自然密度

数論において、自然密度（漸近密度または算術密度とも呼ばれる）は、自然数の集合の部分集合がどれだけ「大きい」かを示す尺度である。これは主に、区間[1, n ]をnが大きくなるにつれて、目的の部分集合の要素に遭遇する確率に基づいている。

例えば、正の整数は平方数よりも多いように直感的に思えるかもしれません。なぜなら、平方数はすべて正の数であり、さらに他にも多くの正の整数が存在するからです。しかし、実際には正の整数の集合は平方数の集合よりも大きいわけではありません。どちらの集合も無限かつ可算であり、したがって1対1に対応させることができます。とはいえ、自然数を順に見ていくと、平方数は次第に少なくなっていきます。自然密度の概念は、自然数の多くの部分集合に対してこの直感を正確に表しますが、すべての部分集合に対してではありません（自然密度に似ていますが、すべての部分集合に対して定義されているシュニレルマン密度を参照）。${\displaystyle \mathbb {N} }$)

区間[1, n ]から整数をランダムに選択した場合、それが集合Aに属する確率は、[1, n ]に含まれるAの要素数と[1, n ]に含まれる要素の総数との比になります。この確率がn が無限大に近づくにつれてある極限値に収束する場合、この極限値はAの漸近密度と呼ばれます。この概念は、集合Aから数を選択する確率の一種として理解できます。実際、漸近密度（およびその他のいくつかの種類の密度）は、確率的数論で研究されています。

正の整数の部分集合Aは、 1からnまでのすべての 自然数の中でAの要素の割合がnが無限大に近づくにつれてαに収束する場合、自然密度αを持つという。

より具体的に言うと、任意の自然数nに対して計数関数a ( n )をn以下のAの要素の数として定義すると、 Aの自然密度がα であるということは、まさに^{[ 1 ]}を意味します。

定義から、集合Aが自然密度αを持つ場合、0 ≤ α ≤ 1 が成り立つことがわかる。

• 任意の正の整数の有限集合Fに対して、d ( F ) = 0 となる。
• d ( A )が何らかの集合Aに対して存在し、Ac^がそれに関する補集合を表す場合${\displaystyle \mathbb {N} }$すると、d ( A ^c ) = 1 − d ( A ) となります。
  • 系：もし${\displaystyle F\subset \mathbb {N} }$有限である（ケースを含む）${\displaystyle F=\emptyset }$) ${\displaystyle d(\mathbb {N} \setminus F)=1.}$
• もし${\displaystyle d(A),d(B),}$そして${\displaystyle d(A\cup B)}$存在するならば、$${\displaystyle \max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}.}$$
• もし${\displaystyle A=\{n^{2}:n\in \mathbb {N} \}}$がすべての正方形の集合である場合、d ( A ) = 0 となります。
• もし${\displaystyle A=\{2n:n\in \mathbb {N} \}}$がすべての偶数の集合である場合、d ( A ) = 0.5 となります。同様に、任意の等差数列の場合、${\displaystyle A=\{an+b:n\in \mathbb {N} \}}$私たちは${\displaystyle d(A)={\tfrac {1}{a}}.}$
• すべての素数の集合Pに対して、素数定理からd ( P ) = 0が得られます。
• 平方因子を持たない整数の集合は密度を持つ${\displaystyle {\tfrac {6}{\pi ^{2}}}.}$より一般的には、任意の自然数nに対するn乗を含まない数の集合は密度を持つ。${\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta (n)}},}$どこ${\displaystyle \zeta (n)}$はリーマンゼータ関数です。
• 過剰数の集合はゼロでない密度を持つ。^{[ 3 ]} マルク・デレグリーズは1998年に、過剰数の集合の密度が0.2474から0.2480の間であることを示した。^{[ 4 ]}
• セット$${\displaystyle A=\bigcup _{n=0}^{\infty }\left\{2^{2n},\ldots ,2^{2n+1}-1\right\}}$$2進展開で奇数桁を含む数の集合は漸近密度を持たない集合の例である。なぜなら、この集合の上側密度は$${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}},}$$一方、その低密度は$${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}.}$$
• 1 から始まる小数展開を持つ数の集合も同様に自然密度を持たない。最小密度は 1/9、最大密度は 5/9 である。 ^{[ 1 ]}（ベンフォードの法則を参照。）
• 均等分布数列を考える${\displaystyle \{\alpha _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$で${\displaystyle [0,1]}$単調族を定義する${\displaystyle \{A_{x}\}_{x\in [0,1]}}$セットの:$${\displaystyle A_{x}:=\{n\in \mathbb {N}$$ :\alpha _{n}<x\}.} すると定義により、${\displaystyle d(A_{x})=x}$すべての人々のために${\displaystyle x}$。
• Sが正の上限密度を持つ集合である場合、セメレディの定理によればSは任意の大きさの有限等差数列を含み、フュルステンベルク・サルコジの定理によればSの2つの要素の差は平方数である。

自然数の部分集合上の他の密度関数も同様に定義できます。たとえば、集合Aの対数密度は、極限 (存在する場合) として定義されます。 $${\displaystyle \mathbf {\delta } (A)=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\in A,n\leq x}{\frac {1}{n}}.}$$

上側対数密度と下側対数密度も同様に定義される。

使用の背後にある直感${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$項の は調和級数が漸近的に に近づくという事実から来ています${\displaystyle \log n+\gamma }$、 どこ${\displaystyle \gamma =0.577\ldots }$はオイラー・マスケローニ定数である。したがって、この定義により、自然数の対数密度は となる。${\displaystyle 1}$。

整数列の倍数の集合について、ダベンポート・エルデシュの定理によれば、自然密度が存在する場合、それは対数密度に等しい。^{[ 5 ]}

• ディリクレ密度
• エルデシュの等差数列に関する予想

• ナサンソン、メルビン・B. (2000).数論における初等的方法. 大学院数学テキストシリーズ. 第 195巻.シュプリンガー・フェルラーク. ISBN 978-0387989129. Zbl 0953.11002 . 
• Niven, Ivan (1951). 「数列の漸近密度」 .アメリカ数学会報. 57 (6): 420–434 . doi : 10.1090/s0002-9904-1951-09543-9 . MR 0044561 . Zbl 0044.03603 .  
• Steuding, Jörn (2002). 「確率的数論」(PDF) . 2011年12月22日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。 2014年11月16日取得。
• テネンバウム、ジェラルド（1995）。解析的および確率的数論入門。ケンブリッジ高等数学研究。第 46巻。ケンブリッジ大学出版局。Zbl 0831.11001。 

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