レプニット

レクリエーション数学において、レプユニットとは、11、111、1111 のように数字1のみを含む数であり、より特殊なタイプのレプディジットです。この用語は「繰り返し単位」を意味し、1966 年に Albert H. Beiler が著書「Recreations in the Theory of Numbers 」で作りました。^{[注 1]}

レプユニット素数は、素数でもあるレプユニットです。2を底とするレプユニットである素数はメルセンヌ素数です。2024 年 10 月現在、最大の既知の素数 2 ^136,279,841 − 1、最大の確率素数 R _8177207、および最大の楕円曲線素数であることが証明された素数R ₈₆₄₅₃は、すべてさまざまな底におけるレプユニットです。

b基数レピュテーションは次のように定義されます（このbは正または負のいずれかです）

${\displaystyle R_{n}^{(b)}\equiv 1+b+b^{2}+\cdots +b^{n-1}={b^{n}-1 \over {b-1}}\qquad {\mbox{for }}|b|\geq 2,n\geq 1.}$

したがって、数R _n ^{( b )は、} b進数表現の数字1のn個のコピーから構成されます。n  = 1とn  = 2の 場合の最初の2つのb進数表現は、

${\displaystyle R_{1}^{(b)}={b-1 \over {b-1}}=1\qquad {\text{および}}\qquad R_{2}^{(b)}={b^{2}-1 \over {b-1}}=b+1\qquad {\text{for}}\ |b|\geq 2.}$

特に、単にレプユニットと呼ばれることが多い10進数（ 10進数）のレプユニットは次のように定義されます。

${\displaystyle R_{n}\equiv R_{n}^{(10)}={10^{n}-1 \over {10-1}}={10^{n}-1 \over 9}\qquad {\mbox{for }}n\geq 1.}$

したがって、数R _n = R _n ⁽¹⁰⁾は、10進数表現の数字1の n個のコピーから構成されます。10進数のレプユニットのシーケンスは、

1、11、111、1111、11111、111111 、...（OEISの配列A002275）。

同様に、2進数のレプユニットは次のように定義される。

${\displaystyle R_{n}^{(2)}={2^{n}-1 \over {2-1}}={2^{n}-1}\qquad {\mbox{for }}n\geq 1.}$

したがって、数R _n ^{(2)は、2進数表現の数字1の}n個のコピーで構成されています。実際、2進数表現はよく知られているメルセンヌ数 M _n  = 2 ⁿ  − 1であり、

1、3、7、15、31、63、127、255、511、1023、2047、4095、8191、16383、32767、65535、...（OEISのシーケンスA000225）。

• 合成桁数を持つ任意の基数の任意のレプユニットは、必ず合成桁数となる。例えば、

  R ₃₅ ^{( b )} = 11111111111111111111111111111111111 = 11111 × 1000010000100001000010000100001 = 111111 × 1000000100000010000001000001,

