ラプラス演算子

拡散の物理理論では、ラプラス演算子は平衡の数学的記述に自然に現れます。^{[ 6 ]}具体的には、u が化学濃度などの何らかの量の平衡密度である場合、V内にソースやシンクがない限り、任意の滑らかな領域 V の境界∂ V ( Sとも呼ばれる) を通過するuの正味のフラックスはゼロになります。 $${\displaystyle \int _{S}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0,}$$ ここで、nはVの境界に対する外向き単位法線ベクトルである。発散定理により、 $${\displaystyle \int _{V}\operatorname {div} \nabla u\,dV=\int _{S}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0.}$$

これはすべての滑らかな領域Vに対して成り立つので、次のことが示される。 $${\displaystyle \operatorname {div} \nabla u=\Delta u=0.}$$ この方程式の左辺はラプラス演算子であり、方程式全体Δ u = 0はラプラス方程式として知られています。したがって、ラプラス方程式の解、すなわちラプラシアンが恒等的にゼロとなる関数は、拡散下における可能な平衡密度を表します。

ラプラス演算子自体は、非平衡拡散において、ある点が化学濃度の発生源または吸収源をどの程度表しているかという物理的な解釈を持ち、これは拡散方程式によってより正確に表現されます。ラプラシアンのこの解釈は、平均に関する以下の事実によっても説明されます。

2回連続微分可能な関数が与えられた場合${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$そして一点${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$⁠、平均値${\displaystyle f}$半径を持つボールの上${\displaystyle h}$中心は${\displaystyle p}$は：^{[ 7 ]}$${\displaystyle {\overline {f}}_{B}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2(n+2)}}h^{2}+o(h^{2})\quad {\text{for}}\;\;h\to 0}$$

同様に、平均値${\displaystyle f}$半径の球（ボールの境界）上${\displaystyle h}$中心は${\displaystyle p}$は： $${\displaystyle {\overline {f}}_{S}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2n}}h^{2}+o(h^{2})\quad {\text{for}}\;\;h\to 0.}$$

φが電荷分布qに関連付けられた静電ポテンシャルを表す場合、電荷分布自体はφのラプラシアンの負の値で与えられる。 $${\displaystyle q=-\varepsilon _{0}\Delta \varphi ,}$$ ここで、_ε₀は電気定数である。

これはガウスの法則の結果である。実際、Vが境界∂Vを持つ任意の滑らかな領域である場合、ガウスの法則により、境界を横切る 静電場Eのフラックスは、囲まれた電荷に比例する。$${\displaystyle \int _{\partial V}\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} \,dS=\int _{V}\operatorname {div} \mathbf {E} \,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.}$$ ここで、最初の等式は発散定理によるものです。静電場は電位の（負の）勾配であるため、次の式が得られます。 $${\displaystyle -\int _{V}\operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )\,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.}$$

これはすべての領域Vに対して成り立つので、 $${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}q}$$

同様のアプローチによれば、重力ポテンシャルのラプラシアンの負の値は質量分布である。多くの場合、電荷（または質量）分布は与えられているが、それに対応するポテンシャルは未知である。適切な境界条件の下でポテンシャル関数を求めることは、ポアソン方程式を解くことと同等である。

物理学においてラプラシアンが登場するもう一つの動機は、領域UにおけるΔ f = 0の解が、ディリクレエネルギー汎関数を定常にする関数であるということである。 $${\displaystyle E(f)={\frac {1}{2}}\int _{U}\lVert \nabla f\rVert ^{2}\,dx.}$$

これを確認するには、f  : U → Rを関数とし、u  : U → RをUの境界でゼロになる関数と仮定します。すると、次のようになります。 $${\displaystyle \left.{\frac {d}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}E(f+\varepsilon u)=\int _{U}\nabla f\cdot \nabla u\,dx=-\int _{U}u\,\Delta f\,dx}$$ ここで、最後の等式はグリーンの第1恒等式を用いて導かれる。この計算は、Δ f = 0の場合、Eはf の周りで定常であることを示している。逆に、 Eがf の周りで定常である場合、変分法の基本補題によりΔ f = 0 となる。

