ループ理論と準群理論における問題点一覧

L を、奇数位数の正規アーベル部分群(結合部分ループ) Mを持つMoufang ループとし、L / M は位数が 3 より大きい巡回群であるとする。(i) Lは群か？ (ii) MとL / Mの位数が互いに素である場合、L は群か？

• 提案者：マイケル・キニヨン（Chein and Rajah、2000年に基づく）
• コメント: L / Mの位数が 3 より大きいという仮定は重要です。なぜなら、位数 81 の (可換) ムーファン ループLが存在し、その通常の可換部分群の位数は 27 だからです。

予想：周期3の任意の有限可換ムファンループは、可換代替代数に埋め込むことができる。

• 提案者：アレクサンダー・グリシコフ（Loops '03、プラハ、2003年）
• コメント: Grishkov と Shestakov、2011 ^{[ 1 ]}は、n<7 の場合、指数 3 の n 生成自由可換 Moufang ループを可換代替代数に埋め込むことができることを証明しました。

予想：L を有限の Moufang ループとし、Φ( L ) をLのすべての最大部分ループの共通部分とする。このとき、Φ( L ) はLの通常の冪零部分ループである。

• 提案: Alexander Grishkov、Loops '11、Třešť 2011

グループ向け${\displaystyle G}$、 定義する${\displaystyle M(G,2)}$の上${\displaystyle G}$x${\displaystyle C_{2}}$による ${\displaystyle (g,0)(h,0)=(gh,0)}$、${\displaystyle (g,0)(h,1)=(hg,1)}$、${\displaystyle (g,1)(h,0)=(gh^{-1},1)}$、${\displaystyle (g,1)(h,1)=(h^{-1}g,0)}$ムファンループの最小限のプレゼンテーションを見つける${\displaystyle M(G,2)}$プレゼンテーションに関して​${\displaystyle G}$。

• 提案:ペトル・ヴォイチェチョフスキー、Loops '03、プラハ 2003
• コメント: Chein は (Chein, 1974) で次のことを示しました。${\displaystyle M(G,2)}$は、以下の条件を満たす場合に限り、非結合的なムファングループである。${\displaystyle G}$ノンナベリアンです。 Vojtěchovský (Vojtěchovský、2003) は、最小限のプレゼンテーションを発見しました。${\displaystyle M(G,2)}$いつ${\displaystyle G}$これは2世代群です。

ムーファンループの多様性に含まれる、すべての非結合的な有限単純ムーファンループの表現を見つけます。

• 提案:ペトル・ヴォイチェチョフスキー、Loops '03、プラハ 2003
• コメント: (Vojtěchovský, 2003) では、非結合的な有限単純 Moufang ループはすべて 3 つの要素によって生成され、生成子の明示的な式が示されている。

予想：m個の生成元を持つ指数nの有限ムーファンループMを考える。このとき、| M | < f ( n , m )となる関数f ( n , m )が存在する。

• 提案: Alexander Grishkov、Loops '11、Třešť 2011
• コメント: n が 3 以外の素数の場合、この予想は Grishkov ^{[ 2 ]}によって証明されました。p = 3 でMが可換な場合は、Bruck によって証明されました。 p = 3の一般の場合については、G. Nagy ^{[ 3 ]}によって証明されました。 n = p ^mの場合は、Grishkov–Sabinina–Zelmanov の定理^{[ 4 ]}によって成り立ちます。

