代数的K理論

19世紀、ベルンハルト・リーマンとその弟子グスタフ・ロッホは、現在リーマン・ロッホの定理として知られる定理を証明した。Xがリーマン面である場合、X上の有理型関数と有理型微分形式の集合はベクトル空間を形成する。X上の線束はこれらのベクトル空間の部分空間を決定し、Xが射影的である場合、これらの部分空間は有限次元である。リーマン・ロッホの定理は、これらの部分空間の次元の差は、線束の次数（ねじれの尺度）に1からXの種数を引いた値を加えたものに等しいと述べている。20世紀半ば、リーマン・ロッホの定理はフリードリヒ・ヒルツェブルフによってすべての代数多様体に一般化された。ヒルツェブルフの定式化、ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理では、この定理はオイラー特性に関する記述となった。すなわち、代数多様体上のベクトル束のオイラー特性（これはそのコホモロジー群の次元の交代和である）は、自明な束のオイラー特性に、ベクトル束の特性類から生じる補正係数を加えたものに等しい。これは一般化である。なぜなら、射影リーマン面上では、線束のオイラー特性は前述の次元の差に等しく、自明な束のオイラー特性は1から種数を引いた値であり、自明でない特性類は次数のみだからである。

K理論という主題は、 1957年にアレクサンダー・グロタンディークによって構成され、ヒルツェブルフの定理の一般化であるグロタンディーク・リーマン・ロッホの定理に現れたことに由来する。 ^{[ 2 ]} Xを滑らかな代数多様体とする。グロタンディークは、X上の各ベクトル束に 不変量、すなわちそのクラスを対応させた。X上のすべてのクラスの集合は、ドイツ語のKlasseからK ( X )と呼ばれた。定義により、K ( X )はX上のベクトル束の同型クラスに関する自由アーベル群の商群であり、したがってアーベル群である。ベクトル束Vに対応する基底要素を[ V ]とすると、ベクトル束の各短完全列に対して、次の式が成り立つ。

${\displaystyle 0\to V'\to V\to V''\to 0,}$

グロタンディークは関係式[ V ] = [ V′ ] + [ V″ ]を課した。これらの生成子と関係式はK ( X ) を定義し、それが厳密なシーケンスと互換性のある方法でベクトル束に不変量を割り当てる普遍的な方法であることを示唆している。

グロタンディークは、リーマン・ロッホの定理は多様体そのものではなく、多様体の射に関する定理であるという見解をとった。彼は、Xのチャーン指標とトッド類から、 K ( X )からXのチャウ群への準同型が存在することを証明した。さらに、滑らかな多様体Yへの適切な射f : X → Yは、プッシュフォワードと呼ばれる準同型f _* : K ( X ) → K ( Y )を決定することを証明した。これにより、 X上のベクトル束からYのチャウ群の要素を決定する 2 つの方法が得られる。Xから出発して、まずK理論でプッシュフォワードを計算し、次にYのチャーン指標とトッド類を適用するか、またはまずXのチャーン指標とトッド類を適用し、次にチャウ群のプッシュフォワードを計算するかのどちらかである。グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理は、これらが等しいと述べている。Yが点である場合、ベクトル束はベクトル空間であり、ベクトル空間のクラスはその次元であり、グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理はヒルツェブルフの定理に特殊化される。  

群K ( X ) は現在K ₀ ( X ) として知られています。ベクトル束を射影加群に置き換えると、K _{0 は}非可換環に対しても定義され、群表現への応用がありました。 アティヤとヒルツェブルフはすぐにグロタンディークの構成を位相幾何学に持ち込み、位相 K 理論を定義するために使用しました。^{[ 3 ]} 位相K理論は、並外れたコホモロジー理論の最初の例の 1 つです。それは、各位相空間X (いくつかの緩やかな技術的制約を満たす) に、正規化公理を除くすべてのアイレンベルク-スティーンロッド公理を満たす群の列K _n ( X ) を関連付けます。しかし、代数多様体の設定ははるかに厳格であり、位相幾何学で使用される柔軟な構成は利用できませんでした。群K ₀は代数多様体および非可換環のコホモロジー理論の出発点となるために必要な性質を満たしているように見えたが、より高次のK _n ( X ) の明確な定義は存在しなかった。そのような定義が開発される過程でも、制限や接着に関する技術的な問題により、 K _{n は}通常、環に対してのみ定義され、多様体に対しては定義されなかった。

