レギュラープライム

数学における未解決の問題:

正素数は無限に存在するか？もし存在するなら、それらの相対密度は？${\displaystyle e^{-1/2}}$

（数学における未解決の問題がさらに増える）

数論において、正素数は特別な種類の素数であり、フェルマーの最終定理の特定のケースを証明するために 1850 年にエルンスト・クンマーによって定義されました。正素数は、類数またはベルヌーイ数の割り切れる数によって定義できます。

最初のいくつかの正規奇数素数は次のとおりです。

3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、41、43、47、53、61、71、73、79、83、89、97、107、109、113、127、137、139、151、163、167、173、179、181、191、193、197、199、...（OEISの配列A007703 ）。

1850年、クンマーはフェルマーの最終定理が指数pが正則であれば成り立つことを証明した。これにより不規則な素数に注目が集まった。^[1] 1852年、ジェノッキはフェルマーの最終定理の最初のケースが指数pに対して成り立つのは、 ( p , p − 3)が不規則な素数ペアでない場合であることを証明した。クンマーは1857年にこれをさらに改良し、フェルマーの最終定理の「最初のケース」(ソフィー・ジェルマンの定理を参照) では、( p , p − 3)または( p , p − 5)のいずれかが不規則な素数ペアではないこと を証明すれば十分であることを示した。

（（p、2k ）は、 pが2kにおいて以下で説明する特定の条件が実現されることにより不規則となる場合、不規則ペアである。）

クマーは 165 未満の不規則素数を発見した。1963 年にレーマーは 10000 までの結果を報告し、セルフリッジとポラックは 1964 年に 25000 までの不規則素数の表を完成させたと発表した。後者の 2 つの表は印刷物には掲載されなかったが、ジョンソンは( p , p − 3) がp = 16843のときに実は不規則な素数ペアであり、これがp < 30000のときに発生する最初で唯一の例であることを発見した。^{[2] 1993 年には、次にこれが発生するのは}p = 2124679のときであることがわかった。ウォルステンホルム素数を参照。^[3]

奇数の素数p は、 p次円分体Q ( ζ _p )の類数を割り切らない場合、正則であると定義されます。ここで、 ζ _{p は}原始p次根です。

素数 2 も正数であると考えられることが多いです。

円分体の類数は、同値性を除く整数環 Z ( ζ p ) のイデアルの数です。2つのイデアルI 、 Jは_、 Q ( ζ p )に非ゼロ_のuがあり、 I = uJである場合に同値であるとみなされます。これらの類数の最初のいくつかは、 OEIS : A000927に記載されています。

エルンスト・クンマー（Kummer 1850）は、正則性の同等の基準は、 k = 2、4、6、...、p − 3のいずれに対してもpがベルヌーイ数 Bk_の分子を割り切れないことであることを示した。

これが類数定義と同等であるというクンマーの証明は、 p がこれらのベルヌーイ数の分子を割った場合 の特定の結果を述べたエルブラン・リベットの定理によって強化されます。

正則な素数は無限に存在すると推測されている。より正確には、カール・ルートヴィヒ・シーゲル （1964）は、自然密度の漸近的な意味で、すべての素数のe ^−1/2 、つまり約 60.65% が正則であると推測した。

クンマーの基準を用いると、ベルヌーイ数 の分子の1つが素数で割り切れない確率は ${\displaystyle B_{k}}$${\displaystyle k=2,\dots ,p-3}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\dfrac {p-1}{p}}}$

したがって、これらのベルヌーイ数の分子のいずれも素数で割り切れない確率は ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \left({\dfrac {p-1}{p}}\right)^{\dfrac {p-3}{2}}=\left(1-{\dfrac {1}{p}}\right)^{\dfrac {p-3}{2}}=\left(1-{\dfrac {1}{p}}\right)^{-3/2}\cdot \left\lbrace \left(1-{\dfrac {1}{p}}\right)^{p}\right\rbrace ^{1/2}}$。

E_(mathematical_constant)により、

${\displaystyle \lim _{p\to \infty }\left(1-{\dfrac {1}{p}}\right)^{p}={\dfrac {1}{e}}}$

