ポアンカレ予想

幾何学的トポロジーの数学分野において、ポアンカレ予想（英国: / ˈpwæ̃kær eɪ /、^{[ 2 ]}米国: / ˌpwæ̃kɑːˈreɪ /、^{[ 3 ] [ 4 ]}フランス語: [ pwɛ̃kaʁe ] ）は、 3次元球面（4次元空間で4次元球面を囲む超球面）の特徴付けに関する定理である。

1904年にアンリ・ポアンカレによって提唱されたこの定理は、局所的には通常の3次元ユークリッド空間のように見えるが、有限な広がりを持つ空間に関するものである。ポアンカレは、そのような空間が、空間内の各ループを連続的に一点に縮めることができるという性質を付加的に持つならば、それは必然的に3次元球面であると仮説を立てた。この予想を解決しようとする試みは、20世紀の幾何トポロジーの分野における大きな進歩を促した。

最終的な証明は、リチャード・S・ハミルトンがリッチフローを用いて問題を解決するというプログラムに基づいていた。グリゴリー・ペレルマンは、リッチフロー理論における数々の新しい手法と結果を開発することで、ハミルトンのプログラムを修正し完成させた。 2002年と2003年にarXivリポジトリに投稿された論文で、ペレルマンはポアンカレ予想（およびウィリアム・サーストンのより強力な幾何化予想）を証明する研究を発表した。その後数年間、数人の数学者が彼の論文を研究し、彼の研究の詳細な定式化を行った。

ハミルトンとペレルマンによるこの予想に関する研究は、数学研究の画期的な業績として広く認められている。ハミルトンは2011年にショウ賞、 2009年に研究への画期的な貢献に対してリロイ・P・スティール賞を受賞した。科学誌サイエンスは、ペレルマンによるポアンカレ予想の証明を2006年の科学的ブレークスルーとして取り上げた。 ^{[ 5 ]}クレイ数学研究所は、ポアンカレ予想を有名なミレニアム賞問題リストに含め、 2010年にこの予想の解決に対してペレルマンに100万米ドルの賞金を提示した。 ^{[ 6 ]}彼は、ハミルトンの貢献は自分と同等であるとして、この賞を辞退した。^{[ 7 ] [ 8 ]}

ポアンカレ予想は、幾何トポロジーの分野における数学的な問題でした。その分野の用語で言うと、次のようになります。

ポアンカレ予想。閉じていて連結で、基本群が自明な すべての3次元位相多様体は、 3次元球面と同相である。

球の表面（数学では2次元球面として知られています）やトーラスの表面など、よく知られた形状は2次元です。球の表面は自明な基本群を持ち、これは表面に描かれた任意のループが連続的に1点に変形できることを意味します。対照的に、トーラスの表面は非自明な基本群を持ち、表面にはそのような変形ができないループが存在します。どちらも位相多様体であり、閉じた（境界がなく、有限の空間領域を占める）かつ連結した（単一の部分から構成される）ものです。2つの閉じた多様体は、一方の点を他方に連続的に再配置できる場合に同相であると言われます。基本群の（非）自明性は同相写像の下で不変であることが知られているため、2次元球面とトーラスは同相ではないことがわかります。

ポアンカレ予想の2次元版は、閉じて連結しているが2次元球面と同相でない任意の2次元位相多様体は、一点に連続的に縮約できないループを持つ、というものである。（これは、前述のトーラスの例で説明できる。）この類似性は、1860年代から様々な形で理解されてきた、閉じて連結した2次元位相多様体の分類によって真であることが知られている。高次元では、閉じて連結した位相多様体は単純な分類を持たないため、ポアンカレ予想を容易に解決することはできない。

ハミルトンのポアンカレ予想の証明プログラムは、まず未知の単連結閉3次元多様体にリーマン計量を与えることから始まる。基本的な考え方は、この計量を「改善」することである。例えば、計量が十分に改善されて一定の正の曲率を持つならば、リーマン幾何学の古典的な結果によれば、それは3次元球面であるはずだ。ハミルトンは計量を改善するために「リッチフロー方程式」を規定した。

${\displaystyle \partial _{t}g_{ij}=-2R_{ij}}$

ここで、 gは計量、Rはそのリッチ曲率であり、時間tが増加するにつれて多様体が理解しやすくなることが期待される。リッチフローは、多様体の負の曲率部分を拡大し、正の曲率部分を縮小する。