群環のK ₁に密接に関連する群は、以前にJHC ホワイトヘッドによって導入されました。アンリ ポアンカレは、多様体のベッチ数を三角分割によって定義しようと試みました。しかし、彼の方法には重大な欠陥がありました。ポアンカレは、多様体の 2 つの三角分割が常に同じベッチ数を与えることを証明できませんでした。ベッチ数は三角分割を細分化しても変化しないことは明らかであり、したがって、共通の細分化を共有する任意の 2 つの三角分割が同じベッチ数を持つことは明らかでした。知られていなかったのは、任意の 2 つの三角分割が共通の細分化を許容するということです。この仮説は、Hauptvermutung (おおよそ「主な予想」) として知られる予想になりました。三角分割が細分化の下で安定しているという事実は、JHC ホワイトヘッドが単純ホモトピー型の概念を導入するきっかけとなりました。^{[ 4 ]} 単純ホモトピー同値とは、単体またはセルを単体複体またはセル複体に追加する際に、追加された単体またはセルの変形がそれぞれ元の空間の細分化に収束するように定義されるものです。この定義の動機の一つは、三角形分割の細分化が元の三角形分割と単純ホモトピー同値であるため、共通の細分化を共有する 2 つの三角形分割は単純ホモトピー同値でなければならないということです。

ホワイトヘッドは、ねじれと呼ばれる不変量を導入することで、単純ホモトピー同値よりも細かい不変量であることを証明した。ホモトピー同値のねじれは、現在ホワイトヘッド群と呼ばれ、Wh ( π )と表記される群の値をとる。ここで、 πは対象複体の基本群である。ホワイトヘッドは非自明なねじれの例を見つけ、それによっていくつかのホモトピー同値が単純ではないことを証明した。ホワイトヘッド群は後に、K1 ( Zπ )の商群であることが発見された_。ここで、Zπはπの整群環である。後にジョン・ミルナーは、ホワイトヘッドねじれに関連する不変量であるライデマイスターねじれを用いて、主不変の定理を否定した。

環のK ₁の最初の適切な定義は、Hyman BassとStephen Schanuelによって行われました。^{[ 5 ]} 位相K理論では、K _{1 は}空間のサスペンション上のベクトル束を使用して定義されます。このようなベクトル束はすべて、空間の 2 つの半分上の 2 つの自明なベクトル束が空間の共通のストリップに沿って接着されるクラッチング構成から得られます。この接着データは一般線形群を使用して表現されますが、基本行列 (基本行または基本列操作に対応する行列) から得られるその群の要素は、同等の接着を定義します。これに触発されて、環RのK _{1の Bass–Schanuel 定義は}GL ( R ) / E ( R )であり、GL ( R ) は無限一般線形群 (すべてのGL _n ( R ) の和集合) であり、E ( R ) は基本行列の部分群です。彼らはまた、環の準同型写像のK ₀の定義を示し、 K ₀とK _{1を組み合わせることで、}相対相同性完全シーケンスと同様の完全シーケンスを構成できることを証明した。

この時期のK理論の研究は、 Bass の著書『代数的K理論』で頂点に達した。^{[ 6 ]} Bass は、当時知られていた結果を首尾一貫して解説しただけでなく、多くの定理の記述を改善した。特に注目すべきは、Bass が Murthy との以前の研究^{[ 7 ]}を基に、現在では代数的K理論の基本定理として知られるものの最初の証明を提供したことである。これは、環RのK ₀とRのK ₁、多項式環R [ t ]、および局所化R [ t , t ^{− 1} ]を関連付ける 4 項の完全列である。Bass はこの定理がK _{0を完全に}K ₁の観点から記述していることを認識した。この記述を再帰的に適用することにより、彼は負のK群K _{− n} ( R ) を生成した。独立した研究において、マックス・カルービは特定のカテゴリーに対して負のK群の別の定義を与え、彼の定義がバスの定義と同じ群をもたらすことを証明した。^{[ 8 ]}

この分野における次の大きな進展は、 K ₂の定義によってもたらされた。スタインバーグは、体上のシュヴァレー群の普遍的中心拡大を研究し、生成元と関係式を用いてこの群を明示的に表現した。 ^{[ 9 ]}_{基本行列の群 E n} ( k ) の場合、普遍的中心拡大は現在 St _n ( k ) と表記され、スタインバーグ群と呼ばれている。1967 年春、ジョン・ミルナーは、準同型写像St( R ) → E ( R )の核としてK ₂ ( R )を定義した。^{[ 10 ]} 群K _2は、 K ₁およびK ₀について知られていたいくつかの完全列をさらに拡張し、数論に顕著な応用をもたらした。 松本秀也の 1968 年の論文^{[ 11 ]}は、体Fに対して、K ₂ ( F ) が以下と同型であることを示した。

