ラドーのカバーの問題

ラドーの被覆問題は、平面集合を正方形で被覆することに関する幾何学の未解決問題である。この問題は 1928 年にティボール・ラドーによって定式化され、リチャード・ラドーによってより一般的な形状と高次元に一般化された。

ティボール・ラドは、ジュゼッペ・ヴィタリのいくつかの結果に動機づけられて、ワツワフ・シェルピンスキに宛てた手紙の中で、単位区間のすべての被覆について、合計の長さが少なくとも 1/2 である 2 対の互いに素な区間からなる部分集合を選択でき、この数は増やせないことを指摘しました。そして、平面でも同様の記述を求めました。

平面上の平行な辺を持つ正方形の有限集合の和集合の面積が 1 である場合、対をなさない部分集合の最大保証総面積はいくらですか?

ラドーは、この数が少なくとも 1/9 であることを証明し、少なくとも 1/4 であり、それ以上改善できない定数であると推測しました。この主張は、等しい正方形の場合に A. ソコリン、R. ラドー、VAザルガレルによって独立に証明されました。しかし、1973 年に、ミクローシュ アジタイは 、2 つの異なるサイズの正方形のシステムを構築し、分離した正方形で構成される任意のサブシステムが、システムがカバーする全面積の最大1/4 − 1/1728 ≈ 0.2494の面積をカバーすることで、ラドーの予想を反証しました。

ティボール・ラドの予想に類似しているが他の形状を含む問題は、1940年代後半からリチャード・ラドによって検討されてきた。典型的な設定は、与えられたXに相似なユークリッド空間R ^d内の凸図形の有限族、例えば元の問題のような正方形、円板、またはd次元立方体である。

${\displaystyle F(X)=\inf _{S}\sup _{I}{\frac {|I|}{|S|}},}$

ここで、S は先ほど説明した有限族に適用でき、与えられた族Sに対して、I は独立な、すなわち互いに素な集合からなるすべてのサブ族に適用でき、バーは全体の体積（平面の場合は面積）を表す。2 次元凸包XのF ( X ) の正確な値は不明だが、さまざまな図形のクラスで上限と下限を確立するために多くの研究がなされてきた。Xに平行かつ合同な集合からなる族だけを考慮すると、 f ( X ) を同様に定義でき、この方がはるかに研究しやすいことがわかった。したがって、R. Rado は、Xが三角形の場合、f ( X ) はちょうど 1/6 であり、X が中心対称の六角形の場合、f ( X ) は 1/4 に等しいことを証明した。

2008年、セルゲイ・ベレグ、エイドリアン・ドゥミトレスク、ミンフイ・ジャンは、R.ラドとVAザルガラーの以前の結果を改善する、さまざまなF ( X )とf ( X )の新しい境界を確立しました。特に、彼らは次のことを証明しました。

${\displaystyle 0.1179\approx {\frac {1}{8.4797}}\leq F({\textrm {square}})\leq {\frac {1}{4}}-{\frac {1}{384}}\approx 0.2474,}$

任意の凸平面Xに対しても同様です。 ${\displaystyle f(X)\geq {\frac {1}{6}}}$

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