位相群

数学において、位相群は群と位相空間の組み合わせであり、つまり群であると同時に位相空間でもあるため、群演算の連続性条件によってこれら2つの構造が結び付けられ、結果としてそれらは互いに独立していない。^[1]

位相群は1925年から1940年にかけて広く研究されてきた。ハールとヴェイユ（それぞれ1933年と1940年）は、積分とフーリエ級数が位相群の非常に広いクラスの特殊なケースであることを示した。^[2]

位相群は、連続群作用とともに、物理学などで多くの応用がある連続対称性の研究に使用されます。関数解析では、すべての位相ベクトル空間は、スカラー乗算が連続するという追加の特性を持つ加法位相群です。したがって、位相群の理論からの多くの結果は関数解析に適用できます。

位相群Gは、群演算（この場合は積）が成り立つような群でもある 位相空間です。

⋅ : G × G → G , ( x , y ) ↦ xy

そして反転マップ:

⁻¹  : G → G , x ↦ x ⁻¹

は連続である。^{[注 1]} ここでG × G は積位相を持つ位相空間とみなされる。このような位相は群演算と互換性があると言われ、群位相と呼ばれる。

連続性の確認

積写像が連続であるためには、任意のx、y ∈ GおよびG内のxyの任意の近傍Wに対して、 G内にxの近傍Uおよびyの近傍Vが存在してU ⋅ V ⊆ Wとなる必要があります。ここでU ⋅ V  := { u ⋅ v  : u ∈ U、v ∈ V }。反転写像が連続であるためには、任意のx ∈ GおよびG内のx ⁻¹の任意の近傍Vに対して、 G内にxの近傍U が存在してU ⁻¹ ⊆ Vとなる必要があります。ここでU ⁻¹  := { u ⁻¹  : u ∈ U }。

トポロジがグループ演算と互換性があることを示すには、マップが

G × G → G , ( x , y ) ↦ xy ⁻¹

は連続です。明示的には、任意のx、y ∈ Gとxy ⁻¹のG内の任意の近傍Wに対して、 G内にxの近傍Uとyの近傍Vが存在し、 U ⋅ ( V ⁻¹ ) ⊆ Wとなることを意味します。

加法表記

この定義では乗法群の表記法が使用されていますが、加法群の場合、次の 2 つの演算は連続していることになります。

+ : G × G → G , ( x , y ) ↦ x + y

− : G → G、x ↦ − x。

ハウスドルフネス

この定義の一部ではないが、多くの著者^[3]はG上の位相がハウスドルフであることを要求している。その理由の 1 つは、適切な正準商を取ることで、任意の位相群をハウスドルフ位相群に正準に関連付けることができるためである。ただし、これには元の非ハウスドルフ位相群での作業が必要になることが多い。その他の理由と、いくつかの同等の条件については以下で説明する。

この記事では、位相群が必ずしもハウスドルフ群であるとは想定しません。

カテゴリ

圏論の言語では、位相群は、通常の群が集合の圏の群オブジェクトであるのと同じように、位相空間の圏の群オブジェクトとして簡潔に定義できます。公理は写像（二項積、一項逆写像、零項恒等写像）によって与えられ、したがってカテゴリカルな定義であることに注意してください。

位相群の準同型とは、連続群準同型 G → Hを意味する。位相群は、それらの準同型とともにカテゴリを形成する。位相群間の群準同型が連続であるためには、それがある点で連続している必要がある。^[4]

位相群の同型性は、基となる位相空間の同相でもある群同型性です。これは、単に連続群同型性を要求するよりも強力です。つまり、逆も連続でなければなりません。通常の群としては同型だが、位相群としては同型ではない位相群の例があります。実際、離散的位相群はどれも、離散位相で考えると位相群でもあります。基となる群は同じですが、位相群としては同型性はありません。

離散位相で考えると、すべての群は自明に位相群になる。このような群は離散群と呼ばれる。この意味で、位相群の理論は通常の群の理論を包含する。離散位相（すなわち自明な位相）もすべての群を位相群にする。

