セールのスペクトル系列

ホップファイブレーションは次のように与えられることを思い出してください。${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\to S^{2}}$.${\displaystyle E_{2}}$ルレイ・セールスペクトル系列のページには次のように書かれている。

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}1&H^{0}(S^{2};\mathbb {Z} )&0&H^{2}(S^{2};\mathbb {Z} )\\0&H^{0}(S^{2};\mathbb {Z} )&0&H^{2}(S^{2};\mathbb {Z} )\\\hline &0&1&2\end{array}}}$

差分${\displaystyle d_{2+i}}$行く${\displaystyle 1+i}$下へ、そして${\displaystyle 2+i}$そうです。したがって、必ずしも0はd ^0,1 ₂です。残りの定義域または終域が0であるため(それらはE ₂ページでは0 です。特に、このシーケンスはE ₂  = E _∞で退化します。E ₃ページでは次のように記述されます。 

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}1&\ker d_{2}^{0,1}&0&H^{2}(S^{2};\mathbb {Z} )\\0&H^{0}(S^{2};\mathbb {Z} )&0&\operatorname {coker} d_{2}^{0,1}\\\hline &0&1&2\end{array}}}$

スペクトル系列は${\displaystyle H^{p+q}(S^{3}),}$つまり${\displaystyle E_{3}^{p,q}=Gr^{p}H^{p+q}(S^{3}).}$興味深い部分を評価すると、${\displaystyle \ker d_{2}^{0,1}=Gr^{1}H^{1}(S^{3})}$そして${\displaystyle \operatorname {coker} d_{2}^{0,1}=Gr^{0}H^{2}(S^{3}).}$コホモロジーを知る${\displaystyle S^{3},}$両方ともゼロなので、微分${\displaystyle d_{2}^{0,1}}$これは同型写像である。

複素n次元射影多様体Xが与えられたとき、線束の標準的な族が存在する。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(k)}$のために${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$埋め込みから来ている${\displaystyle X\to \mathbb {CP} ^{m}}$これはグローバルセクションによって与えられます${\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m}\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(1))}$送信する

${\displaystyle x\mapsto [s_{0}(x):\ldots :s_{m}(x)]}$

ランクrのベクトルバンドルを構築する場合${\displaystyle {\mathcal {E}}}$これはベクトル束の有限ホイットニー和であり、球束を構成できます。${\displaystyle S\to X}$その繊維は球体である${\displaystyle S^{2r-1}\subset \mathbb {C} ^{r}}$すると、Serreスペクトル系列とEulerクラスを用いてSの積分コホモロジーを計算することができる。${\displaystyle E_{2}}$-ページは以下によって与えられます${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(X;H^{q}(S^{2r-1}))}$非自明な微分は、${\displaystyle E_{2r}}$-ページは、オイラークラスによるカップイングによって定義されます。${\displaystyle e({\mathcal {E}})}$この場合、それはトップのチャーンクラスによって与えられます。${\displaystyle {\mathcal {E}}}$例えば、ベクトル束を考えてみましょう。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(a)\oplus {\mathcal {O}}_{X}(b)}$XがK3面の場合、スペクトル系列は次のようになる。

${\displaystyle E_{2}=E_{3}=E_{4}={\begin{array}{c|ccccc}3&H^{0}(X;\mathbb {Z} )&H^{1}(X;\mathbb {Z} )&H^{2}(X;\mathbb {Z} )&H^{3}(X;\mathbb {Z} )&H^{4}(X;\mathbb {Z} )\\2&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0\\0&H^{0}(X;\mathbb {Z} )&H^{1}(X;\mathbb {Z} )&H^{2}(X;\mathbb {Z} )&H^{3}(X;\mathbb {Z} )&H^{4}(X;\mathbb {Z} )\\\hline &0&1&2&3&4\end{array}}}$

差分${\displaystyle d_{4}=\cup a\cdot bH^{2}}$のために${\displaystyle H^{2}}$はレフシェッツクラスの二乗である。この場合、唯一の非自明な微分は

${\displaystyle d_{4}^{0,3}:H^{0}(X;\mathbb {Z} )\to H^{4}(X;\mathbb {Z} )}$

この計算を完了するには、非自明なコホモロジー群は一つだけであることに注意すればよい。

${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &k\in \{0,4\}\\\mathbb {Z} ^{\oplus 22}&k=2\end{cases}}}$

まず基本的な例から始めましょう。パス空間ファイブレーションを考えてみましょう。

${\displaystyle \Omega S^{n+1}\to PS^{n+1}\to S^{n+1}.}$

基底空間と全空間のホモロジーがわかっているので、直感的に、セールスペクトル系列はループ空間のホモロジーを教えてくれるはずだとわかります。これは、 E ^{∞ページ (全空間のホモロジー) を使用して}E ²ページで何が起こるかを制御することで、ファイブレーションのホモ​​ロジーを研究できるケースの一例です。したがって、次のことを思い出してください。

