商（普遍代数）

数学において、商代数は、合同関係を用いて代数構造の要素を分割した結果である。商代数は因子代数とも呼ばれる。ここで、合同関係は、後述する形式的な意味で、代数のすべての演算と互換性のある同値関係でなければならない。その同値類は、与えられた代数構造の要素を分割する。商代数はこれらの同値類を要素として持ち、互換性条件を用いて同値類に代数構造を与える。^{[ 1 ]}

商代数の概念は、環論における商環、群論における商群、線形代数における商空間、表現論における商加群といった商構造を、共通の枠組みの中に抽象化するものである。

A を代数の要素の集合とする${\displaystyle {\mathcal {A}}}$、また、E を集合A上の同値関係とする。関係Eは、 n項演算fと互換性がある（または置換性質を持つ）とは、次の条件を満たす場合をいう。${\displaystyle (a_{i},\;b_{i})\in E}$のために${\displaystyle 1\leq i\leq n}$暗示する${\displaystyle (f(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),f(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}))\in E}$いかなる場合でも${\displaystyle a_{i},\;b_{i}\in A}$と${\displaystyle 1\leq i\leq n}$代数のすべての演算と互換性のある同値関係を、その代数に関する合同関係と呼ぶ。

集合A内の任意の同値関係E は、この集合を同値類に分割します。これらの同値類の集合は通常、商集合と呼ばれ、A / Eと表記されます。代数${\displaystyle {\mathcal {A}}}$Eが合同式である場合、 A / Eの要素に誘導される演算を定義するのは簡単です。具体的には、任意の演算に対して${\displaystyle f_{i}^{\mathcal {A}}}$位数の${\displaystyle n_{i}}$で${\displaystyle {\mathcal {A}}}$（上付き文字は、それが${\displaystyle {\mathcal {A}}}$、そして添え字${\displaystyle i\in I}$関数を列挙します${\displaystyle {\mathcal {A}}}$（そしてそれらのアリティ）を定義する${\displaystyle f_{i}^{{\mathcal {A}}/E}:(A/E)^{n_{i}}\to A/E}$として${\displaystyle f_{i}^{{\mathcal {A}}/E}([a_{1}]_{E},\ldots ,[a_{n_{i}}]_{E})=[f_{i}^{\mathcal {A}}(a_{1},\ldots ,a_{n_{i}})]_{E}}$、 どこ${\displaystyle [x]_{E}\in A/E}$は同値類を表す${\displaystyle x\in A}$Eによって生成される（" x  mod E "）。 

代数${\displaystyle {\mathcal {A}}=(A,(f_{i}^{\mathcal {A}})_{i\in I})}$合同式Eが与えられた場合${\displaystyle {\mathcal {A}}}$代数${\displaystyle {\mathcal {A}}/E=(A/E,(f_{i}^{{\mathcal {A}}/E})_{i\in I})}$これは、​​${\displaystyle {\mathcal {A}}}$法E 。自然な準同型が存在する。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$に${\displaystyle {\mathcal {A}}/E}$すべての要素をその同値類にマッピングします。実際、すべての準同型h は、準同型の核を介して合同関係を決定します。${\displaystyle \mathop {\mathrm {ker} } \,h=\{(a,a')\in A^{2}\,|\,h(a)=h(a')\}\subseteq A^{2}}$。

代数が与えられた場合${\displaystyle {\mathcal {A}}}$したがって、準同型写像h は、に準同型の 2 つの代数を定義します。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$画像h (${\displaystyle {\mathcal {A}}}$） そして${\displaystyle {\mathcal {A}}/\mathop {\mathrm {ker} } \,h}$この2つは同型であり、これは準同型像定理、または普遍代数における第一同型定理として知られる結果である。形式的には、${\displaystyle h:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$を全射準同型とする。すると、から一意の同型gが存在する。${\displaystyle {\mathcal {A}}/\mathop {\mathrm {ker} } \,h}$に$\displaystyle {\mathcal {B}}}$g は、自然準同型によって合成される。${\displaystyle \mathop {\mathrm {ker} } \,h}$hに等しい。