実数は、通常の位相で、加法のもとで位相群を形成します。 ユークリッドn空間ⁿも加法のもとで位相群であり、より一般的には、すべての位相ベクトル空間は(アーベル) 位相群を形成します。アーベル位相群の他の例としては、円群S ¹や、任意の自然数nに対するトーラス( S ¹ ) ^{n など}があります。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

古典群は、非可換位相群の重要な例です。たとえば、実数要素を持つすべての可逆なn行n列行列の一般線型群 GL( n , )は、 ${\displaystyle \mathbb {R} }$GL( n , )をユークリッド空間^{n × n}の部分空間と見なすことによって定義される位相を持つ位相群と見なすことができます。もう 1 つの古典群は直交群O( n )で、これはすべてのベクトルの長さを保存するⁿからそれ自身へのすべての線型写像の群です。直交群は位相空間としてはコンパクトです。ユークリッド幾何学の大部分は、直交群、または密接に関連したⁿの等長写像の群O ( n ) ⋉ ⁿの構造を研究することと見なすことができます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

これまで述べた群はすべてリー群です。つまり、群演算が連続的であるだけでなく滑らかであるような滑らかな多様体です。リー群は最もよく理解されている位相群です。リー群に関する多くの疑問は、リー代数に関する純粋に代数的な疑問に変換して解決することができます。

リー群ではない位相群の例としては、有理数の加法群があり、位相は から継承されています。これは可算空間であり、離散位相を持ちません。数論の重要な例は、素数pに対するp進整数の群_pです。これは、 n が無限大に近づくにつれて有限群/ p ⁿの逆極限を意味します。群_{p は}コンパクト (実際、カントール集合に同相) であるという点で適切に動作しますが、完全に分離されているという点で (実) リー群とは異なります。より一般的には、 p進リー群の理論があり、これにはGL( n , _p )などのコンパクト群やGL( n , _p )などの局所コンパクト群が含まれます。ここで、_{p は}p進数の局所コンパクト体です。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

群_pは、積の部分群と同型であり、その位相は積位相によって誘導され、有限群には離散位相が与えられます。数論で重要な、もう一つの大きな種類の積有限群は、絶対ガロア群です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \prod _{n\geq 1}\mathbb {Z} /p^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}}$

いくつかの位相群は、無限次元リー群と見なすことができます。このフレーズは、いくつかの異なる例の族を含むように非公式に理解するのが最適です。たとえば、バナッハ空間やヒルベルト空間などの位相ベクトル空間は、加法の下でアーベル位相群です。成功の度合いはさまざまですが、これまでに研究されてきたその他の無限次元群には、ループ群、カッツ・ムーディ群、微分同相群、同相群、ゲージ群などがあります。

乗法単位元を持つすべてのバナッハ代数において、可逆な元の集合は乗法の下で位相群を形成します。たとえば、ヒルベルト空間上の 可逆な有界演算子の群はこのようにして生じます。

あらゆる位相群の位相は平行移動不変 であり、これは定義により、 に対してこの元による任意の左または右の乗算が同相写像を与えること 。したがって、任意の および に対して、部分集合開（それぞれ閉）となるおよび右平行移動についてこれが真である場合に限ります。群における単位元の近傍基底である 場合、すべて に対して は^[4]における の近傍基底である 。特に、位相群上の任意の群位相は、単位元における任意の近傍基底によって完全に決定される。 が の任意の部分集合であり がの開部分集合ではの開部分集合である^[4]${\displaystyle a\in G,}$${\displaystyle G\to G.}$${\displaystyle a\in G}$${\displaystyle S\subseteq G,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle aS:=\{as:s\in S\}}$${\displaystyle Sa:=\{sa:s\in S\}.}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x{\mathcal {N}}:=\{xN:N\in {\mathcal {N}}\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle U}$${\displaystyle G,}$${\displaystyle SU:=\{su:s\in S,u\in U\}}$${\displaystyle G.}$

位相群上の反転演算は、 から自身への 同相写像です。${\displaystyle g\mapsto g^{-1}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