${\displaystyle F^{\times }\otimes _{\mathbf {Z} }F^{\times }/\langle x\otimes (1-x)\colon x\in F\setminus \{0,1\}\rangle .}$

この関係は、局所体上の二次方程式の可解性を表すヒルベルト記号によっても満たされます。特に、ジョン・テイトは、 K ₂ ( Q ) が本質的に二次相互法則に基づいて構成されていることを証明することができました。

1960年代後半から1970年代初頭にかけて、高次のK理論の定義がいくつか提案された。Swan ^{[ 12 ]}とGersten ^{[ 13 ]}はともにすべてのnに対してK _nの定義を生成し、Gerstenは彼とSwanの理論が同等であることを証明したが、2つの理論が期待されるすべての性質を満たすことは知られていなかった。NobileとVillamayorも高次のK群の定義を提案した。^{[ 14 ]} KaroubiとVillamayorはすべてのnに対して 良好なK群を定義したが、^{[ 15 ]}、彼らのK ₁の等価物は、Bass–Schanuel K ₁の適切な商となることがあった。彼らのK群は現在KV _nと呼ばれ、 K理論のホモトピー不変修正と関連している。

松本定理に部分的に触発されて、ミルナーは体の高次K群の定義を作成した。 ^{[ 16 ]} 彼は自身の定義を「純粋にアドホック」と呼んだ^{[ 17 ]}。それはすべての環に一般化できるものでも、体の高次K理論の正しい定義でもないように見えた。ずっと後になって、ネステレンコとススリン^{[ 18 ]}およびトタロ^{[ 19 ]}によって、ミルナーK理論は実際には体の真のK理論の直和因子であることが発見された。具体的には、 K群には重みフィルターと呼ばれるフィルターがあり、体のミルナーK理論はK理論の最も高い重み次数を持つ部分である。さらに、トマソンは、一般多様体にはミルナーK理論の類似物がないことを見出した。 ^{[ 20 ]}

広く受け入れられた高次K理論の最初の定義は、ダニエル・クイレンによるものであった。^{[ 21 ]}位相におけるアダムス予想 に関するクイレンの研究の一環として、分類空間BGL ( F _{q ) から}ψ ^q − 1のホモトピーファイバーへの写像を構築した。ここでψ ^qは分類空間BUに作用するq番目のアダムス演算である。この写像は非巡回的であり、BGL ( F _q ) をわずかに修正して新しい空間BGL ( F _q ) ⁺を生成すると、写像はホモトピー同値になった。この修正はプラス構成と呼ばれた。アダムス演算はグロタンディークの研究以来、チャーン類とK理論に関連していることが知られており、そのためクイレンはRのK理論をBGL ( R ) ⁺のホモトピー群として定義するに至った。これによりK ₁とK ₂が復元されただけでなく、 K理論とアダムス演算の関係により、クィレンは有限体のK群を計算することができた。

分類空間BGL は連結であるため、Quillen の定義ではK ₀の正しい値が得られませんでした。さらに、負のK群も得られませんでした。K 0 には既知の定義があり、受け入れられていたため、_この困難を回避することはできましたが、技術的には扱いにくいままでした。概念的には、問題は定義がGLから派生したものであり、GL は従来K ₁の源泉であったことです。GLはベクトル束の接着についてのみ知っていて、ベクトル束自体については知らないため、 K ₀を記述することは不可能でした。

クィレンとの会話に触発され、シーガルはすぐにΓオブジェクトという名で代数的K理論を構築する別のアプローチを導入した。 ^{[ 22 ]}シーガルのアプローチは、グロタンディークのK ₀ の構成のホモトピー類似物である。グロタンディークが束の同型類を扱ったのに対し、シーガルは束自体を扱い、束の同型をデータの一部として使用した。これにより、ホモトピー群が高次のK群（K _{0を含む）である}スペクトルが得られる。しかし、シーガルのアプローチは、分割完全列の関係しか課すことができず、一般的な完全列の関係を課すことはできなかった。環上の射影加群の圏では、すべての短い完全列が分割されるため、Γオブジェクトを使用して環のK理論を定義することができる。しかし、多様体上のベクトル束の圏や環上の全加群の圏には、分割されない短い完全列が存在するため、Segalのアプローチは関心のあるすべてのケースに適用できるわけではなかった。