35 = 7 × 5 = 5 × 7 なので、このレプユニット因数分解は、レプユニットが表現される底bに依存しません。

素数の桁を持つレプユニット（任意の基数）のみが素数となり得る。これは必要条件ではあるが十分条件ではない。例えば、

R11 ^（2） = 211−1 ⁼ 2047 = 23×89です_。

• p が奇数の素数である場合、 R _p ^{( b )}を割り切るすべての素数q は、 1 プラス 2 p の倍数、またはb − 1の因数のいずれかでなければなりません。たとえば、 R ₂₉の素因数は62003 = 1 + 2·29·1069 です。これは、pが素数であるため、 q がb ^p − 1を割り切る、 1 より大きい最小の指数が素数pであるためです。したがって、 qがb − 1 を割り切らない限り、p はqのカーマイケル関数を割り切りますが、これは偶数であり、 q − 1に等しくなります。
• 反復単位R _n ^{( b )の任意の正の倍数には、基数}bに少なくともn個の非ゼロの数字が含まれます。
• 任意の数x はx − 1 を底とする 2 桁の表現単位です。
• 同時に 2 つ以上の基数で 3 桁以上のレプユニットとなる既知の数は、31 (基数 5 では 111、基数 2 では 11111) と 8191 (基数 90 では 111、基数 2 では 1111111111111) のみです。Goormaghtigh予想によれば、この 2 つのケースしかありません。
• 鳩の巣原理を用いると、互いに素な自然数nとbに対して、底bにnの倍数のレピュテーション単位が存在することが簡単に示せます。これを確認するには、レピュテーション単位R ₁ ^{( b )}、...、R _n ^{( b )}を考えます。レピュテーション単位はn個ありますが、 nを法とする非ゼロ剰余はn −1 個しかないため、 1 ≤ i < j ≤ nを満たす 2 つのレピュテーション単位R _i ^{( b )}とR _j ^{( b )が存在し、} R _i ^{( b )}とR _j ^{( b )は}nを法とする剰余が同じになります。したがって、R _j ^{( b )} − R _i ^{( b )は}nを法とする剰余が 0 、つまりnで割り切れることになります。R j ⁽ _b ⁾ − R _i ^{( b )は}j − i個の 1 とそれに続くi個のゼロで構成されるため、R _j ^{( b )} − R _i ^{( b )} = R _{j − i} ^{( b )} × b ⁱとなります。ここで、nはこの式の左辺を割り切れるので、右辺も割り切れますが、nとbは互いに素なので、nはR _{j − i} ^{( b )}を割り切れる必要があります。
• フェイト・トムソン予想とは、 2つの異なる素数pとqに対して、 R _q ^{( p )が}R _p ^{( q )}を割り切ることは決してないというものです。
• ユークリッドの互除法を使用してレプユニット定義を記述すると、R ₁ ^{( b )} = 1; R _n ^{( b )} = R _{n −1} ^{( b )} × b + 1 となり、任意の連続するレプユニットR _{n −1} ^{( b )}とR _n ^{( b )は、任意の}nについて、任意の底bで互いに素です。
• mとn が公約数d を持つ場合、R _m ^{( b )}とR _n ^{( b ) は、任意の}mおよびnに対して、任意の底bで公約数R _d ^{( b )}を持ちます。つまり、固定底のレピュテーションは、強い割り切れるシーケンスを形成します。結果として、mとn が互いに素である場合、R _m ^{( b )}とR _n ^{( b )}は互いに素です。ユークリッドの互除法は、m > nに対してgcd ( m、n ) = gcd ( m − n、n ) に基づいています。同様に、R _m ^{( b )} − R _n ^{( b )} × b ^{m − n} = R _{m − n} ^{( b )}を使用すると、m > nに対してgcd ( R _m ^{( b )}、R _n ^{( b )} ) = gcd ( R _{m − n} ^{( b )}、R _n ^{( b )} ) であることが簡単に示されます。したがって、gcd ( m、n )= dの場合、gcd ( Rm ^{( b )}、Rn ^{( b )} )= ^Rd ( _b ^)と_なります。

（赤色の素因数は「新しい因数」を意味する。つまり、その素因数はR _nを割り切れるが、すべてのk < nに対してR _kを割り切れない）（ OEISのシーケンスA102380）^[2]

n > 1の 場合のR _nの最小の素因数は

11、3、11、41、3、239、11、3、11、21649、3、53、11、3、11、2071723、3、1111111111111111111、11、3、11、 11111111111111111111111、3、41、11、3、11、3191、3、2791、11、3、11、41、3、2028119、11、3、11、83、3、173、11、3、 11、35121409、3、239、 11、...（OEISの配列A067063）

レプユニットの定義は、そのような数の素因数を探す趣味の数学者によって動機づけられました。

nがaで割り切れる場合、R _n ^{( b )は}R _a ^{( b )}で割り切れることは簡単に示せます。

${\displaystyle R_{n}^{(b)}={\frac {1}{b-1}}\prod _{d|n}\Phi _{d}(b),}$

ここで は円分多項式であり、d はnの約数の範囲である。p が素数の場合、 ${\displaystyle \Phi _{d}(x)}$${\displaystyle d^{\mathrm {th} }}$

${\displaystyle \Phi _{p}(x)=\sum _{i=0}^{p-1}x^{i},}$

これは、 x をbに置き換えると、レプユニットの期待される形式になります。

たとえば、9 は 3 で割り切れるので、R _{9 は}R ₃で割り切れます。実際、 111111111 = 111 · 1001001 です。対応する円分多項式は、それぞれ、およびです。したがって、R _{n が}素数であるためには、n が必ず素数でなければなりませんが、 nが素数であることだけでは十分ではありません。たとえば、R _{3 = 111 = 3 · 37 は素数ではありません。} R ₃ のこの場合を除き、 あるkに対してp = 2 kn + 1 である場合にのみ、p はR _{n を}素数nに対して割り切れます。 ${\displaystyle \Phi _{3}(x)}$${\displaystyle \Phi _{9}(x)}$${\displaystyle x^{2}+x+1}$${\displaystyle x^{6}+x^{3}+1}$