${\displaystyle E_{p,q}^{2}=H_{p}(S^{n+1};H_{q}(\Omega S^{n+1})).}$

したがって、 q = 0 の場合、通常の整数値のホモロジー群H _p ( S ^{n +1} )を調べているだけであり、その値は次のようになります。${\displaystyle \mathbb {Z} }$次数 0 とn +1 では値 0 であり、それ以外の場所では値 0 です。しかし、パス空間は縮約可能であるため、数列がE ^{∞に到達するまでに、} p = q = 0の群を除いてすべてが 0 になることがわかります。これが起こる唯一の方法は、から同型が存在する場合です。${\displaystyle H_{n+1}(S^{n+1};H_{0}(F))=\mathbb {Z} }$別のグループへ。ただし、グループが非ゼロになり得る場所は、列p = 0 またはp = n +1 のみであるため、この同型写像は、終域がE ^{n +1}のページ上で発生する必要があります。${\displaystyle H_{0}(S^{n+1};H_{n}(F))=\mathbb {Z} .}$しかし、${\displaystyle \mathbb {Z} }$このグループでは、${\displaystyle \mathbb {Z} }$H _{n +1} ( S ^{n +1} ; H _n ( F ))において。このプロセスを帰納的に繰り返すと、 H _i (Ω S ^{n +1} ) の値が得られることがわかる。${\displaystyle \mathbb {Z} }$nの整数倍ではn、それ以外の場所では0となる。

我々は、${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ファイブレーションを使用する:

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{2n+1}\to \mathbb {CP} ^{n}}$

さて、E ₂ページでは、0,0 座標にリングの恒等式があります。0,1 座標には、生成する要素iがあります。${\displaystyle \mathbb {Z} .}$しかし、極限ページによれば、次数 2 n +1 にのみ非自明な生成元が存在することがわかっています。これは、生成元i が2,0 座標の何らかの要素xに渡る必要があることを示しています。さて、これは、2,1 座標に要素ix が存在する必要があることを示しています。次に、ライプニッツの規則によりd ( ix ) = x ^{2であることがわかります。次数 2} n +1までは非自明なホモロジーが存在しないため、4,0 座標はx ²でなければなりません。この議論を 2 n + 1まで帰納的に繰り返すと、座標 2 n ,1 にix ⁿが得られ、これが唯一の生成元でなければなりません。  ${\displaystyle \mathbb {Z} }$その次数では、2 n  +  1,0 座標が 0 でなければならないことがわかります。スペクトル系列の水平方向の最下行を読み取ると、次のコホモロジー環が得られます。${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$そして答えは${\displaystyle \mathbb {Z} [x]/x^{n+1}.}$

無限複素射影空間の場合、極限を取ると答えが得られます。${\displaystyle \mathbb {Z} [x].}$

セールスペクトル系列のより高度な応用は、計算である。${\displaystyle \pi _{4}(S^{3})=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .}$この具体的な例は、球の高次ホモトピー群に関する情報を推測するために使用できる体系的な手法を示しています。次のファイブレーションを考えます。これは、上の同型です。${\displaystyle \pi _{3}}$

${\displaystyle X\to S^{3}\to K(\mathbb {Z} ,3),}$

どこ${\displaystyle K(\pi ,n)}$これはアイレンベルク・マクレーン空間である。次に、この写像をさらに変換する。${\displaystyle X\to S^{3}}$ファイブレーションに対して、反復ファイバーは基底空間のループ空間であることは周知の事実であるため、この例ではファイバーは次のようになります。${\displaystyle \Omega K(\mathbb {Z} ,3)=K(\mathbb {Z} ,2).}$しかし、私たちは知っている${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)=\mathbb {CP} ^{\infty }.}$次に、コホモロジー的Serreスペクトル系列を見てみましょう。次数3のコホモロジーの生成子があると仮定します。${\displaystyle S^{3}}$と呼ばれる${\displaystyle \iota }$全コホモロジーには次数 3 のものはないので、これは同型写像によって殺されなければならないことがわかります。しかし、これに写像できる唯一の要素は、コホモロジー環の生成元aです。${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$ということで、${\displaystyle d(a)=\iota }$したがって、カップ積構造により、4次の生成器は、${\displaystyle a^{2}}$ジェネレーターにマッピングします${\displaystyle \iota a}$2を掛けることで、次数6のコホモロジー生成子が${\displaystyle \iota a^{2}}$3を掛けるなどして。特に、次のことがわかります。${\displaystyle H_{4}(X)=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .}$しかし、反復ファイブレーションを使用してXの下位ホモトピー群（つまり、次数が4未満の群）を消滅させたので、次のことがわかります。${\displaystyle H_{4}(X)=\pi _{4}(X)}$ヒューレビッチの定理によれば、${\displaystyle \pi _{4}(S^{3})=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .}$

系：${\displaystyle \pi _{4}(S^{2})=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .}$

証明：ホップファイブレーションのホモ​​トピー群の長完全列を取る。${\displaystyle S^{1}\to S^{3}\to S^{2}}$。