すべての代数${\displaystyle {\mathcal {A}}}$集合A上の恒等関係、および${\displaystyle A\times A}$これらは自明な合同式です。他の合同式を持たない代数を単純代数と呼びます。

させて${\displaystyle \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})}$代数上の合同式の集合とする${\displaystyle {\mathcal {A}}}$合同関係は交差に関して閉じているので、交点演算を定義できます。${\displaystyle \wedge$ 合同式の共通部分を取るだけで、\mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\times \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\to \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})} が 得られます。${\displaystyle E_{1}\wedge E_{2}=E_{1}\cap E_{2}}$。

一方、合同関係は和集合に関して閉じていません。しかし、固定された代数に関して、任意の二項関係Eの閉包を定義することができます。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$次のような合同関係となる。${\displaystyle \langle E\rangle _{\mathcal {A}}=\bigcap \{F\in \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\mid E\subseteq F\}}$二項関係の閉包は合同式であり、したがって演算に依存することに注意してください。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$キャリアセット上だけでなく。次に定義します${\displaystyle \vee$ :\mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\times \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})\to \mathrm {Con} ({\mathcal {A}})} として${\displaystyle E_{1}\vee E_{2}=\langle E_{1}\cup E_{2}\rangle _{\mathcal {A}}}$。

すべての代数${\displaystyle {\mathcal {A}}}$、${\displaystyle (\mathrm {Con} ({\mathcal {A}}),\wedge ,\vee )}$上記で定義した2つの演算により、合同格子と呼ばれる格子が形成される。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$。

2 つの合同式が関係の合成を演算として交換（可換）する場合、${\displaystyle \alpha \circ \beta =\beta \circ \alpha }$すると、それらの結合（合同格子における）はそれらの合成に等しくなります。${\displaystyle \alpha \circ \beta =\alpha \vee \beta }$代数が合同可換であるとは、そのすべての合同関係のペアが置換可能である場合をいう。同様に、多様体がすべて合同可換代数である場合、その多様体は合同可換であると言われる。

1954年、アナトリー・マルツェフは、合同置換可能な多様体の以下の特徴付けを確立しました。多様体が合同置換可能であるのは、q ( x , y , z )が存在し、 q ( x , y , y ) ≈ x ≈ q ( y , y , x )となる場合に限ります。これはマルツェフ項と呼ばれ、この性質を持つ多様体はマルツェフ多様体と呼ばれます。マルツェフの特徴付けは、群（ q = xy ⁻¹ zとします）、環、準群（q = (x / (y \ y))(y \ z))、補元束、ハイティング代数などにおける多数の類似結果を説明します。さらに、すべての合同可換代数は合同モジュラーであり、つまりその合同束もモジュラー束です。ただし、その逆は真ではありません。

マルツェフの結果の後、他の研究者たちは、マルツェフが発見した条件と同様の条件に基づいて、他の種類の性質に対する特徴付けを発見した。1967年にビャルニ・ヨンソンは、分配的合同格子を持つ多様体（そのため合同分配多様体と呼ばれる）の条件を発見し^{[ 2 ]}、1969年にはアラン・デイが、モジュラー的合同格子を持つ多様体について同じことをした^{[ 3 ]} 。 一般的に、このような条件はマルツェフ条件と呼ばれる。

この研究の流れは、合同恒等式に関連するマルツェフ条件を生成するためのピクスリー・ウィルアルゴリズムにつながった。 ^{[ 4 ]}

• 商環
• 合同格子問題
• 部分群の格子

• クラウス・デネッケ、シェリー・L・ウィスマス（2009）。普遍代数と余代数。ワールド・サイエンティフィック。14-17頁。ISBN  978-981-283-745-5。
• プルナ・チャンドラ・ビスワル（2005）。離散数学とグラフ理論。PHI Learning Pvt. Ltd. p.  215。ISBN 978-81-203-2721-4。
• クリフォード・バーグマン（2011）。『普遍代数：基礎と厳選されたトピック』CRC Press、pp. 122–124、137（マルツェフ多様体）。ISBN  978-1-4398-5129-6。