R _{n は}、 n  = 2、19、23、317、1031、49081、86453 ...に対して素数である( OEISの配列 A004023 )。2007 年 4 月 3 日、ハーヴェイ・ダブナー( R ₄₉₀₈₁も発見)は、 R ₁₀₉₂₉₇がおそらく素数であると発表した。^[3] 2007 年 7 月 15 日、マクシム・ヴォズニーは、R _{270343 が}おそらく素数であると発表した。^[4]セルジュ・バタロフとライアン・プロッパーは、それぞれ 2021 年 4 月 20 日と 5 月 8 日に、R _5794777とR _{8177207がおそらく素数であることを発見した。} ^[5]彼らの発見時点では、それぞれ最大の既知の素数であった。 2022年3月22日、素数R _49081が素数であることが最終的に証明されました。^[6] 2023年5月15日、素数R _86453が素数であることが最終的に証明されました。^[7]

レプユニット素数は無限に存在すると推測されており^{[8] 、それらは}素数定理が予測するのとほぼ同じ頻度で発生するようです。N番目のレプユニット素数の指数は、一般的に( N −1)番目の指数の一定倍数付近になります。

素数レプユニットは、交換可能な素数、つまり数字を どのような順序で入れ替えても素数のままである素数の単純なサブセットです。

特定のプロパティは

• R _{n を}法として 3 を割った余りは、 n を法として 3 を割った余りに等しい。任意のa ≥ 0について 10 ^a ≡ 1 (mod 3) を使用すると、 n ≡ 0 (mod 3) ≡ R _n ≡ 0 (mod 3 ) ≡ R n ≡ 0 (mod R 3)、n _≡ 1 ( _mod 3 ) ≡ R _n ≡ 1 (mod _{3 ) ≡} R _n ≡ R ₁ ≡ 1 (mod R 3) 、n ≡ 2 (mod 3) ≡ R _n ≡ 2 (mod 3) ≡ R _n ≡ R ₂ ≡ 11 (mod R ₃ ) となる。したがって、3 | n ≡ 3 | R _n ≡ R ₃ | R _nとなる。
  
  
  
  
• R _{n を}9 で割った余りは、nを 9で割った余りに等しくなります。任意のa ≥ 0について 10 ^a ≡ 1 (mod 9) を使用すると、 0 ≤ r < 9に対して、 n ≡ r (mod 9 ) _{≡ R n} ≡ r ( mod ₉ ) ≡ R n ≡ R _r (mod R 9 ) が成立します。したがって、9 | n ≡ 9 | R _n ≡ R ₉ | R _nとなります。
  
  
  

bが完全累乗（ m ⁿと表記でき、m、n は整数、n > 1）で 1 と異なる場合、底bには最大で 1 つの repunit が存在します。nが素数累乗（ p ^rと表記でき、 p は素数、r は整数、p、r >0）の場合、底bのすべての repunit はR _pとR ₂を除いて素数ではありません。R _{p は}素数でも合成数でもよく、前者の例ではb = −216、−128、4、8、16、27、36、100、128、256 など、後者の例ではb = −243、−125、−64、−32、−27、−8、9、25、32、49、81、121、125、144、169、196、216、225、243、289 などです。R 2 は、b が負、つまり −2の累乗である場合にのみ素数 ( p が2と異なる場合)になり、たとえばb = −8、−32、−128、−8192 などです。実際、R ₂は合成数でもよく、たとえばb = −512、 ₋₂₀₄₈などです。bを底とするレプユニット素数は、例えば、b = 64, 729 ( n = 6 の場合)、b = 1024 ( n = 10 の場合)、b = −1 または 0 (n は任意の自然数)などです。別の特殊な状況として、 b = −4 k ⁴でk が正の整数の場合があり、これはオーリフィーユ因数分解を持ちます。例えば、b = −4 ( k = 1 の場合、R ₂とR ₃は素数)、b = −64、−324、−1024、−2500、−5184、... ( k = 2、3、4、5、6、...) の場合、b を底とするレプユニット素数は存在しません。また、 b が完全累乗でもkが正の整数で−4 k ⁴でもないときは、 b を底とするレプユニット素数が無限にあると推測されます。

