

時には、他の代数サイトがアフィンスキームのカテゴリに取って代わることがあります。たとえば、ニコライ・デュロフは、一般化代数幾何学におけるローカルオブジェクトの一般化として、可換代数モナドを導入しました。この設定では、熱帯幾何学、 1 つの要素の体上の絶対幾何学、およびアラケロフ幾何学の代数類似体のバージョンが実現されました。

もう一つの形式的な一般化は、すべての代数多様体がそれ自身の代数幾何学を持つ普遍代数幾何学への一般化である。代数多様体という用語は、代数多様体と混同してはならない。

スキーム、スタック、一般化の言語は、幾何学的概念を扱う貴重な方法であることが証明され、現代の代数幾何学の基礎となりました。

代数スタックはさらに一般化することができ、変形理論や交差理論のような多くの実用的な問題では、これが最も自然なアプローチとなることが多い。可換環を、微分次数付き可換代数の無限カテゴリ、または単体可換環や同様のカテゴリを適切なグロタンディーク位相の変形で置き換えることによって、アフィンスキームのグロタンディークサイトを導来アフィンスキームのより高いカテゴリサイトに拡張することができる。また、集合の前層を単体集合（または無限群）の前層に置き換えることもできる。次に、適切なホモトピック機構の存在下で、導来アフィンスキームの無限カテゴリ上のそのような前層として導来スタックの概念を展開することができ、これは層公理の特定の無限カテゴリバージョン（および代数的に、帰納的に表現可能性条件のシーケンス）を満たす。キレンモデルカテゴリー、シーガルカテゴリー、準カテゴリーは、これを形式化するために最も頻繁に使用されるツールの一部であり、導来代数幾何学を生み出します。これは、アンドレ・ヒルショヴィッツ、ベルトラン・トーエン、ガブリエル・ヴェッツォシ、ミシェル・ヴァキエらを含むカルロス・シンプソンの学派によって導入され、ヤコブ・ルリー、ベルトラン・トーエン、ガブリエル・ヴェッツォシによってさらに発展しました。A無限大カテゴリーを使用する導来代数幾何学の別の（非可換）バージョンは、1990年代初頭からマキシム・コンツェビッチと追随者によって開発されてきました。

代数幾何学の起源の一部は、紀元前5世紀のヘレニズム時代のギリシャ人の研究に遡る。例えばデロス問題は、辺が与えられたaとbに対して、辺xの立方体が長方形の箱a ² bと同じ体積を含むように長さxを作図するという問題であった。メナエクモス（紀元前 350年頃）は、一対の平面円錐曲線ay  =  x ²とxy  =  ab を交差させることにより、この問題を幾何学的に考察した。^[2]紀元前3世紀には、アルキメデスとアポロニウスが座標を用いた円錐曲線に関するさらなる問題を体系的に研究した。^{[2] [3]}アポロニウスは円錐曲線の中でさらに解析幾何学に非常によく似た手法を展開したため、彼の研究はデカルトの研究を約1800年も先取りしていたと考えられることもある。 ^[4]彼の基準線、直径、接線の応用は、本質的には現代の座標フレームの使用と変わりなく、接点から直径に沿って測った距離が横座標、接線に平行で軸と曲線の間で交わる線分が縦座標です。 彼はさらに、放物線や曲線などの幾何学的手法を使用して、横座標と対応する座標の関係を発展させました。[ ^{5] [6] [7]}中世の数学者、例えばオマール・ハイヤーム、レオナルド・ダ・ヴィンチ、中世のゲルソニデス、ニコラ・オレームは、^[8]特定の3次方程式と2次方程式を純粋に代数的な手段で解き、その結果を幾何学的に解釈しました。ペルシャの数学者オマール・ハイヤーム（1048年生まれ）は、算術、代数、幾何学の間には関係があると信じていました。^{[9] [10] [11]}これに対してジェフリー・オークスは、方程式を用いた曲線の研究は17世紀のデカルトに始まったと主張して批判した。^[12]

代数問題に幾何学的構成を適用するこのような手法は、ジェロラモ・カルダーノやニコロ・フォンタナ・タルタリアなど、ルネサンスの数学者の多くも三次方程式の研究に取り入れた。代数的アプローチではなく幾何学的アプローチは、幾何学における代数的および解析的手法の使用に反対したブレーズ・パスカルなど、16世紀と17世紀のほとんどの数学者に好まれた。 ^[13]フランスの数学者フランシスクス・ヴィエタ、そして後にルネ・デカルトとピエール・ド・フェルマーは、座標幾何学の導入によって構成問題に関する従来の考え方に革命をもたらした。彼らは主に、ディオファントス方程式によって定義されるもの（フェルマーの場合）などの代数曲線の特性と、円錐曲線と三次方程式に関する古典ギリシャの著作の代数的再定式化（デカルトの場合）に興味を持っていた。