ハミルトンは、場合によってはこれが機能することを示した。例えば、彼の独創的な発見は、リーマン多様体が至る所で正のリッチ曲率を持つ場合、上記の手順はパラメータ値の有界区間に対してのみ実行可能であることを示したことである。${\displaystyle t\in [0,T)}$と${\displaystyle T<\infty }$さらに重要なことに、数字が存在する${\displaystyle c_{t}}$そのため、${\displaystyle t\nearrow T}$リーマン計量${\displaystyle c_{t}g(t)}$滑らかに収束して、一定の正の曲率を持つものになる。古典的なリーマン幾何学によれば、一定の正の曲率を持つリーマン計量を支えることができる唯一の単連結コンパクト多様体は球面である。したがって、ハミルトンは事実上、ポアンカレ予想の特殊な場合を示した。すなわち、コンパクトな単連結3次元多様体が正のリッチ曲率を持つリーマン計量を支えるならば、それは3次元球面と微分同相でなければならない。

代わりに、任意のリーマン計量しか与えられていない場合、リッチフロー方程式はより複雑な特異点を生じさせるはずです。ペレルマンの最大の功績は、ある特定の視点から見ると、有限時間内に現れる特異点は、縮小する球体または円柱のように見えることを示したことです。この現象を定量的に理解した彼は、特異点に沿って多様体を切断し、多様体をいくつかの断片に分割し、それぞれの断片上でリッチフローを続行します。この手順は、外科手術を伴うリッチフローとして知られています。

ペレルマンは、曲線短縮フローに基づく別の議論を展開し、単連結コンパクト3次元多様体上では、手術を伴うリッチフローの解は有限時間内に消滅することを示した。トビアス・コルディングとウィリアム・ミニコッツィは、極小曲面のミニマックス理論と幾何学的測度論に基づく別の議論を展開した。したがって、単連結の文脈では、手術を伴うリッチフローの上記の有限時間現象だけが関連する。実際、基本群が有限群と巡回群の自由積であっても、これは当てはまる。

基本群に関するこの条件は、有限時間消滅の必要十分条件であることが判明した。これは、多様体の素分解に非巡回成分が存在しないということと同等であり、多様体のすべての幾何学的要素が2つのサーストン幾何学に基づく幾何学を持つという条件と同等であることが判明した。$\displaystyle S^{2}\times \mathbf {R} }$そして$\displaystyle S^{3}}$。基本群について何の仮定も置かないという前提のもと、ペレルマンは無限に長い時間における多様体の極限についてさらに技術的な研究を行い、その過程でサーストンの幾何化予想を証明した。すなわち、長い時間では、多様体は厚い部分と薄い部分に分解され、その厚い部分は双曲構造を持ち、薄い部分はグラフ多様体となる。しかし、ペレルマンとコルディングとミニコッツィの結果により、ポアンカレ予想を証明するためにこれらのさらなる結果は不要となる。

2002年11月11日、ロシアの数学者グリゴリー・ペレルマンは、ポアンカレ予想の解を概説する3つのeprintシリーズの最初のものをarXivに投稿した。ペレルマンの証明は、リチャード・S・ハミルトンが開発したリッチフロープログラムの修正版を使用している。2006年8月、ペレルマンはリッチフローに関する研究でフィールズ賞（15,000カナダドル相当）を受賞したが、辞退した。2010年3月18日、クレイ数学研究所は、ペレルマンの証明を称え、100万ドルのミレニアム賞を授与した。[ 41 ] ^{[ 42 ]ペレルマンはこの}賞も辞退した。^{[ 7 ] [ 43 ]} 

ペレルマンは、リッチフロー（物体を通しての熱の拡散を記述する熱方程式と同様の振る舞いをする）を用いて多様体を変形させることで、この予想を証明した。リッチフローは通常、多様体をより丸い形に変形させるが、場合によっては多様体を特異点と呼ばれる方向へ引き伸ばすこともある。ペレルマンとハミルトンは、特異点で多様体を切断する（トポロジーでは「外科手術」と呼ばれるプロセスで、マックス・デーンが既に2次元球面からポアンカレのホモロジー球面を作るために用いていた）。これにより、分離された断片が球状の形になる。証明の主要なステップは、リッチフローによって変形された多様体がどのように振る舞うかを示すこと、どのような種類の特異点が発生するかを調べること、この外科手術プロセスを完了できるかどうかを判断すること、そして外科手術を無限に繰り返す必要がないことを確立することである。