予想：L を指数が 4 または 6 の有限生成ムファン ループとする。このとき、Lは有限である。

• 提案: Alexander Grishkov、Loops '11、Třešť 2011

MF _{n を}n 個の生成器を持つ自由ムファンループとする。

推測：MF _3はねじれフリーであるが、 n > 4のMF _{n は}ねじれフリーではない。  

• 提案者：アレクサンダー・グリシコフ（Loops '03、プラハ、2003年）

左ボルループQについて、 Qの左乗法群の冪零度とQの構造との間の関係を見つけてください。

• 提案：準群、ループ、非連想系に関するマイルハイ会議（デンバー、2005年）にて発表

させて${\displaystyle (Q,*)}$、${\displaystyle (Q,+)}$同じ基礎集合上で定義された2つの準群である${\displaystyle Q}$距離${\displaystyle d(*,+)}$ペアの数${\displaystyle (a,b)}$で${\displaystyle Q\times Q}$そのため${\displaystyle a*b\neq a+b}$有限準群のクラスを、正の実数が存在する場合に二次群と呼ぶ。${\displaystyle \alpha }$任意の2つの準群${\displaystyle (Q,*)}$、${\displaystyle (Q,+)}$順序の${\displaystyle n}$満足できるクラスから${\displaystyle d(*,+)<\alpha \,n^{2}}$それらは同型です。Moufangループは二次関数ですか？Bolループは二次関数ですか？

• 提案:アレシュ・ドラパルによるループス '99、プラハ 1999
• コメント: Drápal は (Drápal, 1992) で、群は二次関数であることを証明しました。${\displaystyle \alpha =1/9}$、また（Drápal、2000）では、2群は二次関数であり、${\displaystyle \alpha =1/4}$。

解析的なボルループに対するキャンベル・ハウスドルフ級数を求めよ。

• 提案者： MA AkivisとVV Goldberg、Loops '99、プラハ、1999年
• コメント:この問題は、(Nagy, 2002) において局所解析的ブルックループに関して部分的に解決されています。

ループは、そのループ同位体のすべてが柔軟である場合、つまり ( xy ) x = x ( yx ) を満たす場合、普遍的に柔軟である。ループは、そのループ同位体のすべてが反自己同型逆の性質を持つ場合、つまり ( xy ) − 1 = y − 1 x − 1 を満たす場合、中間ボルである。有限^で普遍的に^柔軟であり^{ながら中間}ボルではないループは存在するか？    

• 提案者：マイケル・キニヨン（Loops '03、プラハ、2003年）

非自明な共役類を持つ有限単純非結合ボルループは存在するか？

• 提案者：ケネス・W・ジョンソンとジョナサン・DH・スミス、第2回マイルハイ非結合数学会議（デンバー、2009年）

Q を、内部写像群が冪零であるループとする。Q は冪零か？Qは解けるか？

• 提案： Loops '03および'07（プラハ、2003年および2007年）にて
• コメント：Qが有限であれば、最初の質問に対する答えは肯定です（Niemenmaa 2009）。一般の場合については、この問題は未解決です。

Q をアーベル内部写像群を持つループとする。Q は冪零であるか？もしそうであれば、 Qの冪零クラスには上限があるか？特に、Qの冪零クラスは3 より大きくなる可能性があるか？

• 提案： Loops '07、プラハ、2007年
• コメント:内部写像群 Inn( Q ) が有限かつアーベル群である場合、Qは冪零群である (Niemenaa および Kepka)。したがって、最初の問題は無限の場合のみ未解決である。少なくとも 3 の冪零群であり、Inn( Q ) がアーベル群である場合、ループQをCsörgõ 型と呼ぶ。3 より高い冪零群の Csörgõ 型ループは知られていない。Csörgõ 型のループが存在する (Csörgõ、2004)、Csörgõ 型の Buchsteiner ループが存在する (Csörgõ、Drápal および Kinyon、2007)、Csörgõ 型の Moufang ループが存在する (Nagy および Vojtěchovský、2007)。一方、Csörgõ型のグループは存在せず（民俗学）、Csörgõ型の可換Moufangループも存在せず（Bruck）、p > 3の場合のCsörgõ型のMoufang pループも存在しない（NagyとVojtěchovský、2007）。  

同型を除いて、位数24の冪零ループの数を求めよ。

• 提案者：ペトル・ヴォイチェホフスキー、第2回マイルハイ非結合数学会議、デンバー、2009年
• コメント: n  < 24 の場合のカウントは既知です (Daly と Vojtěchovský、2010) を参照してください。中心のサイズが少なくとも 3 である次数 24 の冪零ループの数は 2,318,640,494,742,419,998,834 です ( ^{[ 5 ]}を参照)。