部分集合が対称であるとは、次の条件を満たすときである。 可換位相群におけるすべての対称集合の閉包は対称である。^[4] S が可換位相群Gの任意の部分集合である 場合、次の集合も対称である: S ⁻¹ ∩ S、S ⁻¹ ∪ S、およびS ⁻¹ S。^[4]${\displaystyle S\subseteq G}$${\displaystyle S^{-1}=S,}$${\displaystyle S^{-1}:=\left\{s^{-1}:s\in S\right\}.}$

単位元の可換位相群Gの任意の近傍Nに対して、単位元の対称近傍M が存在し、 M ⁻¹ M ⊆ Nとなります。ここで、 M ⁻¹ M は必ず単位元の対称近傍となることに注意してください。 ^[4] したがって、すべての位相群は、対称集合からなる単位元での近傍基底を持ちます。

Gが局所コンパクト可換群である場合、 Gの単位元の任意の近傍Nに対して、単位元の対称相対コンパクト近傍Mが存在し、clM⊆N（ここでclMも対称である）となる。^[4]

すべての位相群は、 2つの方法で一様空間として見ることができます。左一様性は、すべての左乗法を一様連続写像に変換し、右一様性は、すべての右乗法を一様連続写像に変換します。^[5] Gがアーベルでない 場合、これら2つは一致する必要はありません。一様構造により、位相群の完全性、一様連続性、一様収束などの概念について話すことができます。

Uが可換位相群Gの開集合であり、Uがコンパクト集合Kを含む場合、 KN⊆Uとなるような単位元の近傍Nが存在する。 [ ^4]

均一空間として、すべての可換位相群は完全に正則である。したがって、単位元が1である乗法位相群Gに対して、以下は同値である：^[4]

1. GはT ₀空間（コルモゴロフ）である。
2. GはT ₂空間（ハウスドルフ）である。
3. GはT _{3 1 ⁄ 2}（ティコノフ）である。
4. { 1 }はGで閉じている。
5. { 1 } :=∩N∈𝒩 N、ただし𝒩 はGの単位元の近傍基数である。
6. に対して、単位元Gの近傍Uが存在し、${\displaystyle x\in G}$${\displaystyle x\neq 1,}$${\displaystyle x\not \in U.}$

可換位相群の部分群が離散的であるための必要十分条件は、それが孤立点を持つ場合である。^[4]

Gがハウスドルフ群でない場合、商群G / K（ここでK は恒等式の閉包）を通過することでハウスドルフ群を得ることができます。[ 6 ^]これはGのコルモゴロフ商 を取ることと同等です。

G を位相群とする。他の位相空間と同様に、 Gが計量可能であるのは、 G上に計量d が存在し、それが 上に同じ位相を誘導する場合のみである。G上の計量dは ${\displaystyle G}$

• すべての に対して（それぞれ）である場合に限り、左不変（それぞれ右不変）です（同様に、のそれぞれに対して から 自身への写像が等長写像である場合に限り、 は左不変です）。${\displaystyle d(ax_{1},ax_{2})=d(x_{1},x_{2})}$${\displaystyle d(x_{1}a,x_{2}a)=d(x_{1},x_{2})}$${\displaystyle a,x_{1},x_{2}\in G}$${\displaystyle d}$${\displaystyle x\mapsto ax}$${\displaystyle (G,d)}$${\displaystyle a\in G}$
• 適切なのは、のときのすべての開球が前コンパクトである場合に限ります。${\displaystyle B(r)=\{g\in G\mid d(g,1)<r\}}$${\displaystyle r>0}$

バーコフ・角谷定理（数学者ギャレット・バーコフと角谷静夫にちなんで名付けられた）は、位相群G上の次の3つの条件が同値であることを述べている。^[7]

1. Gは (ハウスドルフかつ )第一に可算である(つまり、単位元 1 はGで閉じており、Gには 1 の近傍の可算な基底が存在する)。
2. G は距離化可能である（位相空間として）。
3. G上には、 G上の与えられた位相を誘導する左不変計量が存在する。
4. G上には、 G上の与えられた位相を誘導する右不変メトリックが存在する。