2次元におけるラプラス演算子は次のように表される。

デカルト座標では、 $${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$$ ここで、xとyはxy平面の標準的な直交座標である。

極座標では、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\\&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}},\end{aligned}}}$$ ここで、rは半径方向の距離、θは角度を表す。

3次元空間では、ラプラシアンを様々な異なる座標系で扱うのが一般的である。

デカルト座標では、 $${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$$

円筒座標では、 $${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}},}$$ どこ${\displaystyle \rho }$は半径方向の距離、φは方位角、zは高さを表します。

球面座標では： $${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$ または $${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(rf)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$ 第1項と第2項を展開すると、これらの式は次のようになる。 $${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\left(\cos \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}+\sin \theta {\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$ ここで、φは方位角、θは天頂角または余緯度を表す。特に、上記は以下と同等である。 ${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{2}}f,}$ どこ${\displaystyle \Delta _{S^{2}}f}$は単位球面上のラプラス・ベルトラミ演算子である。

一般的な曲線座標( ξ ¹、ξ ²、ξ ³ ): $${\displaystyle \Delta =\nabla \xi ^{m}\cdot \nabla \xi ^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\,\partial \xi ^{n}}}+\nabla ^{2}\xi ^{m}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{m}}}=g^{mn}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\,\partial \xi ^{n}}}-\Gamma _{mn}^{l}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{l}}}\right),}$$ ここで、繰り返される添え字についての総和は暗黙のうちに示されており、 g ^mnは逆計量テンソルであり、 Γ ^l _{mn は}選択された座標のクリストッフェル記号である。

任意の曲線座標系において${\displaystyle (\xi ^{1},\dots ,\xi ^{N})}$の上${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$ラプラシアンは逆計量テンソルを用いて表すことができる。${\displaystyle g^{ij}}$として $${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\left({\sqrt {|g|}}\,g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}\right),\qquad |g|=\det(g_{ij}).}$$これはラプラス・ベルトラミ演算子 のユークリッド特殊ケースである。^{[ 8 ] [ 9 ]}

球面座標では${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$、 書く $${\displaystyle x=r\omega ,\qquad r=|x|>0,\quad \omega \in S^{N-1}}$$ どこ${\displaystyle S^{N-1}}$は単位( N –1) 球面である${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}.}$次に、ラプラシアンは半径方向と角度方向に分解されます。 $${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f,}$$ または同等に $${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f,}$$ どこ${\displaystyle \Delta _{S^{N-1}}}$は、上のラプラス・ベルトラミ演算子である。${\displaystyle S^{N-1}}$しばしば球面ラプラシアンと呼ばれる。^{[ 10 ]}

この分解は、ラプラス方程式の 変数分離の出発点となる。$${\displaystyle u(r,\omega )=R(r)Y(\omega ),}$$ すると、角度因子は固有値方程式を満たさなければならない。 $${\displaystyle -\Delta _{S^{N-1}}Y=\lambda Y.}$$ 固有値は $${\displaystyle \lambda _{\ell }=\ell (\ell +N-2),\qquad \ell =0,1,2,\dots ,}$$ 対応する固有関数は次数 の球面調和関数である${\displaystyle \ell }$の上${\displaystyle S^{N-1}}$[ ^{11 ]​}

代入${\displaystyle u(r,\omega )=R(r)Y(\omega )}$の中へ${\displaystyle \Delta u=0}$動径方程式を与える $${\displaystyle r^{2}R''(r)+(N-1)rR'(r)-\ell (\ell +N-2)R(r)=0.}$$ のために${\displaystyle N\geq 3}$その解決策は $${\displaystyle R(r)=Ar^{\ell }+Br^{-\ell -(N-2)},}$$ 例外的な場合${\displaystyle N=2}$そして${\displaystyle \ell =0}$得られるもの $${\displaystyle R(r)=A+B\log r.}$$ これらは古典的なソリッドハーモニクスを与える。^{[ 12 ]}