有限基底を持たない有限冪零ループを構築する。

• 提案者： MR Vaughan-Lee、Kourovka Notebook of Unsolved Problems in Group Theory（群論における未解決問題集）
• コメント：有限の法則の基底を持たない有限ループが存在する（Vaughan-Lee、1979）が、それは冪零ではない。

無限個の単純なパラメディアル準群は存在するのか？

• 提案:ヤロスラフ・イェジェクとトマーシュ・ケプカ、Loops '03、プラハ、2003

準群の多様体Vは、すべての準群がVの要素のいずれかと同位である場合に同位普遍的である。ループの多様体は最小同位普遍的多様体か？すべての同位普遍的多様体はループの多様体またはそのパラストロフを含むか？

• 提案: Tomáš Kepka と Petr Němec による Loops '03 (プラハ 2003)
• コメント：すべての準群はループと同位であるため、ループの多様性は同位的に普遍的である。

位数q = 14、18、26、または 42の準群Qが存在し、Q上でx * y = y − xyによって定義される演算 *が準群演算となるか?        

• 提案者： Parascovia Syrbu、Loops '03、プラハ、2003年
• コメント: (Conselo et al.、1998) を参照

次数nのラテン方陣Lを次のように構築します。G = K _{n、n を、} n ^{2 個}の辺に異なる重みを持つ完全二部グラフとします。M _{1 を}Gにおける最も安いマッチング、M _2をM ₁を除いたGにおける最も安いマッチング、などとします。各マッチングM _{i は}、1、...、nの順列p _iを決定します。Lは、順列p _{i を}Lのi行目に配置することによってGから得られるものとします。この手順は、次数nのラテン方陣の空間に一様分布をもたらしますか？  

• 提案者：ガーボル・ナギー、第2回マイルハイ非結合数学会議、デンバー、2009年

ループQに対して、Mlt(Q) をQの乗法群、すなわちすべての左移動と右移動によって生成される群とします。ある種類のループとある多項式fに対して、|Mlt( Q )|  < f (| Q |)は成り立ちますか？  

• 提案：準群、ループ、非結合系に関するマイルハイ会議（デンバー、2005年）にて発表

すべての有限交代ループ、つまりx ( xy )  =  ( xx ) yおよびx ( yy )  =  ( xy ) yを満たすすべてのループは、両側逆元を持ちますか？

• 提案者：ウォーレン・D・スミス
• コメント：両側逆元を持たない無限の代替ループが存在する（Ormes and Vojtěchovský、2007参照）。

非結合的な有限単純保型ループが存在する場合は、それを見つけなさい。

• 提案者：マイケル・キニヨン（Loops '03、プラハ、2003年）
• コメント:このようなループは可換性を持たないことが知られています (Grishkov、Kinyon、Nagý、2013)。また、奇数位数を持つこともありません (Kinyon、Kunen、Phillips、Vojtěchovský、2013)。

ループがオズボーンループであるとは、恒等式x (( yz ) x ) = ( x ^λ \ y )( zx )を満たす場合をいう。すべてのオズボーンループは普遍的である、つまり、オズボーンループのすべての同位体はオズボーンループであるのか？そうでない場合、普遍的なオズボーンループを特徴付ける適切な恒等式は存在するのか？

• 提案者：マイケル・キニヨン、マイルハイ会議（準群、ループ、非連想系に関する会議、デンバー、2005年）
• コメント：ムファングと共役閉ループはオズボーンによるものです。詳細は（キニヨン、2005）を参照してください。