さらに、任意の位相群Gに対して以下は同値である。

1. G は第 2 の可算な 局所コンパクト(ハウスドルフ) 空間です。
2. Gはポーランド空間、局所コンパクト(ハウスドルフ) 空間です。
3. G は（位相空間として）適切に距離化可能である。
4. G上には左不変の適切な計量があり、これによってG上に与えられた位相が誘導されます。

注:この記事の残りの部分と同様に、ここではハウスドルフ位相を仮定します。 4 3 2 1 という含意は、任意の位相空間で成り立ちます。特に 3 2 が成り立ちます。これは、特に任意の適切に距離化可能な空間が、コンパクト距離化可能で、したがって可分な (コンパクト距離空間の特性を参照) 部分集合の可算和であるためです。 1 4 という非自明な含意は、1974 年に Raimond Struble によって初めて証明されました。 ^{[8] 2006 年に}Uffe Haagerupと Agata Przybyszewskaによって別のアプローチが提案されました。 ^{[9]の のアイデアは次のとおりです。}最初の可算空間の場合のように、 左不変距離 の構築に依存します。局所コンパクト性により、十分に小さい半径の閉じた球体はコンパクトであり、正規化により、これは半径 1 に対しても成り立つと仮定できます。半径 1 の開いた球体Uを乗法で閉じると、 Gの閉開部分群Hが生成され、その上で計量が適切になります。Hは開であり、Gは第 2 可算であるため、部分群には最大で可算個の剰余類が含まれます。この剰余類のシーケンスとH上の計量を使用して、 G上の適切な計量を構築します。 ${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle d_{0}}$${\displaystyle d_{0}}$

位相群のすべての部分群は、部分空間位相が与えられた場合、それ自体が位相群である。 H の補集合は、 g ∈ G \ H に対して開集合 gH の和集合によって与えられる開集合であるため、すべての開部分群 H は G においても閉じている。HがGの部分群である場合、Hの閉包も部分群である。同様に、H がGの正規部分群である場合、 Hの閉包はGにおいて正規である。

H がGの部分群である場合、商位相を持つ左剰余類 の集合G / H はGの同次空間と呼ばれる。商写像は常に開である。例えば、正の整数nに対して、球面S ^{n はn +1}の回転群SO( n +1)の同次空間であり、S ⁿ = SO( n +1)/SO( n )である。同次空間G / Hがハウスドルフであるための必要十分条件は、H がGで閉じていることである。^[10] この理由もあって、位相群を研究するときは閉じた部分群に集中するのが自然である。 ${\displaystyle q:G\to G/H}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

H がGの正規部分群である場合、商群G / Hは商位相が与えられたときに位相群になる。H が G で閉じている場合に限り、それはハウスドルフである。たとえば、商群は円群S ¹と同型である。 ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$

任意の位相群において、単位元成分（すなわち、単位元を含む連結成分）は閉じた正規部分群である。Cが単位元でaがGの任意の点である場合、左剰余類aC はa を含むGの成分である。したがって、 GにおけるCのすべての左剰余類（または右剰余類）の集合は、Gのすべての成分の集合に等しい。したがって、商群G / C は完全に不連結である。^[11]

任意の可換位相群において、コンパクト集合Kと閉集合Cの積 KC は（群が乗法的であると仮定して）閉集合である。^{[4]さらに、} Gの 任意の部分集合RとSに対して、(cl R )(cl S ) ⊆ cl ( RS )である。^[4]

H が可換位相群Gの部分群であり、N がG内の単位元の近傍でH ∩ cl Nが閉じている場合、Hは閉じています。^[4] ハウスドルフ可換位相群のすべての離散部分群は閉じています。^[4]

通常の群論の同型定理は、位相的な設定では必ずしも正しいとは限りません。これは、全単射準同型が位相群の同型である必要がないためです。

たとえば、最初の同型定理のネイティブ バージョンは、位相群に対しては偽です。 が位相群の射 (つまり、連続準同型) である場合、誘導準同型が位相群の同型であるとは限りません。誘導準同型は、全単射で連続準同型になりますが、必ずしも同相になるわけではありません。言い換えると、位相群の カテゴリで逆を必ずしも許容しません。${\displaystyle f:G\to H}$${\displaystyle {\tilde {f}}:G/\ker f\to \mathrm {Im} (f)}$