特に、${\displaystyle f(x)=F(r)}$が半径方向であれば、角度項は消滅し、 $${\displaystyle \Delta f=F''(r)+{\frac {N-1}{r}}F'(r)={\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{N-1}F'(r)\right).}$$ したがって、環状領域上のすべての放射状調和関数は${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$形式は $${\displaystyle F(r)={\begin{cases}A+Br^{2-N},&N\neq 2,\\[4pt]A+B\log r,&N=2.\end{cases}}}$$

その結果、関数の球面ラプラシアンは${\displaystyle S^{N-1}}$関数を拡張して計算することができます。${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}\setminus \{0\}}$そのため、光線に沿って一定となる（つまり、次数が同次である）${\displaystyle 0}$）そして通常のラプラシアンを適用する。^{[ 13 ]}

ラプラス演算子は線形である。 $${\displaystyle \Delta (af+bg)=a\,\Delta f+b\,\Delta g}$$ すべての機能について${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$およびスカラー${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$。

この記事で使用されている符号規則では、 $${\displaystyle \Delta =\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{j}^{2}}},}$$ 主なシンボル${\displaystyle \Delta }$は $${\displaystyle \sigma _{2}(\Delta )(\xi )=-|\xi |^{2},}$$ これはすべての${\displaystyle \xi \neq 0}$。 したがって${\displaystyle \Delta }$は楕円型微分作用素である。^{[ 19 ]}

もし${\displaystyle \Omega \subset \mathbf {R} ^{n}}$有界である${\displaystyle C^{1}}$ドメインと${\displaystyle u,v\in C^{2}({\bar {\Omega }})}$すると、グリーンの恒等式は $${\displaystyle \int _{\Omega }u\,\Delta v\,dx=-\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx+\int _{\partial \Omega }u\,{\frac {\partial v}{\partial \nu }}\,dS,}$$ そして $${\displaystyle \int _{\Omega }u\,\Delta v\,dx=\int _{\Omega }v\,\Delta u\,dx+\int _{\partial \Omega }\left(u{\frac {\partial v}{\partial \nu }}-v{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\right)\,dS.}$$ 特に、境界項が消滅する場合（例えば、コンパクト台を持つ関数の場合）、 $${\displaystyle \int _{\Omega }u\,\Delta v\,dx=\int _{\Omega }v\,\Delta u\,dx,}$$ したがって、ラプラシアンは形式的に自己共役である。^{[ 5 ]}${\displaystyle u=v}$エネルギーの同一性を与える $${\displaystyle \int _{\Omega }u\,\Delta u\,dx=-\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}\,dx+\int _{\partial \Omega }u\,{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\,dS,}$$ これは境界値問題の一意性結果の基礎となるものである。^{[ 5 ]}

2回連続微分可能な関数${\displaystyle u}$調和的と呼ばれるのは、${\displaystyle \Delta u=0}$サブハーモニックの場合${\displaystyle \Delta u\geq 0}$、そして超高調波の場合は${\displaystyle \Delta u\leq 0}$[ ^{5 ]​}

もし${\displaystyle u}$開集合において調和的である${\displaystyle \Omega }$そして${\displaystyle B_{r}(x)\subset \Omega }$、 それから${\displaystyle u(x)}$平均に等しい${\displaystyle u}$ボールの上${\displaystyle B_{r}(x)}$そして平均は${\displaystyle u}$球体全体にわたって${\displaystyle \partial B_{r}(x)}$これは調和関数の平均値の性質です。 ^{[ 5 ]}

非定数調和関数は内部最大値または最小値を取ることができません。したがって、${\displaystyle \Omega }$は有界であり、${\displaystyle u\in C^{2}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$調和的であれば、 $${\displaystyle \max _{\bar {\Omega }}u=\max _{\partial \Omega }u,\qquad \min _{\bar {\Omega }}u=\min _{\partial \Omega }u.}$$ これらは調和関数の最大値原理と最小値原理である。 ^{[ 5 ]}