共役が閉じていないブッフシュタイナーループは存在するか？共役が閉じていない有限単純ブッフシュタイナーループは存在するか？

• 提案：準群、ループ、非連想系に関するマイルハイ会議（デンバー、2005年）にて発表
• 解決者: Piroska Csörgõ、Aleš Drápal、Michael Kinyon
• 解答：ブッフシュタイナーループをその核で割った商群は、指数4のアーベル群である。特に、非結合的なブッフシュタイナーループは単純ではない。共役閉ではない位数128のブッフシュタイナーループが存在する。

次数64の非結合的なムファンループを分類せよ。

• 提案：準群、ループ、非連想系に関するマイルハイ会議（デンバー、2005年）にて発表
• 解決者: Gábor P. Nagy と Petr Vojtěchovský
• 解答:位数 64 の非結合的な Moufang ループは 4262 個あります。これらは (Vojtěchovský, 2006) の群修正法によって発見され、(Nagy and Vojtěchovský, 2007) でリストが完全であることが示されました。後者の論文では、Moufang ループの拡張に対して線形代数的なアプローチが用いられています。

左乗法群が右乗法群と同型でない共役閉ループを構築する。

• 提案: Aleš Drápal、Loops '03、プラハ、2003 年
• 解決者：アレシュ・ドラパル
• 解決策：次数9のループが存在します。LOOPSパッケージのコマンドCCLoop(9,1)で取得できます。

ムファンではない有限の単純なボルループは存在するか？

• 提案場所： Loops '99、プラハ、1999年
• 解決者: Gábor P. Nagy、2007 年。
• 解決策: Moufang ではない単純な Bol ループは、適切なものと呼ばれます。

  適切な単純ボルループにはいくつかの種類がある。最小の適切な単純ボルループは次数24である（Nagy 2008）。

  また、指数が2の適切な単純ボルループ（Nagy 2009）と、奇数次の適切な単純ボルループ（Nagy 2008）も存在する。

• コメント：上記の構成により、さらに2つの未解決問題が解決されました。
  • 有限の単純ブルックループで、ムファンではないものは存在するか？ はい、存在します。なぜなら、指数が 2 の適切な単純ボルループはすべてブルックループだからです。
  • 奇数次のボルループはすべて解けるのか？いいえ、奇数次の適切な単純ボルループを見ればわかるように、そうではありません。

自明な右核を持つ、有限な非ムファン左ボルループは存在するか？

• 提案：準群、ループ、非連想系に関するマイルハイ会議（デンバー、2005年）にて発表
• 解決者: Gábor P. Nagy、2007
• 解決策:右核が自明な、指数 2 の位数 96 の有限単純左 Bol ループが存在します。また、Mathieu 群M ₂₄の正確な因数分解を使用すると、 G ループである非 Moufang 単純 Bol ループを構成することができます。

すべての有限なムファンループは強いラグランジュ特性を持つのか？

• 提案者：オーリン・チェイン（Loops '99、プラハ、1999年）
• 解決者: Alexander Grishkov と Andrei Zavarnitsine、2003 年
• 解答：すべての有限ムーファンループは強ラグランジュ性質（SLP）を持つ。証明の概要は以下のとおりである。
  • （Chein et al. 2003）によれば、非結合的な有限単純Moufangループ（NFSML）に対してSLPを示すだけで十分である。
  • したがって、NFSML L の最大サブループの位数が L の位数を割り切ることを示せば十分である。
  • NFSMLの可算クラス${\displaystyle M(q)}$（Paige 1956）で発見され、（Liebeck 1987）までに他のNSFMLは存在しない。
  • グリシコフとザヴァルニツィンはループの最大サブループを一致させた${\displaystyle M(q)}$（Grishkov and Zavarnitsine、2003）では、三者関係を持つグループの特定のサブグループが挙げられています。

pとqを^異なる奇素数とする。qがpを法として1と合同でない場合、位数 p 2 q 3^のすべてのMoufangループはグループになるか？pq ⁴の場合はどうか？