1972年の春、クィレンは高次のK理論の構築に対する別のアプローチを発見し、それが非常に大きな成功を収めることになった。この新しい定義は、完全圏、つまり加群またはベクトル束の圏が満たす性質に似ているが、わずかに弱い特定の形式的性質を満たす圏から始まった。彼はこれから、彼の「Q構成」と呼ばれる新しい装置を用いて補助圏を構築した。セガルのΓ対象と同様に、Q構成はグロタンディークのK ₀の定義に根ざしている。しかし、グロタンディークの定義とは異なり、Q構成はアーベル群ではなく圏を構築し、セガルのΓ対象とは異なり、Q構成は短い完全列と直接作用する。Cがアーベル圏である場合、QCはCと同じ対象を持つが、射がCの短い完全列で定義される圏である。完全圏のK群は、幾何学的実現のループ空間である Ω BQCのホモトピー群である(ループ空間を取ることでインデックスが修正される)。Quillen はさらに、K理論の 2 つの定義が互いに一致することを示す「 + = Q定理」を証明した。これにより正しいK ₀が得られ、証明がより簡単になったが、それでも負のK群は得られなかった。

すべてのアーベル圏は完全圏であるが、すべての完全圏がアーベル圏であるとは限らない。クィレンはこのより一般的な状況で研究を進めることができたため、証明において完全圏を道具として用いることができた。この手法によって、彼は代数的K理論の多くの基本定理を証明することができた。さらに、スワンとゲルステンによる以前の定義が、ある条件下ではクィレンの定義と同等であることを証明することもできた。

K理論は、環のホモロジー理論であり、多様体のコホモロジー理論であるように見えた。しかし、その基本的な定理の多くは、問題の環または多様体が正則であるという仮定を伴っていた。期待される基本的な関係の 1 つは、多様体XのK理論と開部分集合Uを関連付ける長い完全列 (「局所化列」と呼ばれる) であった。Quillen は、局所化列の存在を完全な一般性において証明することができなかった。しかし、彼は、G理論 (またはK ′理論とも呼ばれる) と呼ばれる関連理論については、その存在を証明することができた。G 理論は、この分野の発展の初期に Grothendieck によって定義された。Grothendieck は、多様体XのG ₀ ( X ) を、 X上の連接層の同型類上の自由アーベル群 (連接層の完全列から生じる関係を法とする) と定義した。後世の研究者が採用した圏論的枠組みでは、多様体のK理論はベクトル束の圏のK理論であり、 G理論は連接層の圏のK理論である。クィレンはG理論の局所化完全系列の存在を証明できただけでなく、正則環または正則多様体の場合、K理論はG理論に等しく、したがって正則多様体のK理論には局所化完全系列が存在することを証明できた。この系列は、この分野の多くの事実の基礎となるものであったため、正則性仮説は高次のK理論に関する初期の研究に広く浸透していた。

代数的K理論をトポロジーに適用した最初の例は、ホワイトヘッドによるホワイトヘッドねじれの構成である。これと密接に関連する構成は、1963 年にCTC Wallによって発見された。 ^{[ 23 ]} Wall は、有限複体によって支配される空間X は、 K ₀ ( Z π )の商の値をとる一般化されたオイラー標数を持つことを発見した。ここでπは空間の基本群である。この不変量は、不変量がゼロになる場合に限り Xが有限複体とホモトピー同値であるため、 Wall の有限性障害と呼ばれる。Laurent Siebenmann は、論文で、境界を持つコンパクト多様体の内部である開多様体に対する障害を与える Wall の不変量に​​類似した不変量を発見した。^{[ 24 ]} 境界を持つ 2 つの多様体MとN が(TOP、PL、または DIFF で適切) 同型の内部を持つ場合、それらの間の同型性は、MとNの間のhコボルディズムを定義する。

ホワイトヘッドのねじれは最終的に、より直接的なK理論的な方法で再解釈されました。この再解釈はh - コボルディズムの研究を通じて行われました。 2 つのn次元多様体MとNは、境界がMとNの非交和であり、 MとNのWへの包含がホモトピー同値である (n + 1) 次元多様体が存在する場合にh -コボルダントです( TOP 、PL、または DIFF のカテゴリで)。 スティーブン・スメールのh - コボルディズム定理^{[ 25 ]}は、n ≥ 5で、Wがコンパクトであり、M、N、およびWが単連結である場合、Wは円筒M × [0, 1] (TOP、PL、または DIFF のカテゴリで適切) と同型であると主張しました。この定理は、n ≥ 5の場合のポアンカレ予想を証明しました。