確率は

${\displaystyle \lim _{p\to \infty }\left(1-{\dfrac {1}{p}}\right)^{-3/2}\cdot \left\lbrace \left(1-{\dfrac {1}{p}}\right)^{p}\right\rbrace ^{1/2}=e^{-1/2}\approx 0.606531}$。

約個の素数が偶然に正則となる。Hart et al. ^{[4] は、}個未満の素数が偶然に正則となることを示している。 ${\displaystyle 60.6531\%}$${\displaystyle 60.6590\%}$${\displaystyle 2^{31}=2,147,483,648}$

正規でない奇数の素数は不規則素数（または、以下で説明する他の種類の不規則性と区別するためにベルヌーイ不規則素数または B 不規則素数とも呼ばれます）です。最初のいくつかの不規則素数は次のとおりです。

37、59、67、101、103、131、149、157、233、257、263、271、283、293、307、311、347、353、379、389、401、409、421、433、461、463、467、491、523、541、547、557、577、587、593、...（OEISのシーケンスA000928）

KLジェンセン（ニールセンの弟子^{[5] ）は1915年に}4n +3の形の不規則素数が無限に存在することを証明した。 [ ^6] 1954年にカーリッツは、不規則素数が一般に無限に存在するというより弱い結果の簡単な証明を与えた。^[7]

メッツァンキュラは1971年に、任意の整数T > 6に対して、 mT + 1やmT − 1の形ではない不規則な素数が無限に存在することを証明し^[8]、後にこれを一般化した^{[9] 。}

p が不規則素数であり、pが0 < 2 k < p − 1に対してベルヌーイ数B _{2 k}の分子を割り切る場合、( p , 2 k ) は不規則ペアと呼ばれます。言い換えると、不規則ペアは、不規則素数pについて、規則性が失われるベルヌーイ数の特定のインデックスを記録する簿記デバイスです。最初のいくつかの不規則ペア ( kで順序付けた場合) は次のとおりです。

(691, 12)、(3617, 16)、(43867, 18)、(283, 20)、(617, 20)、(131, 22)、(593, 22)、(103, 24)、(2294797, 24)、(657931, 26)、(9349, 28)、(362903, 28)、... ( OEISの配列A189683 )。

n次の不規則素数がB _kを割り切る最小の偶数kは

32、44、58、68、24、22、130、62、84、164、100、84、20、156、88、292、280、186、100、200、382、126、240、366、196、130、94、292、400、86、270、222、52、90、22、...（OEISのシーケンスA035112）

与えられた素数pに対して、そのようなペアの数はpの不規則性指数と呼ばれます。^[10] したがって、素数が規則的であるためには、その不規則性指数がゼロである必要があります。同様に、素数が不規則であるためには、その不規則性指数が正である必要があります。

( p , p − 3)は、 p = 16843の場合もp = 2124679の場合も、実際には不規則なペアであることが判明しました。 p < 10 ⁹の場合は、これ以上の出現はありません。

奇数の素数p が不規則指数 n を 持つのは、p がB _{2 k}を割り切るkの値がn個あり、これらのkが( p − 1)/2より小さい場合のみです。不規則指数が 1 より大きい最初の不規則素数は157で、これはB ₆₂とB ₁₁₀を割り切るため、不規則指数 2 を持ちます。明らかに、正則素数の不規則指数は 0 です。

n番目の素数 の不規則指数は

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, ... ( n = 2 またはプライム = 3 から開始) (シーケンスA091888はOEIS )

n番目の不規則素数の不規則指数は

1、1、1、1、1、1、1、2、1、1、1、1、1、1、1、1、2、2、1、1、1、1、1、1、1、2、3、1、1、2、1、1、2、1、1、2、1、1、1、3、1、2、3、1、1、2、1、1、2、1、1、2、1、1、1、3、1、2、3、1、1、2、1、1、2、1、1、1、1、1、1、2、1、1、1、1、1、1、2、1、1、1、1、1、1、1、2、1、1、1、1、1、1、1、1、1、2、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、1、3、1、1、1、... (OEISのシーケンスA091887 )