同じ時期に、ブレーズ・パスカルとジェラール・デザルグは異なる観点から幾何学にアプローチし、射影幾何学の総合的な概念を発展させました。パスカルとデザルグも曲線を研究しましたが、それは純粋に幾何学的な観点から、つまりギリシャの定規とコンパスの作図に類似したものでした。最終的には、デカルトとフェルマーの解析幾何学が勝利しました。これは、ニュートンとライプニッツの新しい微積分を使用して物理的な問題を研究するために必要な具体的で定量的なツールを18世紀の数学者に提供したためです。しかし、18世紀の終わりまでには、座標幾何学の代数的特徴のほとんどは、ラグランジュとオイラーの無限小積分に吸収されました。

古い代数の考え方を幾何学の枠組みに呼び戻すには、19 世紀に非ユークリッド幾何学とアーベル積分が同時に発展する必要がありました。これらの新しい発展の最初のものは、エドモン・ラゲールとアーサー・ケイリーによって取り上げられ、彼らは射影空間の一般化された計量特性を解明しようとしました。ケイリーは、射影空間上の同次多項式形式、より具体的には二次形式という考え方を導入しました。その後、フェリックス・クラインは、空間上の幾何学はその空間上の特定のクラスの変換にコード化されているという観点から、射影幾何学を (他の種類の幾何学とともに)研究しました。19 世紀の終わりまでには、射影幾何学者は、射影空間内の図形に対するより一般的な種類の変換を研究していました。射影空間上の基本的なクライン幾何学を与えると通常考えられていた射影線型変換ではなく、彼らはより高次の双有理変換にも関心を寄せていました。このより弱い合同の概念は、後に20世紀イタリア代数幾何学学派のメンバーが代数曲面を双有理同型性まで分類することに繋がりました。

19 世紀初頭の 2 番目の発展であるアーベル積分は、ベルンハルト・リーマンをリーマン面の開発へと導きました。

同じ時期に、可換代数による代数幾何学の代数化が始まった。この方向における顕著な成果は、代数幾何学と可換代数の関連の基礎となるヒルベルトの基底定理とヒルベルトの零点定理、および消去理論の基礎となるマコーレーの多変数終結式である。多変数終結式が暗示する計算の規模が原因と思われるが、消去理論は20世紀半ばには忘れ去られていたが、特異点理論と計算代数幾何学によって刷新された。^[a]

BL ファンデルワールデン、オスカー・ザリスキ、アンドレ・ヴェイユは、付値理論やイデアル理論を含む当時の可換代数に基づいて代数幾何学の基礎を築きました。目標の1つは、イタリア学派の代数幾何学の結果を証明するための厳密な枠組みを与えることでした。特に、この学派は、 1930年代にこれらの著者によって初めて与えられた一般点の概念を、正確な定義なしに体系的に使用しました。

1950年代と1960年代には、ジャン＝ピエール・セールとアレクサンダー・グロタンディークが層理論を利用して基礎を作り直しました。その後、1960年頃から、主にグロタンディークの主導で、スキームのアイデアが、非常に洗練されたホモロジー技法の装置と組み合わせて考案されました。10年間の急速な発展の後、この分野は1970年代に安定し、数論だけでなく、代数多様体、特異点、モジュライ、形式モジュライに関するより古典的な幾何学の問題にも新しい応用がなされました。

定義方程式から直接理解することは容易ではない重要な多様体のクラスに、点がアーベル群を形成する射影多様体であるアーベル多様体がある。原型的な例は、豊富な理論を持つ楕円曲線である。楕円曲線はフェルマーの最終定理の証明に役立ち、楕円曲線暗号にも使用されている。

多様体に関する一般的な記述を扱う代数幾何学の抽象的な傾向と並行して、具体的に与えられた多様体を用いた効率的な計算の方法も開発され、計算代数幾何学という新しい分野につながりました。この分野の基礎となる方法の 1 つは、1965 年にブルーノ・ブッフバーガーによって導入されたグレブナー基底の理論です。実代数幾何学に特化したもう 1 つの基礎となる方法は、 1973 年にジョージ・E・コリンズによって導入された円筒代数分解です。

導来代数幾何学も参照してください。

実数体または複素数体上の解析多様体は、解析関数を含むいくつかの方程式の共通解の集合として局所的に定義されます。解析多様体は、通常の関数ではなく解析関数の構造層を持つという点で、代数多様体の概念に似ています。任意の複素多様体は複素解析多様体です。解析多様体は特異点を持つことがあるため、すべての複素解析多様体が多様体であるわけではありません。非アルキメデス体上では、剛性解析空間を介して解析幾何学が研究されます。

複素数体上の現代の解析幾何学は、ジャン＝ピエール・セールの論文GAGA [14]で示されているように、複素代数幾何学と密接に関連しています。GAGAの論文名^はフランス語で代数幾何学と解析幾何学を意味します。複素数体上のGAGAの結果は、非アルキメデス体上の剛体解析空間に拡張できます。^[15]