MとN が単連結であると仮定しない場合、 h - コボルディズムはシリンダーである必要はありません。Stallings^とBarden が^それぞれ独立に発見したs - コボルディズムの定理は、一般的な状況を説明します。h -コボルディズムがシリンダーであるのは^、包含M ⊂ Wの Whitehead ねじれがゼロである場合のみです。これは、単連結性の仮定により、関連する Whitehead 群が自明であることを意味するため、h - コボルディズムの定理を一般化したものです^。実際、 s -コボルディズムの定理は、 h - コボルディズムの同型類と Whitehead 群の要素との間に全単射対応があることを意味します。

h-コボルディズムの存在に関連する明白な疑問は、その一意性である。同値性の自然な概念はアイソトピーである。 ジャン・セルは、次元が少なくとも5の単連結な滑らかな多様体Mの場合、 h-コボルディズムのアイソトピーは擬似アイソトピー_と呼ばれるより弱い概念と同じであることを証明した。^{[ 28 ]} ハッチャーとワゴナーは擬似アイソトピーの空間の成分を研究し、それをK2 ( Zπ )の商と関連付けた。^{[ 29 ]}

s-コボルディズム定理の適切な文脈は、 h-コボルディズムの分類空間である。MがCAT多様体である場合、 H CAT ⁽ M )はM上のh-コボルディズムの束を分類する空間である。s-コボルディズム定理は、この空間の連結成分の集合がπ ₁ ( M )のホワイトヘッド群であるという記述として再解釈できる。この空間はホワイトヘッド群よりも厳密に多くの情報を含んでいる。例えば、自明なコボルディズムの連結成分はM上の可能な円筒を記述し、特に多様体とM × [0, 1]の間のホモトピーの一意性に対する障害となる。これらの問題を考察した結果、ヴァルトハウゼンは空間の代数的K理論を導入するに至った。^{[ 30 ]} Mの 代数的K理論は、Mに対してK ₁ ( Z π ₁ ( M )) が果たす役割と本質的に同じ役割を、より高次のK群に対して果たすように定義された空間A ( M ) である。特に、Waldhausen は、A ( M ) から空間 Wh( M ) への写像が存在し、それが写像K ₁ ( Z π ₁ ( M )) → Wh( π ₁ ( M ))を一般化し、そのホモトピーファイバーがホモロジー理論であることを示した。

A理論を完全に発展させるために、ヴァルトハウゼンはK理論の基礎において重要な技術的進歩を遂げた。ヴァルトハウゼンはヴァルトハウゼン圏を導入し、ヴァルトハウゼン圏Cに対して、 Cにおけるコファイブレーションの連鎖によって定義される単体圏S _⋅ C（SはSegalのS）を導入した。^{[ 31 ]}これにより、 K理論 の基礎は完全系列の類似物を呼び出す必要性から解放された。

クィレンは教え子のケネス・ブラウンに、スペクトル層の理論を構築できるかもしれないと示唆した。K理論はその一例となるだろう。K理論スペクトルの層は、多様体の各開部分集合に対して、その開部分集合のK理論を対応させる。ブラウンは学位論文のためにそのような理論を開発した。同時に、ゲルステンも同じ考えを持っていた。1972年秋のシアトル会議で、彼らは共に、層コホモロジーから収束するスペクトル系列を発見した。${\displaystyle {\mathcal {K}}_{n}}$X上のK _n群の層を、全空間のK群に置き換える。これは現在、ブラウン・ゲルステン スペクトル系列と呼ばれている。^{[ 32 ]}

スペンサー・ブロッホは、ゲルステンのK群の層に関する研究に影響を受け、正則曲面上ではコホモロジー群が${\displaystyle H^{2}(X,{\mathcal {K}}_{2})}$これは、 X上の余次元 2 サイクルのChow 群CH ² ( X ) と同型である。^{[ 33 ]} このことから、Gersten は、分数体Fを持つ正則局所環Rに対して、すべてのnについてK _n ( R ) がK _n ( F )に挿入されると予想した。すぐに Quillen は、 R が体を含む場合にこれが真であることを証明し、 ^{[ 34 ]}これを用いて、

${\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {K}}_{p})\cong \operatorname {CH} ^{p}(X)}$

すべてのpに対して が成り立つ。これはブロッホの公式として知られている 。その後、ゲルステン予想については進展があったものの、一般の場合については未解決のままである。

リヒテンバウムは、数体のゼータ関数の特別な値は、その体の整数環のK群で表すことができると予想した。これらの特別な値は、整数環のエタールコホモロジーと関連していることが知られていた。そこで、クィレンはリヒテンバウムの予想を一般化し、位相的K理論にアティヤー・ヒルツェブルフのスペクトル系列のようなスペクトル系列が存在することを予測した。^{[ 35 ]}クィレンが提案したスペクトル系列は、環R のエタールコホモロジーから始まり、十分高い次数で、Rで可逆な素数lで完了した後、RのK理論のl進完了に隣接する。リヒテンバウムが研究したケースでは、スペクトル系列は退化し、リヒテンバウムの予想が得られる。