位相群に対する第一同型定理のバージョンがあり、それは次のように述べられる：が連続準同型である場合、G /ker( f )からim( f )への誘導準同型は、写像fがその像に開いている場合に限り同型である。 ^[12]${\displaystyle f:G\to H}$

しかし、3 番目の同型定理は、簡単に確認できるように、位相群に対してほぼそのまま当てはまります。

位相群とリー群の関係については、いくつかの強力な結果があります。まず、リー群の連続準同型はすべて滑らかです。したがって、位相群は、存在する場合、リー群の唯一の構造を持ちます。また、カルタンの定理によれば、リー群のすべての閉じた部分群はリー部分群、特に滑らかな部分多様体です。 ${\displaystyle G\to H}$

ヒルベルトの第 5 問題は、位相多様体である位相群G は必ずリー群であるかどうかを問うものでした。言い換えると、 G は滑らかな多様体の構造を持ち、群の演算が滑らかになるでしょうか。アンドリュー・グリーソン、ディーン・モンゴメリー、レオ・ジッピンによって示されたように、この問題の答えは「はい」です。 ^[13] 実際、 G は実解析構造を持ちます。滑らかな構造を使用して、 Gのリー代数を定義できます。リー代数は、被覆空間までの連結群Gを決定する線型代数の対象です。結果として、ヒルベルトの第 5 問題の解決により、位相多様体である位相群の分類が、一般には複雑な問題ではありますが、代数問題に還元されます。

この定理は、より広いクラスの位相群にも影響を与えます。まず、すべてのコンパクト群(ハウスドルフ群と理解される) は、コンパクト リー群の逆極限です。(重要なケースの 1 つは、有限群の逆極限で、プロ有限群と呼ばれます。たとえば、 p進整数の群_pと体の絶対ガロア群は、プロ有限群です。) さらに、すべての連結した局所コンパクト群は、連結したリー群の逆極限です。^[14] もう一方の極限では、完全に切断された局所コンパクト群には常にコンパクト開部分群が含まれ、これは必然的にプロ有限群です。^[15] (たとえば、局所コンパクト群GL( n , _p )にはコンパクト開部分群GL( n , _p )が含まれます。これは、 r ' が無限大に近づくにつれて、有限群GL( n , / p ^r )の逆極限です。) ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

位相群Gの位相空間Xへの作用は、対応する関数G × X → Xが連続するようなGのXへの群作用です。同様に、位相群Gの実数または複素位相ベクトル空間Vへの表現は、各g ∈ Gに対して、 Vからそれ自体への写像v ↦ gvが線型であるようなGのVへの連続作用です。

群作用と表現論はコンパクト群について特によく理解されており、有限群で起こることを一般化している。例えば、コンパクト群のすべての有限次元（実または複素）表現は、既約表現の直和である。コンパクト群の無限次元ユニタリ表現は、すべて有限次元である既約表現のヒルベルト空間直和として分解することができ、これはピーター・ワイルの定理の一部である。^{[16]例えば、}フーリエ級数 理論は、複素ヒルベルト空間L ² ( S ¹ )上の円周群S ¹のユニタリ表現の分解を記述する。 S ¹の既約表現はすべて 1 次元であり、整数nに対してz ↦ z ^{n の}形式をとる（ここでS ^{1 は}乗法群 * の部分群とみなされる）。これらの表現はそれぞれ、 L ² ( S ¹ )において重複度 1 で現れる。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