• 提案者：アンドリュー・ラジャ（Loops '99、プラハ、1999年）
• コメント:前者は Rajah と Chee (2011) によって肯定的に解決されています (つまり、グループのみが存在する)。彼らは、異なる奇素数p ₁ < ··· < p _m < q < r ₁ < ··· < r _nに対して、位数p ₁ ² ··· p _m ² q ³ r ₁ ² ··· r _n ²のすべての Moufang ループは、各iについてqがp _iを法として 1 と合同でない場合のみグループであることを示しました。後者は Rajah と Chee (2014) ^{[ 6 ]}によって肯定的に解決されています。

可換性が正規でないMoufangループは存在するか？

• 提案者：アンドリュー・ラジャ（Loops '03、プラハ、2003年）
• 解決者: Alexander Grishkov と Andrei Zavarnitsine、2017
• 解答:はい、非正規可換な次数 3 ⁸の Moufang ループが存在します。 ^{[ 7 ]} Gagola は以前は反対のことを主張していましたが、後に証明に欠陥があることを発見しました。^{[ 7 ]}

ループの多様体Vが Moufang の定理を満たすとは、V内の任意のループQに対して、次の含意が成り立つ場合をいう。すなわち、Q内の任意のx、y、zに対して、 x ( yz ) = ( xy ) zならば、 x、y、zによって生成される部分ループは群である。Moufang の定理を満たすすべての多様体は、Moufang ループの多様体に含まれるのだろうか？

• 提案者: Andrew Rajah at Loops '11、Třešť 2011
• 解決者: Aleš Drápal と Petr Vojtěchovský による否定的な解決、2020 ^{[ 8 ]}、cf。恒等式 (xz)(((xy)z)(yz)) = ((xz)((xy)z))(yz) を満たすさまざまなシュタイナー ループ。 Rasskazova、2020 ^{[ 9 ]}および Aleš Drápal と Petr Vojtěchovský、2024 ^{[ 10 ]}も参照してください。

ボルループのコアのクラスは準多様体でしょうか？

• 提案者：ジョナサン・DH・スミスとアレーナ・ヴァンジュロヴァ（Loops '03、プラハ、2003年）
• 解決者: Alena Vanžurová、2004 年。
• 解答：いいえ、ボルループのコアのクラスは部分代数に関して閉じていません。さらに、群のコアのクラスも部分代数に関して閉じていません。証明の概要は以下のとおりです。
  • アーベル群のコアは、(Romanowska and Smith, 1985)、(Rozskowska-Lech, 1999)によってメディアルであるとされている。
  • 最小の非可換群${\displaystyle S_{3}}$核にはサブマグマが含まれている${\displaystyle G}$4次の非中央値。
  • もし${\displaystyle G}$これはボルループのコアであり、位数4のボルループのコアであり、したがってアーベル群のコアであり、矛盾である。

I(n)を位数nの準群の同型類の数とする。I(n)はすべてのnに対して奇数か？

• 提案者：ダグラス・S・ストーンズ、第2回マイルハイ非結合数学会議、デンバー、2009年
• 解決者：ダグラス・S・ストーンズ、2010年。
• 解答： I(12)は偶数である。実際、I(n)は12を除くすべてのn≤17に対して奇数である。（ストーンズ 2010）   

奇数次数で自明な核を持つムファンループは存在するか？

• 提案者：アンドリュー・ラジャ（Loops '03、プラハ、2003年）
• 解決者: Piroska Csörgő、2022 ^{[ 11 ]}。
• 解答：奇数次のすべてのムファンループは非自明な核を持つ

有限単純パラメディアル準群を分類せよ。

• 提案:ヤロスラフ・イェジェクとトマーシュ・ケプカ、Loops '03、プラハ、2003 年。
• 解決者: Victor Shcherbacov と Dumitru Pushkashu (2010)。
• 解答：任意の有限単純パラメディアル準群は、基本アーベルp群と同位である。このような準群は、メディアルユニポテント準群、メディアル可換分配準群、または(φ+ψ)単純メディアル分配準群の特殊な同位体のいずれかである。