不規則な指数1を持つ素数は

37、59、67、101、103、131、149、233、257、263、271、283、293、307、311、347、389、401、409、421、433、461、463、523、 541、557、577、593、607、613、619、653、659、677、683、727、751、757、761、773、797、811、821、827、839、877、881、 887、953、 971、...（OEISの配列A073276）

不規則な指数2を持つ素数は

157、353、379、467、547、587、631、673、691、809、929、1291、1297、1307、1663、1669、1733、1789、1933、1997、2003、2087、2273、2309、2371、2383、2423、2441、2591、2671、2789、2909、2957、...（OEISのシーケンスA073277）

不規則な指数3を持つ素数は

491、617、647、1151、1217、1811、1847、2939、3833、4003、4657、4951、6763、7687、8831、9011、10463、10589、12073、13217、14533、14737、14957、15287、15787、15823、16007、17681、17863、18713、18869、...（OEISのシーケンスA060975）

不規則な指数nを持つ最小の素数は

2、3、37、157、491、12613、78233、527377、3238481、...（OEISのシーケンスA061576）（このシーケンスは、「2の不規則なインデックス」を-1と定義し、n = -1から始まります。）

同様に、オイラー不規則素数（またはE不規則素数）は、 0 < 2 n ≤ p − 3のオイラー数E _{2 n}を少なくとも1つ割り切る素数pとして定義できます。最初のいくつかのオイラー不規則素数は次のとおりです。

19、31、43、47、61、67、71、79、101、137、139、149、193、223、241、251、263、277、307、311、349、353、359、373、379、419、433、461、463、491、509、541、563、571、577、587、...（OEISのシーケンスA120337）

オイラーの不規則ペアは

(61, 6)、(277, 8)、(19, 10)、(2659, 10)、(43, 12)、(967, 12)、(47, 14)、(4241723, 14)、(228135437) 、16)、(79、18)、(349、18)、 (84224971, 18)、(41737, 20)、(354957173, 20)、(31, 22)、(1567103, 22)、(1427513357, 22)、(2137, 24)、(111691689741601, 24)、 (67, 26)、(61001082228255580483、 26)、(71、28)、(30211、28)、(2717447、28)、(77980901、28)、...

ヴァンディバーは1940年にフェルマーの最終定理（x ^p + y ^p = z ^p）は、 pがオイラー正則ならばgcd( xyz , p ) = 1となる整数x、y、zに対して解が存在しないことを証明した。ガットは、 pのE-不規則性指数が5未満の場合にはx ^{2 p} + y ^{2 p} = z ^{2 pは}解が存在しないことを証明した^。[11]

E 不規則素数は無限に存在することが証明されました。さらに強力な結果が得られました。8 を法として 1 に一致するE 不規則素数は無限に存在するということです。クンマーの B 正則素数の場合と同様に、E 正則素数が無限に存在するという証明はまだありませんが、これは真実である可能性が高いようです。

素数pは、B-不規則かつE-不規則であるとき、強不規則素数と呼ばれます（ pで割り切れるベルヌーイ数とオイラー数の指数は同じでも異なっていてもかまいません）。最初のいくつかの強不規則素数は次のとおりです。

67、101、149、263、307、311、353、379、433、461、463、491、541、577、587、619、677、691、751、761、773、811、821、877、887、929、971、1151、1229、1279、1283、1291、1307、1319、1381、1409、1429、1439、...（OEISのシーケンスA128197）

強い不規則素数pに対するフェルマーの最終定理を証明するのはより困難です ( Kummer はB 正則素数に対するフェルマーの最終定理の最初のケースを証明し、Vandiver はE 正則素数に対するフェルマーの最終定理の最初のケースを証明しました)。最も難しいのは、p が強い不規則素数であるだけでなく、2 p + 1、4 p + 1 、 8 p + 1 、 10 p + 1 、 14 p + 1 、および 16 p + 1 もすべて合成数であることです (Legendre は、 2 p + 1、4 p + 1、8 p + 1 、10 p + 1 、 14 p + 1 、および 16 p + 1のうち少なくとも1つが素数であるような素数pに対するフェルマーの最終定理の最初のケースを証明しました) 。そのようなpの最初のいくつかは

263、311、379、461、463、541、751、773、887、971、1283、...