一般化レプユニット素数に関する予想: ^{[9] [10]} (この予想は、次の一般化メルセンヌ素数がどこにあるかを予測するものであり、この予想が正しい場合、すべての基数に対してレプユニット素数は無限に存在することになる) ${\displaystyle b}$

任意の整数 に対して、次の条件を満たします。 ${\displaystyle b}$

1. ${\displaystyle |b|>1}$。
2. ${\displaystyle b}$は完全累乗ではありません。(が完全累乗であるとき、が素数となる値は最大で 1 つ存在し、この値は自身か の根であることが示せます。)${\displaystyle b}$${\displaystyle r}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$
3. ${\displaystyle b}$の形式ではありません。（その場合、その数はオーリフィーユ因数分解されます）${\displaystyle -4k^{4}}$

の形式の一般化レプユニット素数を持つ

${\displaystyle R_{p}(b)={\frac {b^{p}-1}{b-1}}}$

素数の場合、素数は最もよく合う直線の近くに分布する。 ${\displaystyle p}$

${\displaystyle Y=G\cdot \log _{|b|}\left(\log _{|b|}\left(R_{(b)}(n)\right)\right)+C,}$

ここで、限界は、${\displaystyle n\rightarrow \infty }$${\displaystyle G={\frac {1}{e^{\gamma }}}=0.561459483566...}$

そして約

${\displaystyle \left(\log _{e}(N)+m\cdot \log _{e}(2)\cdot \log _{e}{\big (}\log _{e}(N){\big )}+{\frac {1}{\sqrt {N}}}-\delta \right)\cdot {\frac {e^{\gamma }}{\log _{e}(|b|)}}}$

b基数はN未満の repunit 素数です。

• ${\displaystyle e}$は自然対数の底です。
• ${\displaystyle \gamma }$はオイラー・マスケローニ定数です。
• ${\displaystyle \log _{|b|}}$は底が​ ${\displaystyle |b|}$
• ${\displaystyle R_{(b)}(n)}$は基数bにおける 番目の一般化レプユニット素数です（素数pの場合）${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle C}$は、 に応じて変化するデータ適合定数です。${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle \delta =1}$もし、もし。${\displaystyle b>0}$${\displaystyle \delta =1.6}$${\displaystyle b<0}$
• ${\displaystyle m}$はa乗となる最大の自然数です。${\displaystyle -b}$${\displaystyle 2^{m-1}}$

また、次の 3 つのプロパティもあります。

1. 形式(素数) が 以下である素数の数はおよそ 個です。${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{|b|}{\big (}\log _{|b|}(n){\big )}}$
2. から までの素数を持つ形式の素数の期待数は、約 です。${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle |b|\cdot n}$${\displaystyle e^{\gamma }}$
3. 形式の数が素数である確率（素数 の場合）は約 です。${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\frac {e^{\gamma }}{p\cdot \log _{e}(|b|)}}}$

当時はその名前で知られていなかったが、19世紀には多くの数学者が循環小数の周期的なパターンを解明し予測するために、10進数のレプユニットを研究した。^[11]

5 より大きい任意の素数pについて、 1/ pの小数展開の周期は、 pで割り切れる最小のレプユニット数の長さに等しいことが非常に早い時期に判明した。60,000 までの素数の逆数の周期表は 1860 年までに公​​表されており、ロイシュレなどの数学者によるR ₁₆までのすべてのレプユニットとそれより大きな多くのレプユニットの因数分解が可能になった。1880 年までには、 R ₁₇からR ₃₆までが因数分解されていた^{[11] 。}エドゥアール・ルーカスが300 万未満の素数には周期が19ないことを示したにもかかわらず、20 世紀初頭までレプユニットの素数性を検定する試みがなかったのは興味深い。アメリカの数学者オスカー・ホッペは1916 年にR _{19 が}素数であることを証明し^[12]、レーマーとクライチクは 1929 年にそれぞれR _{23 が}素数であることを発見した。

