ハーディ・リトルウッドのゼータ関数予想

数学において、ゴッドフリー・ハロルド・ハーディとジョン・エデンソー・リトルウッドにちなんで名付けられたハーディ・リトルウッドのゼータ関数予想は、リーマンゼータ関数の零点間の距離と零点の密度に関する2つの予想である。

1914年、ゴッドフリー・ハロルド・ハーディ^はリーマン^ゼータ関数^が${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$無限に多くの実数零点を持つ。

させて${\displaystyle N(T)}$実数ゼロの総数とする。${\displaystyle N_{0}(T)}$関数の奇数次の零点の総数とする${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$区間上に位置する ${\displaystyle (0,T]}$。

ハーディとリトルウッドは^{[ 2 ]} 2つの予想を主張した。これらの予想は、実数ゼロ間の距離に関するもので、${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$そして零点の密度について${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$間隔を置いて${\displaystyle (T,T+H]}$十分に大きい${\displaystyle T>0}$、${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$そして可能な限り低い価値で${\displaystyle a>0}$、 どこ ${\displaystyle \varepsilon >0}$は任意に小さな数であり、リーマンゼータ関数の研究に2つの新しい方向性を開く。

1. いずれの場合も${\displaystyle \varepsilon >0}$そのようなものが存在する${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$そのため${\displaystyle T\geq T_{0}}$そして${\displaystyle H=T^{0.25+\バレプシロン }}$間隔${\displaystyle (T,T+H]}$関数の奇数次のゼロを含む${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$。

2. いずれの場合も${\displaystyle \varepsilon >0}$存在する${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$そして${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}$、${\displaystyle T\geq T_{0}}$そして${\displaystyle H=T^{0.5+\バレプシロン }}$不平等${\displaystyle N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq cH}$それは本当です。

1942年、アトレ・セルバーグは問題2を研究し、任意の${\displaystyle \varepsilon >0}$そのようなものが存在する${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$そして${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}$、${\displaystyle T\geq T_{0}}$そして${\displaystyle H=T^{0.5+\バレプシロン }}$不平等 ${\displaystyle N(T+H)-N(T)\geq cH\log T}$それは本当です。

セルバーグは、指数の値を小さくすることが可能であるという推測^{[ 3 ]}を行った。${\displaystyle a=0.5}$のために${\displaystyle H=T^{0.5+\バレプシロン }}$これは42年後にAAカラツバによって証明された。^{[ 4 ]}