ラプラシアンは楕円型であるため、${\displaystyle \Delta }$当初想定されるよりも規則的である。特に、${\displaystyle \Delta u}$局所的に二乗可積分である場合、${\displaystyle u}$は局所的にソボレフ空間にある${\displaystyle H^{2}}$^{[ 20 ]}特に、調和関数は滑らかであり、実際には実解析的である。[ ^{5 ]より}一般的には、ワイルの補題は、もし${\displaystyle u}$分布解は${\displaystyle \Delta u=0}$、 それから${\displaystyle u}$滑らかです。^{[ 5 ]}

調和関数の対応する定性理論（最大値原理やハーナックの不等式を含む）については、 「ラプラス方程式と調和関数」でより詳しく説明されています。

ラプラス演算子の非局所的一般化は、分数ラプラシアンによって与えられる。${\displaystyle (-\Delta )^{\alpha /2}}$、 どこ${\displaystyle 0<\alpha <2}$シュワルツ関数については${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$フーリエ変換によって定義される場合もある。 $${\displaystyle {\mathcal {F}}{\big (}(-\Delta )^{\alpha /2}f{\big )}(\xi )=(4\pi ^{2}|\xi |^{2})^{\alpha /2}{\widehat {f}}(\xi ),}$$ 上記のフーリエ変換規約を使用する。^{[ 22 ]}

同様に、分数ラプラシアンは特異積分によって定義できる。 $${\displaystyle (-\Delta )^{\alpha /2}f(x)=c_{n,\alpha }\,\operatorname {PV} \!\int _{\mathbf {R} ^{n}}{\frac {f(x)-f(y)}{|x-y|^{n+\alpha }}}\,dy,}$$ どこ${\displaystyle \operatorname {PV} }$はコーシー主値を表します。^{[ 22 ]}通常のラプラシアンとは異なり、これは非局所演算子です。ある点におけるその値は、すべての関数の値に依存します。${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$[ ^{22 ]​}

分数ラプラシアンの逆数はリースポテンシャルと密接に関係している。${\displaystyle 0<\alpha <n}$、次数リースポテンシャル${\displaystyle \alpha }$カーネルとの畳み込み${\displaystyle c_{n,\alpha }|x|^{\alpha -n}}$: $${\displaystyle I_{\alpha }f(x)=c_{n,\alpha }\int _{\mathbf {R} ^{n}}{\frac {f(y)}{|x-y|^{n-\alpha }}}\,dy.}$$ 両辺が定義されている場合、^{[ 22 ] [ 23 ]}$${\displaystyle (-\Delta )^{\alpha /2}I_{\alpha }f=f.}$$

関連する演算子の族はベッセルポテンシャルによって与えられる。${\displaystyle s\in \mathbf {R} }$ベッセルポテンシャル演算子は次のように定義される。 $${\displaystyle {\mathcal {F}}{\big (}(I-\Delta )^{-s/2}f{\big )}(\xi )=(1+4\pi ^{2}|\xi |^{2})^{-s/2}{\widehat {f}}(\xi ).}$$ 関連する関数空間はベッセルポテンシャル空間である。${\displaystyle H^{s,p}(\mathbf {R} ^{n})}$[ ^{24 ]}リースポテンシャルとベッセルポテンシャルは密接に関連した平滑化演算子ですが、ベッセルポテンシャル^は${\displaystyle I-\Delta }$それよりも${\displaystyle -\Delta }$そのため、低周波数域でより優れた挙動を示す。^{[ 24 ]}

任意のテンソル場のラプラシアン${\displaystyle \mathbf {T} }$（「テンソル」にはスカラーとベクトルが含まれる）は、テンソルの 勾配の発散として定義される。$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {T} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {T} .}$$

特別な場合${\displaystyle \mathbf {T} }$がスカラー（次数ゼロのテンソル）である場合、ラプラシアンはよく知られた形式をとります。

もし${\displaystyle \mathbf {T} }$はベクトル（1次テンソル）であり、勾配は共変微分であり、結果として2次テンソルとなり、その発散は再びベクトルになります。上記のベクトルラプラシアンの式は、テンソル計算を回避するために使用でき、ベクトルの勾配について以下に示す ヤコビ行列の発散と等価であることが示されます。$${\displaystyle \nabla \mathbf {T} =(\nabla T_{x},\nabla T_{y},\nabla T_{z})={\begin{bmatrix}T_{xx}&T_{xy}&T_{xz}\\T_{yx}&T_{yy}&T_{yz}\\T_{zx}&T_{zy}&T_{zz}\end{bmatrix}},{\text{ where }}T_{uv}\equiv {\frac {\partial T_{u}}{\partial v}}.}$$