素数lに局所化する必要があることから、Browder は有限係数を持つK理論の変種が存在するはずだと考えました。 ^{[ 36 ]} 彼はZ / l Zベクトル空間であるK理論群K _n ( R ; Z / l Z )を導入し、位相K理論 で Bott 要素の類似物を見つけました。Souléはこの理論を用いて、代数 K 理論の要素をエタール コホモロジーのクラスに取り込む位相チャーン クラスの類似物である「エタールチャーン クラス」を構築しました。^{[ 37 ]}代数K理論 とは異なり、エタールコホモロジーは計算が非常に容易であるため、エタール チャーン クラスはK理論の要素の存在を検出するための効果的なツールとなりました。 その後、 William G. DwyerとEric Friedlander は、エタール トポロジーの K 理論の類似物であるエタール K 理論を考案しました。^{[ 38 ]} 複素数上で定義された多様体の場合、エタールK理論は位相K理論と同型である。さらに、エタールK理論は、Quillen が予想したものと同様のスペクトル系列を許容する。Thomason は 1980 年頃に、Bott 要素を反転すると、有限係数の代数K理論がエタールK理論と同型になることを証明した。^{[ 39 ]}

1970 年代から 1980 年代初頭にかけて、特異多様体上のK理論は依然として十分な基礎を欠いていた。Quillen のK理論が正しい群を与えると信じられていたが、これらの群が想定されたすべての性質を持っていることは知られていなかった。そのため、代数的K理論を再定式化する必要があった。これは Thomason が長大なモノグラフで行ったもので、彼は亡くなった友人 Thomas Trobaugh と共同でこのモノグラフを執筆した。Trobaugh は夢の中で彼に重要なアイデアを与えたと述べている。^{[ 40 ]} Thomason は Waldhausen のK理論の構成と Grothendieck のSéminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marieの第 6 巻で説明されている交差理論の基礎を組み合わせた。そこでは、K ₀は代数多様体上の層の複体で説明されていた。トマソンは、層の導来圏を扱う場合、層の複体が多様体の開部分集合から多様体全体に拡張できる条件を簡単に記述できることを発見した。ウォルドハウゼンのK理論の構成を導来圏に適用することで、トマソンは代数的K理論がコホモロジー理論に期待されるすべての性質を備えていることを証明できた。

1976年、R. Keith Dennisは、Hochschildホモロジーに基づくK理論を計算する全く新しい手法を発見した。^{[ 41 ]}これは、 K理論からHochschildホモロジーへの準同型写像であるDennisトレース写像 の存在に基づいていた。Dennisトレース写像は有限係数のK理論の計算には成功したように見えたが、有理数の計算にはあまり成功しなかった。Goodwillieは、自身の「ファンクターの計算」に触発され、 K理論とHochschildホモロジーの中間の理論の存在を予想した。彼は、その基礎環が球面スペクトル（ホモトピーまでしか演算が定義されていない環とみなされる）であるべきであることから、この理論を位相的Hochschildホモロジーと呼んだ。 1980年代半ば、ボクステットは、グッドウィリーの予想のほぼすべての性質を満たす位相的ホッホシルトホモロジーの定義を与え、これによりK群のさらなる計算が可能になった。^{[ 42 ]} ボクステットのデニストレース写像は、スペクトルの変換K → THHであった。この変換は、 THH上の円作用の固定点を介して因数分解され、巡回ホモロジーとの関係を示唆した。ノビコフ予想の代数的K理論の類似を証明する過程で、ボクステット、ヒシアン、マドセンは位相的巡回ホモロジーを導入したが、これは巡回ホモロジーがホッホシルトホモロジーに対して持っていたのと同じ関係を位相的ホッホシルトホモロジーに対して持っていた。^{[ 43 ]}

デニスのトレースマップは、位相的ホッホシルトホモロジー因子を位相的巡回ホモロジーを通して変換し、計算のためのさらに詳細なツールを提供します。1996年にダンダス、グッドウィリー、マッカーシーは、位相的巡回ホモロジーが厳密には代数的K理論と同じ局所構造を持つことを証明しました。したがって、K理論または位相的巡回ホモロジーでの計算が可能であれば、他の多くの「近傍」の計算が続きます。^{[ 44 ]}

関手K ₀は、環Aを、その有限生成射影加群の同型類の集合のグロタンディーク群（直和に関してモノイドとみなされる）に写像します。任意の環準同型A → Bは、射影A加群MのクラスをM ⊗ _A Bに写像することによって、写像K ₀ ( A ) → K ₀ ( B ) を与え、K ₀を共変関手とします。