素数pはB不規則素数かE不規則素数（あるいはその両方）である場合に 弱不規則素数である。最初のいくつかの弱不規則素数は

19、31、37、43、47、59、61、67、71、79、101、103、131、137、139、149、157、193、223、233、241、251、257、263、271、 277、283、293、307、311、347、349、353、373、379、389、401、409、419、421、433、461、463、491、509、523、541、547、 557、563、 571、577、587、593、...（OEISの配列A250216）

ベルヌーイの不規則性と同様に、弱い正則性は円分体の類数の割り切れることに関係します。実際、素数pが弱い不規則性を持つのは、p が4 p番目の円分体Q ( ζ _{4 p} )の類数を割り切れる場合のみです。

このセクションでは、nが偶数の場合、「 a _n 」はn番目のベルヌーイ数の分子を意味し、nが奇数の場合、「 a _n」は( n − 1)番目のオイラー数を意味します（ OEISのシーケンスA246006）。

すべての奇数の素数pに対して、p がa _{p を}割り切れるのは、p が1 mod 4 に合同な場合のみであり、p はすべての奇数の素数pに対して( p − 1)番目のベルヌーイ数の分母を割り切るため、任意の奇数の素数pに対して、p はa _{p −1}を割り切れません。さらに、奇数の素数p がa _{n を}割り切れる場合(そして 2 p がn を割り切れない場合)に限り、 p はa _{n + k ( p −1)}も割り切れます( 2 p がn を割り切れる場合、この文は「 pはa _{n +2 kp}も割り切れる」と変更する必要があります。実際、 2 p がnを割り切れ、p ( p − 1)がn を割り切れない場合は、p はa _{n を}割り切れます)。任意の整数kに対して(条件はn + k ( p − 1) > 1 でなければならない)。たとえば、 19 は 11 を割り切れますが、₂ × 19 = 38 は11 を割り切れません。したがって、すべてのkについて、 19 は₁₈ k _{+11 を割り切れます。したがって、不規則なペア}( p、n )の定義では_、 nは最大でp − 2になります。

次の表は、奇数素数p ≤ 661のすべての不規則なペアを示しています。

1000 未満の素数で弱不規則指数が 3 となるのは、307、311、353、379、577、587、617、619、647、691、751、929 のみです。また、1000 未満の素数で弱不規則指数が 4 となるのは 491 のみで、1000 未満の他の奇数素数はすべて弱不規則指数が 0、1、または 2 となります。(弱不規則指数は、 「 p がn_を割り切れる0 ≤ n ≤ p − 2の整数の数」と定義されます。)

次の表は、n ≤ 63のすべての不規則なペアを示しています。（これらの不規則なペアを得るには、 a _{n を}因数分解するだけで済みます。たとえば、a ₃₄ = 17 × 151628697551ですが、17 < 34 + 2なので、 n = 34の唯一の不規則なペアは(151628697551, 34)です）（詳細（300までの偶数nと201までの奇数n ）については、 ^[12]を参照してください）。

次の表は、不規則なペア( p、p − n ) ( n ≥ 2 ) を示しています。すべての自然数n ≥ 2に対して不規則なペア( p、p − n )が無限に存在すると推測されますが、 nが固定されている場合はごくわずかしか見つかりませんでした。 nの値によっては、そのような素数pさえ知られていません。

• ウォルステンホルムプライム

• ワイスタイン、エリック・W.「不規則素数」。マスワールド。
• Chris Caldwell、The Prime 用語集: The Prime Pagesの通常のプライム。
• キース・コンラッド、正素数に関するフェルマーの最終定理。
• ベルヌーイ不規則素数
• オイラー不規則素数
• ベルヌーイとオイラーの不規則素数。
• ベルヌーイ数とオイラー数の因数分解
• ベルヌーイ数とオイラー数の因数分解