すべてのコンパクト連結リー群の既約表現は分類されている。特に、各既約表現の性格はワイル性格公式によって与えられる。

より一般的には、局所コンパクト群はハール測度によって与えられる自然な測度と積分の概念を許容するため、調和解析の豊富な理論を持つ。局所コンパクト群のすべてのユニタリ表現は、既約ユニタリ表現の直接積分として記述できる。（ Gがタイプ Iの場合、分解は本質的に一意であり、これにはアーベル群や半単純リー群などの最も重要な例が含まれる。^[17]）基本的な例はフーリエ変換であり、これはヒルベルト空間L ² ( )への加法群の作用を の既約ユニタリ表現の直接積分として分解する。 の既約ユニタリ表現はすべて 1 次元で、 a ∈に対してx ↦ e ^{2π iax}の形をとる。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

局所コンパクト群の既約ユニタリ表現は無限次元になることがある。表現論の主な目標は、許容表現のラングランズ分類に関連して、半単純リー群のユニタリ双対（すべての既約ユニタリ表現の空間）を見つけることである。ユニタリ双対は、 SL(2, )などの多くの場合で知られているが、すべてではない。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

局所コンパクトアーベル群 Gの場合、すべての既約ユニタリ表現は次元 1 を持ちます。この場合、ユニタリ双対は群であり、実際には別の局所コンパクトアーベル群です。 ポントリャーギン双対性は、局所コンパクトアーベル群Gの場合、の双対は元の群Gであると述べます。たとえば、整数の双対群は円周群S ¹であり、実数の 群は自身の双対と同型です。${\displaystyle {\hat {G}}}$${\displaystyle {\hat {G}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

あらゆる局所コンパクト群Gには、既約なユニタリ表現が豊富に存在します。たとえば、Gの点を区別するのに十分な表現があります(ゲルファンド-ライコフの定理)。対照的に、局所コンパクトでない位相群の表現論は、これまで特殊な状況でのみ発展しており、一般論を期待するのは合理的ではないかもしれません。たとえば、ヒルベルト空間上のすべての表現が自明であるアーベルバナッハ-リー群は数多くあります。 ^[18]

位相群は、ホモトピー型の観点から見ても、すべての位相空間の中で特別である。基本的な点の1つは、位相群G がパス連結位相空間、分類空間 BG （これは、緩い仮定の下で、位相空間上の主要なGバンドルを分類する）を決定することである。群Gは、ホモトピーカテゴリにおいてBGのループ空間に同型である。これは、 Gのホモトピー型にさまざまな制限があることを意味する。^{[19]これらの制限のいくつかは、} H-空間 のより広い文脈で有効である。

例えば、位相群Gの基本群はアーベル群である。（より一般的には、Gのホモトピー群上のホワイトヘッド積は0 である。）また、任意の体kに対して、コホモロジー環H *( G , k ) はホップ代数の構造を持つ。ハインツ・ホップとアルマン・ボレルによるホップ代数の構造定理を考慮すると、これは位相群の可能なコホモロジー環に強い制限を課す。特に、Gがパス連結位相群であり、その有理コホモロジー環H *( G , )が各次数で有限次元である場合、この環は上の自由次数可換代数、つまり偶数次数の生成元上の多項式環と奇数次数の生成元上の外積代数のテンソル積でなければならない。^[20]${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

特に、連結リー群Gに対して、 Gの有理コホモロジー環は奇数次生成子上の外積代数である。さらに、連結リー群Gは共役を除いて一意である最大コンパクト部分群 Kを持ち、KをGに含めることはホモトピー同値である。したがって、リー群のホモトピー型の記述は、コンパクトリー群の場合に帰着する。たとえば、SL(2, )${\displaystyle \mathbb {R} }$の最大コンパクト部分群は円周群SO(2)であり、等質空間SL(2, )/SO(2)は${\displaystyle \mathbb {R} }$双曲平面と同一視できる。双曲平面は収縮可能であるため、円周群をSL(2, )${\displaystyle \mathbb {R} }$に含めることはホモトピー同値である。

最後に、コンパクト連結リー群は、ヴィルヘルム・キリング、エリー・カルタン、ヘルマン・ワイルによって分類されました。その結果、リー群の可能なホモトピー型について本質的に完全な記述が行われました。たとえば、最大 3 次元のコンパクト連結リー群は、トーラス、群SU(2) ( 3 次元球面S ³に微分同相)、またはその商群SU(2)/{±1} ≅ SO(3) ( RP ³に微分同相) のいずれかです。