環Aが可換環である場合、 K ₀ ( A ) の部分群を次のように定義できます。

${\displaystyle {\tilde {K}}_{0}\left(A\right)=\bigcap \limits _{{\mathfrak {p}}{\text{ prime ideal of }}A}\mathrm {Ker} \dim _{\mathfrak {p}},}$

どこ ：

${\displaystyle \dim _{\mathfrak {p}}:K_{0}\left(A\right)\to \mathbf {Z} }$

この写像は、すべての（クラスの）有限生成射影A加群Mを自由加群の階数に送るものです。${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$-モジュール${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$（このモジュールは確かに自由である。なぜなら、局所環上の有限生成射影モジュールはすべて自由だからである。）この部分群${\displaystyle {\tilde {K}}_{0}\left(A\right)}$これは、 Aの縮小ゼロ次 K 理論として知られています。

B が単位元を持たない環である場合、 K ₀の定義を次のように拡張できます。A = B ⊕ Z を、単位元( 0,1 ) を隣接させることによって得られる、単位元を持つ環への B の拡張とします。短完全列 B → A → Z が存在し、対応する写像K 0 ( A ) _→ K 0 ( Z ₎ = Zの核をK ₀ ( B ) と定義します。^{[ 45 ]}

ハイマン・バスは、環の単位群を一般化した次の定義を与えた。K 1 ( A ) は_無限一般線形群のアーベル化である。

${\displaystyle K_{1}(A)=\operatorname {GL} (A)^{\mbox{ab}}=\operatorname {GL} (A)/[\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]}$

ここ

${\displaystyle \operatorname {GL} (A)=\varinjlim \operatorname {GL} (n,A)}$

は直接の限界です${\displaystyle \operatorname {GL} (n)}$に埋め込まれる${\displaystyle \operatorname {GL} (n+1)}$ブロック対角行列に${\displaystyle 1}$右下のエントリー、そして${\displaystyle [\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]}$は交換子部分群である。基本行列を、単位行列と単一の非対角要素の和であると定義する（これは線形代数で使用される基本行列の部分集合である）。すると、ホワイトヘッドの補題によれば、群は${\displaystyle \operatorname {E} (A)}$基本行列によって生成されるものは交換子部分群に等しい${\displaystyle [\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]}$実際、そのグループは${\displaystyle \operatorname {GL} (A)/\operatorname {E} (A)}$これはホワイトヘッドによって初めて定義され研究され、^{[ 52 ]}環のホワイトヘッド群と呼ばれている。${\displaystyle A}$。

ジョン・ミルナーはK ₂の正しい定義を見つけました。それはAのシュタインベルク群St( A )の中心です。

それはマップの核とも定義できる。

${\displaystyle \varphi \colon \operatorname {St} (A)\to \mathrm {GL} (A),}$

または、基本行列群のシュール乗数として。

体の場合、K _2はスタインバーグ記号によって決定されます。これは松本定理につながります。

K ₂は任意の有限体に対してゼロであることが計算できる。^{[ 62 ] [ 63 ]} K ₂ ( Q ) の計算は複雑である。Tate は証明した。^{[ 63 ] [ 64 ]}

${\displaystyle K_{2}(\mathbf {Q} )=(\mathbf {Z} /4)^{*}\times \bigoplus _{p{\text{ odd prime}}}(\mathbf {Z} /p)^{*}\ }$

そして、その証明はガウスの二次相互法則の最初の証明に倣ったものであると指摘した。^{[ 65 ] [ 66 ]}

非アルキメデス局所体の場合、群K ₂ ( F ) は、例えば位数mの有限巡回群と可除群K ₂ ( F ) ^mの直和である。^{[ 67 ]}

K ₂ ( Z ) = Z /2であり、 ^{[ 68 ]}一般に、数体の整数環ではK _{2は有限である。} ^{[ 69 ]}

さらに、nが4で割り切れる場合はK ₂ ( Z / n ) = Z /2 、そうでない場合は0となる。 ^{[ 70 ]}

環の高次代数的K理論の可能な定義の一つは、Quillenによって与えられた。

${\displaystyle K_{n}(R)=\pi _{n}(B\operatorname {GL} (R)^{+}),}$

ここで π _nはホモトピー群、GL( R ) は行列のサイズが無限大に近づくときのR上の一般線形群の直接極限、 Bはホモトピー理論の分類空間構成、⁺は Quillen のプラス構成です。彼はもともと、群コホモロジーを研究しているときにこのアイデアを発見しました。${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {F} _{q})}$^{[ 85 ]}彼の計算の一部は${\displaystyle K_{1}(\mathbb {F} _{q})}$。