同様に、ベクトルと別のベクトルの勾配（2次テンソル）との内積（ベクトルに評価される）は、行列の積として見なすことができる 。$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{bmatrix}}\nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} \cdot \nabla B_{x}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{y}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{z}\end{bmatrix}}.}$$ この等式は座標に依存する結果であり、一般的なものではありません。

ベクトルラプラシアンの使用例としては、ニュートン流体の非圧縮性流れに対するナビエ・ストークス方程式が挙げられる。 $${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} \right)=\rho \mathbf {f} -\nabla p+\mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \right),}$$ここで、速度場 のベクトルラプラシアンの項は${\displaystyle \mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \right)}$流体中の粘性応力を表す。

もう一つの例は、電荷や電流が存在しない場合の マクスウェル方程式から導出できる電場の波動方程式である。$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0.}$$

この方程式は次のように書き換えることもできます。 $${\displaystyle \Box \,\mathbf {E} =0,}$$ どこ$${\displaystyle \Box \equiv {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2},}$$これは、クライン・ゴルドン方程式で使用されるダランベール式です。

ラプラシアンは、リーマン多様体上で定義されるラプラス・ベルトラミ演算子と呼ばれる楕円型演算子に一般化することもできます。関数に適用されるラプラス・ベルトラミ演算子は、その関数のヘッセ行列のトレース（tr）です。 $${\displaystyle \Delta f=\operatorname {tr} {\big (}H(f){\big )}}$$ここでトレースは計量テンソル の逆数に関して取られます。ラプラス・ベルトラミ演算子は、同様の式によって、テンソル場に作用する演算子（これもラプラス・ベルトラミ演算子と呼ばれます）に一般化することもできます。

擬リーマン多様体上で利用可能なラプラス演算子の別の一般化では、外微分が用いられ、それを用いて「幾何学者のラプラシアン」は次のように表される。 $${\displaystyle \Delta f=\delta df.}$$

ここでδは共微分であり、ホッジスターと外微分を用いて表現することもできます。この演算子は、上で定義した「解析者のラプラシアン」とは符号が異なります。より一般的には、「ホッジ」ラプラシアンは、微分形式α上で次のよう に定義されます。$${\displaystyle \Delta \alpha =\delta d\alpha +d\delta \alpha .}$$

これはラプラス・ド・ラーム演算子として知られており、ヴァイツェンベック恒等式によってラプラス・ベルトラミ演算子と関連付けられています。

ラプラシアンは、ある特定の方法で非ユークリッド空間に一般化することができ、その場合、楕円型、双曲型、または超双曲型となる可能性がある。

ミンコフスキー空間では、ラプラス・ベルトラミ演算子はダランベール演算子となる。${\displaystyle \Box }$またはダランベールの： $${\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.}$$

これは、基礎となる空間の等長変換群の下で不変な微分演算子であり、時間に依存しない関数に制限するとラプラス演算子に帰着するという意味で、ラプラス演算子の一般化である。ここでの計量の全体的な符号は、演算子の空間部分が負の符号を持つように選択されており、これは高エネルギー素粒子物理学における通常の慣例である。ダランベール演算子は、波動方程式に現れる微分演算子であるため、波動演算子としても知られており、質量ゼロの場合に波動方程式に帰着するクライン・ゴルドン方程式の一部でもある。

物理学において、空間と時間が異なる単位で測定される場合、計量における係数cが必要となります。例えば、 x方向がメートルで測定され、y方向がセンチメートルで測定される場合にも、同様の係数が必要となります。実際、理論物理学者は通常、方程式を簡略化するためにc =1となるような単位で計算を行います。

ダランベール作用素は、擬リーマン多様体上の双曲作用素に一般化される。