ネットとフィルターの収束に関する情報（定義やプロパティなど）については、トポロジのフィルターに関する記事を参照してください。

この記事は、今後、我々が考える位相群は単位元を持つ加法可換位相群であると仮定する。${\displaystyle 0.}$

の対角線は集合であり 、その周りの標準的な周囲または標準的な近傍を含む任意のものに対しては集合である。 ${\displaystyle X}$$${\displaystyle \Delta _{X}:=\{(x,x):x\in X\}}$$${\displaystyle N\subseteq X}$${\displaystyle 0,}$${\displaystyle N}$$${\displaystyle \Delta _{X}(N):=\{(x,y)\in X\times X:x-y\in N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times \{y\}]=\Delta _{X}+(N\times \{0\})}$$

位相群の標準一様性^[21]は、すべての標準的周囲をすべての近傍にわたる範囲として集合に誘導される一様構造である。${\displaystyle (X,\tau ),}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Delta (N)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X.}$

つまり、それは、このプレフィルタが標準的な均一性の 環境のベースとして知られるものを形成する場所で、次のプレフィルタの上方閉鎖です。${\displaystyle X\times X,}$ $${\displaystyle \left\{\Delta (N):N{\text{ is a neighborhood of }}0{\text{ in }}X\right\}}$$

可換加法群について、ある基本的な環境系が並進不変な一様性を持つとは、任意の環境系に対して成り立つこと、またすべての環境系に対して成り立つことのいずれの場合にも成り立つことをいう。一様性は、並進不変な環境系の基底を持つ場合、並進不変と呼ばれる。[ ^22]${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle (x,y)\in B}$${\displaystyle (x+z,y+z)\in B}$${\displaystyle x,y,z\in X.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

• 任意の可換位相群上の標準均一性は変換不変です。
• 原点のすべての近傍のフィルターではなく、原点の近傍基数を使用することで、同じ標準的な均一性が得られます。
• すべての周囲には対角線が含まれている。${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$${\displaystyle \Delta _{X}:=\Delta _{X}(\{0\})=\{(x,x):x\in X\}}$${\displaystyle 0\in N.}$
• が対称（つまり）ならは対称（つまり）であり、 ${\displaystyle N}$${\displaystyle -N=N}$${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$${\displaystyle \Delta _{X}(N)^{\operatorname {op} }=\Delta _{X}(N)}$${\displaystyle \Delta _{X}(N)\circ \Delta _{X}(N)=\{(x,z):{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}x,z\in y+N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times (y+N)]=\Delta _{X}+(N\times N).}$
• 標準一様性によってに誘導される位相はから始まる位相と同じです(つまり です)。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau }$

均一空間の一般理論には、「コーシー前置フィルタ」と「コーシー ネット」の独自の定義があります。これらの標準的な均一性は、以下に説明する定義に簡略化されます。 ${\displaystyle X,}$

がのネットでがのネットであると仮定します。 を と宣言して有向集合を作成します。の場合に限り と宣言すると、 ^{[23] は}積ネットを表します。の場合、このネットの加算写像による像は、これら 2 つのネットの 和を表します。 同様に、それらの差は、減算写像による積ネットの像として定義されます。 ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{j}\right)_{j\in J}}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle I\times J}$${\displaystyle (i,j)\leq \left(i_{2},j_{2}\right)}$${\displaystyle i\leq i_{2}{\text{ and }}j\leq j_{2}.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\times y_{\bullet }:=\left(x_{i},y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$${\displaystyle X=Y}$${\displaystyle X\times X\to X}$$${\displaystyle x_{\bullet }+y_{\bullet }:=\left(x_{i}+y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$$$${\displaystyle x_{\bullet }-y_{\bullet }:=\left(x_{i}-y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}.}$$

加法的位相群内のネットは 、^[24]または同等に、内の任意の近傍 に対して、任意 のインデックスに対して${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0{\text{ in }}X}$$${\displaystyle N}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle i_{0}\in I}$${\displaystyle x_{i}-x_{j}\in N}$${\displaystyle i,j\geq i_{0}.}$