レプユニットの研究がさらに進歩したのは、コンピュータの登場でレプユニットの新たな因数が多数発見され、以前の素数周期表の欠落が修正された1960年代になってからである。R ₃₁₇は1966年頃に素数である可能性が見つかり、11年後に素数であることが証明された。このとき、R ₁₀₃₁が1万桁未満の唯一の素数レプユニットの可能性を示した。1986年に素数であることが証明されたが、その後の10年間のさらなる素数レプユニットの探索は一貫して失敗に終わった。しかし、一般化レプユニットの分野では大きな副次的発展があり、多数の新しい素数と素数である可能性が高かった。

1999 年以降、さらに 4 つのおそらく素数のレプユニットが発見されましたが、その巨大なサイズのため、近い将来に素数であることが証明される可能性は低いです。

カニンガム プロジェクトは、（他の数値とともに）レプユニットの 2、3、5、6、7、10、11、および 12 を底とする整数因数分解を文書化することを目指しています。

DRカプレカーはデムロ数を左部分、中央部分、右部分の連結として定義し、左部分と右部分は同じ長さ（左の先頭にゼロが付く可能性あり）で、合計が繰り返し数字になる必要があり、中央部分にはこの繰り返し数字の任意の追加数を含めることができるとしました。^[13]これらは、当時のGIP鉄道のボンベイから30マイル離れた デムロ鉄道駅（現在はドンビビリと呼ばれています）にちなんで名付けられ、カプレカーはそこからデムロ数の調査を開始しました。彼は1、121、12321、1234321、...、12345678987654321 のような形式の数をワンダフル デムロ数と呼んでいます。これらがレプユニットの平方であるという事実から、一部の著者はこれらの無限列をデムロ数と呼んでいます。 ^[14] 1、121、12321、...、12345678987654321、1234567900987654321、123456790120987654321、... ( OEISの列A002477 )。ただし、 p = 10、19、28、... の場合、これらがデムロ数ではないことが確認できます。

• すべてが1つの多項式— もう1つの一般化
• グーマグティグ予想
• 循環小数
• レップデジット
• ワグスタッフ素数—負の底を持つレプユニット素数と考えることができる ${\displaystyle b=-2}$

• ベイラー、アルバート H. (2013) [1964]、「数論におけるレクリエーション：数学の女王が楽しませる」、ドーバーレクリエーション数学（第2改訂版）、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 978-0-486-21096-4
• ディクソン、レナード・ユージーン、クレッセ、GH（1999）、数論の歴史、第1巻：割り切れるかどうかと素数（第2版）、プロビデンス、ロードアイランド州：AMSチェルシー出版、ISBN 978-0-8218-1934-0
• フランシス、リチャード L. (1988)、「数学の干し草の山: レプユニット数のもう一つの見方」、大学数学ジャーナル、19 (3​​): 240–246、doi :10.1080/07468342.1988.11973120
• グンジカール、KR;カプレカー博士(1939 年)、「デムロ数の理論」(PDF)、ボンベイ大学ジャーナル、VIII (3): 3–9
• カプレカー、DR（1938a）、「素晴らしいデムロ数について」、数学学生、6：68
• Kaprekar, DR (1938b)、「Demlo 数」、J. Phys. Sci. Univ. Bombay、VII (3)
• カプレカール、DR (1948)、デムロ番号、デヴラリ、インド: ハレスワダ
• リベンボイム、パウロ（1996-02-02）、素数記録、コンピュータ、医学の新書（第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー、ISBN 978-0-387-94457-9
• イェーツ、サミュエル（1982）、Repunits and repetends、FL：デルレイビーチ、ISBN 978-0-9608652-0-8

• ワイスタイン、エリック・W.「レピュニット」。マスワールド。
• カニンガム プロジェクトの主なテーブル。
• Chris Caldwell によるThe Prime Pagesの Repunit 。
• World!Of Numbers の Repunits とその素因数。
• 少なくとも 1000 桁の 10 進数を持つ素数一般化レプユニット (Andy Steward 著)
• Repunit Primes プロジェクト Giovanni Di Maria の Repunit Primes ページ。
• 2<=b<=1024 の基数に対して、(b^​​p-1)/(b-1) かつ (b^p+1)/(b+1) となる最小の奇数素数 p はどれか。
• レプユニット数の因数分解
• -50 から 50 までの一般化されたレプユニット素数