体積予想

結び目理論と呼ばれる数学の分野において、体積予想は結び目の量子不変量をその補集合の双曲幾何学に関連付ける未解決問題である。

O を結び目のない結び目 とします。任意の結び目 に対して、を のカシャエフ不変量とします。これは次のように定義されます。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle \langle K\rangle _{N}}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \langle K\rangle _{N}=\lim _{q\to e^{2\pi i/N}}{\frac {J_{K,N}(q)}{J_{O,N}(q)}}}$、

ここで、 はの-カラージョーンズ多項式である。体積予想によれば、^[1]${\displaystyle J_{K,N}(q)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {2\pi \log |\langle K\rangle _{N}|}{N}}=\operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)}$、

ここで は3 次元球面における補集合の単体体積であり、次のように定義される。JSJ分解により、補集合はトーラス系の に一意に分解できる。 ${\displaystyle \operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle S^{3}\backslash K}$

${\displaystyle S^{3}\backslash K=\left(\bigsqcup _{i}H_{i}\right)\sqcup \left(\bigsqcup _{j}E_{j}\right)}$

双曲型とザイフェルトファイバー型の で定義される。単体体積は次のように定義される。 ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle E_{j}}$ ${\displaystyle \operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)}$

${\displaystyle \operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)=\sum _{i}\operatorname {vol} (H_{i})}$、

ここで は双曲多様体の双曲体積である。^[1]${\displaystyle \operatorname {vol} (H_{i})}$${\displaystyle H_{i}}$

特別な場合として、 が双曲的結び目である場合、JSJ 分解は単に となり、定義により単体体積は双曲的体積 と一致します。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle S^{3}\backslash K=H_{1}}$${\displaystyle \operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)}$${\displaystyle \operatorname {vol} (H_{1})}$

カシャエフ不変量は、1994年と1995年に量子二重対数理論を用いて双曲的結び目に対する状態和として初めてリナット・M・カシャエフによって導入された。^{[2] [3]}カシャエフは1997年に双曲的結び目の場合の体積予想の式を述べた。^[4]

村上と村上 (2001) は、変数を1 の根に置き換えることで、カシャエフ不変量が色付きジョーンズ多項式と関連していることを指摘しました。彼らは、これら 2 つの記述の同値性を示すために、離散フーリエ変換としてR 行列を使用しました。この論文は、単体体積を使用して、体積予想を現代的な形で初めて述べたものです。彼らはまた、体積予想がVictor Vasilievの次の予想を意味することを証明しています。 ${\displaystyle q}$${\displaystyle e^{i\pi /N}}$

結び目のすべてのヴァシリエフ不変量が非結び目のものと一致する場合、その結び目は非結び目です。

彼らの証明における重要な観察は、結び目のすべてのヴァシリエフ不変量が自明である場合、任意の に対して となるということです。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle J_{K,N}(q)=1}$${\displaystyle N}$

体積予想は一般的な結び目に対しては未解決ですが、任意のリンクに対しては誤りであることが知られています。体積予想は、次のような多くの特殊なケースで検証されています。

• 8の字結び（トビアス・エクホルム）^[5]
• 三撚り結び（リナト・カシャエフと横田善之）^[5]
• ボロメオ環（スタブロス・ガロウファリディスとタン・レ）^[5]
• トーラスノット(リナート・カシャエフとオラフ・ティルコネン)、^[5]
• 体積ゼロの結び目とリンク（ローランド・ファン・デル・ヴィーン）^[5]
• ツイストホワイトヘッドリンク（ハオ・ジェン）^[6]
• ホワイトヘッドは（ハオ・ジェン）と非自明なトーラス結び目を二重化します。 ^[6]${\displaystyle T(p,q)}$${\displaystyle q=2}$

村上ら（2002）は複素化を用いて、双曲的結び目に対して、 ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {2\pi \log \langle K\rangle _{N}}{N}}=\operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)+CS(S^{3}\backslash K)}$、

ここで、 はチャーン・サイモンズ不変量です。彼らは、複素化された色付きジョーンズ多項式とチャーン・サイモンズ理論の関係を確立しました。 ${\displaystyle CS}$

• 村上 斉 (2010). 「体積予想への入門」. arXiv : 1002.0126 [math.GT].。
• カシャエフ、リナト M. (1997)、「量子二対数による結び目の双曲的体積」、数理物理学論文集、39 (3): 269–275、arXiv : q-alg/9601025、Bibcode :1997LMaPh..39..269K、doi :10.1023/A:1007364912784。
• 村上 仁; 村上 淳 (2001)、「色付きジョーンズ多項式と結び目の単体体積」、Acta Mathematica、186 (1): 85–104、arXiv : math/9905075、doi :10.1007/BF02392716。
• 村上 仁; 村上 淳; 岡本 美幸; 高田 敏江; 横田 善之 (2002)、「カシャエフ予想と結び目とリンクのチャーン・サイモンズ不変量」、実験数学、11 (1): 427–435、arXiv : math/0203119、doi :10.1080/10586458.2002.10504485。
• グコフ、セルゲイ (2005)、「3次元量子重力、チャーン・サイモンズ理論、および A 多項式」、Communications in Mathematical Physics、255 (1): 557–629、arXiv : hep-th/0306165、Bibcode :2005CMaPh.255..577G、doi :10.1007/s00220-005-1312-y。