コーシー列は列であるコーシー ネットです。

が加法群の部分集合であり、がを含む集合である場合、が-小さい集合または位数が小さい集合であると言われるのは、^[25]${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle 0,}$${\displaystyle B}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle B-B\subseteq N.}$

加法位相群上のプレフィルターは、次の同等の条件のいずれかを満たす場合、 コーシー プレフィルターと呼ばれます。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0}$プレフィルターがある場所です。${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}:=\{B-C:B,C\in {\mathcal {B}}\}}$
2. ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0}$ここで、プレフィルタは${\displaystyle X,}$${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}.}$
3. における の任意の近傍には何らかの-小集合が含まれる（つまり、となるようなが存在する）。^[25]${\displaystyle N}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle B-B\subseteq N}$

が可換であれば、次のようになります。 ${\displaystyle X}$

4. の任意の近傍に対して、とが存在し、^[25]${\displaystyle N}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle B\subseteq x+N.}$

• 上記の条件のいずれかを、任意の近傍基準でチェックするだけで十分です。${\displaystyle 0}$${\displaystyle X.}$

が可換位相群上のプレフィルタであり、がコーシーである場合に限り、がである。^[23]${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in \operatorname {cl} {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

任意の に対してのプレフィルタは必ず のサブセットになることを思い出してください。つまり、${\displaystyle S\subseteq X,}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle \wp (S)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S).}$

位相群の部分集合は、次の同等の条件のいずれかを満たす場合、 完全部分集合と呼ばれます。${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

1. 上のすべてのコーシー前置フィルタは、少なくとも1つの点に収束します。${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S)}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
   • がハウスドルフである場合、 上のすべてのプレフィルタはの最大 1 つの点に収束します。しかし、 がハウスドルフでない場合、プレフィルタは 内の複数の点に収束する可能性があります。ネットについても同じことが言えます。${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
2. のすべてのコーシーネットはの少なくとも 1 つの点に収束します。${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$
3. 上のすべてのコーシーフィルタは、少なくとも1つの点に収束します。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$
4. ${\displaystyle S}$は、の標準的な一様性によってその上に誘導される一様性が備わっているとき、完全一様空間である（点集合位相の「完全一様空間」の定義による）。${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

部分集合が連続完全部分集合と呼ばれるのは、 のすべてのコーシー列（または同等に、 のすべての基本コーシーフィルタ/プレフィルタ）が の少なくとも1つの点に収束する場合です。${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$

• 重要なのは、の外側での収束が許されるということです${\displaystyle S}$。 がハウスドルフでなく、上のすべてのコーシー前置フィルタがの何らかの点に収束する場合、 上のコーシー前置フィルタの一部またはすべてがの補集合内の点にも収束しても は完全になります。つまり、 上のこれらのコーシー前置フィルタが内の点にのみ収束するという要件はありません。 のコーシーネットの収束についても同じことが言えます。${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\setminus S.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S.}$
  • 結果として、可換位相群がハウスドルフでない場合、たとえばの閉包のすべての部分集合は完全です（ は明らかにコンパクトであり、すべてのコンパクト集合は必然的に完全であるため）。したがって特に、（たとえば、が のような単集合である場合）の場合、 のすべてのコーシーネット（および のすべてのコーシープレフィルタ）が のすべての点（にない の点を含む）に収束するとしても、 は完全になります。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\},}$${\displaystyle S\subseteq \operatorname {cl} \{0\},}$${\displaystyle S\neq \varnothing }$${\displaystyle S}$${\displaystyle S=\{0\}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {cl} \{0\}}$${\displaystyle \operatorname {cl} \{0\}}$${\displaystyle S}$
  • この例は、非ハウスドルフ空間の完全な部分集合（実際にはコンパクトな部分集合でさえも）が閉じられない場合があることも示しています（たとえば、の場合、 が閉じているのは の場合のみ）。${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} \{0\}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S=\operatorname {cl} \{0\}}$