代数幾何学は現在、統計学、^[16] 制御理論、^{[17] [18]} ロボット工学、^[19] 誤り訂正符号、^[20] 系統学^[21]および幾何モデリングに応用されています。^[22]また、弦理論、^[23] ゲーム理論、^[24] グラフマッチング、^[25] ソリトン^[26]および整数計画法との関連もあります。^[27]

• クライン、M. (1972)。古代から現代までの数学的思考。第1巻。オックスフォード大学出版局。ISBN 0195061357。

制度化以前の古典的な教科書

• ファン・デル・ワールデン、BL（1945年）。代数幾何学の Einfuehrung。ドーバー。
• ホッジ、WVD ;ペドー、ダニエル(1994)。代数幾何学の方法第1巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-46900-5.ZBL0796.14001  。​
• ホッジ、WVD ;ペドー、ダニエル(1994)。代数幾何学の方法第2巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-46901-2.ZBL0796.14002  。​
• ホッジ、WVD ;ペドー、ダニエル(1994)。代数幾何学の方法第3巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-46775-9.ZBL0796.14003  。​

スキームの言語を使わない現代の教科書

• ギャリティ、トーマス他 (2013)。代数幾何学：問題解決アプローチ。アメリカ数学会。ISBN 978-0-821-89396-8。
• グリフィス、フィリップ、ハリス、ジョー（1994）。代数幾何学の原理。ワイリー・インターサイエンス。ISBN 978-0-471-05059-9.ZBL0836.14001  。​
• ハリス、ジョー（1995）。『代数幾何学入門』。シュプリンガー出版。ISBN 978-0-387-97716-4.ZBL0779.14001  。​
• マンフォード、デイヴィッド(1995)。代数幾何学I複素射影多様体(第 2 版)。Springer - Verlag。ISBN 978-3-540-58657-9.ZBL0821.14001  。​
• リード、マイルズ（1988年）。学部生向け代数幾何学。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-35662-6.ZBL0701.14001  。​
• シャファレヴィッチ、イゴール(1995)。『基礎代数幾何学 I 射影空間の多様体』（第 2 版）。Springer - Verlag。ISBN 978-0-387-54812-8.ZBL0797.14001  。​

計算代数幾何学の教科書

• Cox, David A. ; Little, John; O'Shea, Donal (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms (第 2 版). Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-94680-1.ZBL0861.13012  。​
• シェンク、ハル（2003）。計算代数幾何学。ケンブリッジ大学出版局。
• Basu, Saugata; Pollack, Richard; Roy, ​​Marie-Françoise (2006). 実代数幾何学におけるアルゴリズム. Springer-Verlag .
• ゴンザレス・ベガ、ラウレアノ州。レシオ、トーマス (1996)。代数幾何学のアルゴリズムとその応用。ビルクハウザー。
• Elkadi, Mohamed; Mourrain, Bernard; Piene, Ragni 編 (2006).代数幾何学と幾何学モデリング. Springer-Verlag .
• ディッケンシュタイン、アリシア、シュレイアー、フランク・オラフ、ソムセ、アンドリュー・J. 編 (2008)。代数幾何学におけるアルゴリズム。IMA 数学とその応用巻。第 146 巻。シュプリンガー。ISBN 9780387751559LCCN  2007938208 。
• Cox, David A. ; Little, John B.; O'Shea, Donal (1998). 代数幾何学の使用. Springer-Verlag .
• Caviness, Bob F.; Johnson, Jeremy R. (1998).量指定子除去と円筒代数分解. Springer-Verlag .

スキームに関する教科書と参考文献

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• グロタンディーク、アレクサンダー(1960)。幾何学的計算の要素。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。ズブル 0118.36206。
• アレクサンダー・グロタンディーク;デュドネ、ジャン・アレクサンドル (1971)。幾何学的計算の要素。 Vol. 1（第2版）。スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 978-3-540-05113-8.ZBL0203.23301  。​
• ハーツホーン、ロビン(1977)。代数幾何学。シュプリンガー出版社。ISBN 978-0-387-90244-9.ZBL0367.14001  。​
• マンフォード、デイビッド(1999)。『多様体と図式のレッドブックには、曲線とそのヤコビアンに関するミシガン講義(第 2 版)が含まれています。Springer - Verlag。ISBN 978-3-540-63293-1.ZBL0945.14001  。​
• Shafarevich, Igor (1995).基本代数幾何学 II スキームと複素多様体(第 2 版). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-57554-2.ZBL0797.14002  。​

Wikiquote には代数幾何学に関する引用があります。

• Ravi Vakil 著『代数幾何学の基礎』、808 ページ。
• PlanetMath の代数幾何学のエントリ
• ファンデルワールデン教科書の英訳
• ディウドネ、ジャン（1972年3月3日）。「代数幾何学の歴史」。ウィスコンシン大学ミルウォーキー校数学科での講演。2021年11月22日時点のオリジナルよりアーカイブ – YouTube経由。
• スタック プロジェクトは、代数スタックと代数幾何学に関するオープンソースの教科書および参考書です。
• 形容詞プロジェクト、特性に基づいてスキームと射の例を検索するためのオンラインデータベース