この定義はn  >  0 の場合にのみ成り立つため、高次の代数的K理論は次のように定義されることが多い。

${\displaystyle K_{n}(R)=\pi _{n}(B\operatorname {GL} (R)^{+}\times K_{0}(R))}$

BGL ( R ) ⁺はパス連結であり、K ₀ ( R ) は離散的であるため、この定義は高次の場合でも異ならず、n  =  0 の場合にも成り立ちます。

Q構成は+構成と同じ結果をもたらしますが、より一般的な状況に適用できます。さらに、Q構成によって定義されるK群は定義上関数的であるという点で、定義はより直接的です。この事実は、プラス構成では自動的には成り立ちません。

仮定する${\displaystyle P}$正確なカテゴリです。関連付けられています${\displaystyle P}$新しいカテゴリー${\displaystyle QP}$が定義され、その対象は${\displaystyle P}$また、 M ′からM ″への射は図式の同型類である。

${\displaystyle M'\longleftarrow N\longrightarrow M'',}$

ここで、最初の矢印は許容全射であり、2番目の矢印は許容単射である。射には注意する。${\displaystyle QP}$これらは、モチーフのカテゴリーにおける射の定義に類似しており、射は対応として与えられる。${\displaystyle Z\subset X\times Y}$そのため

${\displaystyle X\leftarrow Z\rightarrow Y}$

これは、左側の矢印が被覆写像（したがって全射）であり、右側の矢印が単射である図です。このカテゴリは、分類空間構成法を用いて位相空間に変換できます。${\displaystyle BQP}$これは、神経の幾何学的実現として定義される。${\displaystyle QP}$すると、正確なカテゴリーのi 番目のK群${\displaystyle P}$は次のように定義される。

${\displaystyle K_{i}(P)=\pi _{i+1}(\mathrm {BQ} P,0)}$

固定されたゼロオブジェクト${\displaystyle 0}$群状体の分類空間に注目してください。${\displaystyle B{\mathcal {G}}}$ホモトピー群を1次上げるため、次数がシフトします。${\displaystyle K_{i}}$いる${\displaystyle \pi _{i+1}}$空間の。

この定義は、上記のK ₀ ( P )の定義と一致します。Pが有限生成射影R加群の圏である場合、この定義はすべてのnに対して上記のBGL ⁺のK _n ( R ) の定義と一致します。 より一般的には、スキームXに対して、 Xの高次のK群は、 X上の局所自由連接層のK群 (その正確な圏)として定義されます。

この変形も使用されます。有限生成射影（= 局所自由）加群の代わりに、有限生成加群を取ります。結果として得られるK群は通常G _n ( R ) と表記されます。Rがネーター正則環の場合、G理論とK理論は一致します。実際、正則環のグローバル次元は有限であり、つまり任意の有限生成加群は有限射影分解P _* → Mを持ち、簡単な議論により、標準写像K ₀ (R) → G ₀ (R) が同型であり、[ M ]=Σ ± [ P _n ]であることがわかります。この同型は、より高次のK群にも拡張されます。

K理論群の3つ目の構成は、ヴァルトハウゼンによるS構成である。^{[ 86 ]}これは、コファイブレーションを持つ圏（ヴァルトハウゼン圏とも呼ばれる）に適用される。これは、完全圏よりも一般的な概念である。

環の高次代数的K群に関する最初の、そして最も重要な計算の一つは、有限体の場合について、キレン自身によって行われた。

F _{q が}q個の要素を持つ有限体である場合 、次のことが成り立つ。

• K ₀ ( F _q ) = Z、
• K _{2 i} ( F _q ) = 0 ( i ≥1 の場合)、
• K _{2 i –1} ( F _q ) = Z /( q ⁱ − 1) Z ( i ≥ 1)。     

リック・ジャーディン（1993 ）は、異なる方法を用いてクィレンの計算を再検証した。 

Quillenは、Aが代数体F（有理数の有限拡大）における代数的整数環である場合、 Aの代数的K群は有限生成であることを証明した。Armand Borelはこのことを利用して、ねじれを法とするK _i ( A )とK _i ( F )を計算した。例えば、整数Zについて、Borelは（ねじれを法とする）であることを証明した。

• K _i ( Z )/tors.=0 正のiの場合、ただしi=4k+1でkが正の場合を除く
• K _{4 k +1} ( Z )/tors.= Z (正のkの場合) 。

K _{2 i +1} ( Z )のねじれ部分群と有限群K _{4 k +2} ( Z ) の位数は最近決定されましたが、後者の群が巡回群であるかどうか、また群K _{4 k} ( Z ) が消滅するかどうかは、円分整数の類群に関するヴァンディバー予想に依存します。詳細は、クイレン・リヒテンバウム予想を参照してください。

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