最初のステップは、リッチフローを使用して多様体を変形することです。リッチフローは、リチャード・S・ハミルトンによって多様体を変形する方法として定義されました。リッチフローの式は、固体中の熱の流れ方を記述する熱方程式の模倣です。熱の流れと同様に、リッチフローは均一な挙動に向かう傾向があります。熱の流れとは異なり、リッチフローは特異点に遭遇して機能しなくなる可能性があります。多様体の特異点とは、角や尖点、またはピンチングのように、微分不可能な場所のことです。リッチフローは、滑らかで微分可能な多様体に対してのみ定義されました。ハミルトンは、いくつかのコンパクト多様体が球面と微分同相であることを証明するためにリッチフローを使用し、ポアンカレ予想の証明にそれを適用することを望んでいました。彼は特異点を理解する必要がありました。^{[ 44 ]}

ハミルトンは形成されうる特異点のリストを作成したが、いくつかの特異点が困難を引き起こす可能性があることを懸念していた。彼は特異点で多様体を切断し、キャップを貼り付けてからリッチフローを再度実行したかったので、特異点を理解し、特定の種類の特異点が発生しないことを示す必要があった。ペレルマンは、特異点はすべて非常に単純であることを発見した。円を別の次元の線に沿って「引き伸ばす」ことで円柱が形成されることを考え、そのプロセスを円の代わりに球で繰り返すと、本質的に特異点の形状が得られる。ペレルマンは、ある楕円方程式の固有値と密接に関連する「縮小体積」と呼ばれるものを使用してこれを証明した。

時として、複雑な演算がスカラー（数値）による乗算に帰着することがあります。このような数値は、その演算の固有値と呼ばれます。固有値は振動周波数と密接に関係しており、有名な問題「ドラムの形を音で聞き分けることができるか？」の解析に用いられます。本質的に、固有値は多様体によって奏でられる音符のようなものです。ペレルマンは、リッチフローによって多様体が変形すると、この音符が上昇することを証明しました。これは、ハミルトンが懸念していた厄介な特異点のいくつか、特に反対側には何もない多様体から一本の糸が突き出ているように見える葉巻ソリトン解を解消するのに役立ちました。本質的に、ペレルマンは、形成されるすべての糸は切断してキャップすることができ、片側だけに突き出ているものはないことを示しました。

証明を完成させるために、ペレルマンは境界のない任意のコンパクトで単連結な3次元多様体を選び、リッチフローを実行させ始めます。これにより、多様体は糸が通った丸い断片に変形されます。彼は糸を切り、多様体の変形を続け、最終的に丸い3次元球体の集合体を得ます。次に、球体を3次元円筒でつなぎ合わせて元の多様体を再構築し、それらを丸い形に変形させ、最初の混乱にもかかわらず、多様体は実際には球体と同相であったことを発見します。

すぐに提起された疑問の一つは、無限に多くの切断が必要ないことをどうやって確信できるかということだった。これは、切断が無限に続く可能性があるという理由から生じた。ペレルマンは、多様体上の極小曲面を用いることで、これが起こり得ないことを証明した。極小曲面とは、局所的な変形によって面積が増加する曲面のことである。よく知られた例としては、曲がったワイヤーのループに張られた石鹸膜が挙げられる。ハミルトンは、多様体がリッチフローを起こすと極小曲面の面積が減少することを示していた。ペレルマンは、多様体をスライスしたときに極小曲面の面積がどうなるかを検証した。彼は、最終的に面積が非常に小さくなり、その面積が小さくなった後の切断は、より複雑な部分ではなく、3次元の球体を切り取ることにしかならないことを証明した。これは、後述するスピロの著書の中で、ソルマニによってヒュドラとの戦いに例えられている。この証明の最後の部分は、ペレルマンのこの主題に関する3番目にして最後の論文に掲載された。

• 多面的な運命

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• 「ポアンカレ予想」  – BBCラジオ4の番組「イン・アワー・タイム」、2006年11月2日放送。出演者は、オープン大学数学史講師のジューン・バロー＝グリーン、ウォーリック大学数学教授のイアン・スチュワート、オックスフォード大学数学教授のマーカス・デュ・ソートイ、そしてプレゼンターのメルヴィン・ブラッグ。