レンズスペース

レンズ空間は、数学で考えられている位相空間の一例です。この用語は、多くの場合、3次元多様体の特定のクラスを指しますが、一般には高次元に対して定義できます。

3次元多様体の場合、レンズ空間は、境界の同相写像によって2つの立体トーラスを接着した結果として視覚化できます。 3次元球面と は、どちらも上記のように取得できますが、これらは自明な特殊なケースと見なされるため、カウントされないことがよくあります。 ${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$

3 次元レンズ空間は、1908 年にハインリッヒ ティーツェによって導入されました。これは、ホモロジーと基本群のみでは決定されない 3 次元多様体の最初の例であり、同相型がホモトピー型では決定されない閉多様体の最も単純な例でした。JWアレクサンダーは1919 年に、レンズ空間と は、同型基本群と同じホモロジーを持ち、ホモトピー型は同じではないものの、同相ではないことを示しまし た。その他のレンズ空間 ( や など )は同じホモトピー型 (したがって、同型基本群とホモロジー) を持ちますが、同相型ではありません。したがって、これらは代数的位相幾何学とは異なる、多様体の幾何学的位相幾何学の誕生と見なすことができます。 ${\displaystyle L(p;q)}$${\displaystyle L(5;1)}$${\displaystyle L(5;2)}$${\displaystyle L(7;1)}$${\displaystyle L(7;2)}$

3 次元レンズ空間は、基本群とライデマイスターねじれによって完全に分類されます。

3次元レンズ空間は、作用によるの商である。より正確には、と を互いに素な整数とし、を の単位球面とみなす。すると、同相写像によって生成される への 作用は、${\displaystyle L(p;q)}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$${\displaystyle S^{3}}$

${\displaystyle (z_{1},z_{2})\mapsto (e^{2\pi i/p}\cdot z_{1},e^{2\pi iq/p}\cdot z_{2})}$

は自由である。結果として得られる商空間はレンズ空間 と呼ばれる。 ${\displaystyle L(p;q)}$

これを高次元に一般化すると次のようになる。がと互いに素である整数とし、を の単位球面とみなす。レンズ空間はを によって生成される 自由作用で割ったものである。${\displaystyle p,q_{1},\ldots ,q_{n}}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle S^{2n-1}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle L(p;q_{1},\ldots q_{n})}$${\displaystyle S^{2n-1}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$

${\displaystyle (z_{1},\ldots ,z_{n})\mapsto (e^{2\pi iq_{1}/p}\cdot z_{1},\ldots ,e^{2\pi iq_{n}/p}\cdot z_{n}).}$

3次元では${\displaystyle L(p;q)=L(p;1,q).}$

すべてのレンズ空間の基本群は から独立しています。 ${\displaystyle L(p;q_{1},\ldots ,q_{n})}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$${\displaystyle q_{i}}$

レンズ空間のホモロジーは^[1]で与えられる。${\displaystyle L(p;q_{1},\ldots ,q_{n})}$ $${\displaystyle H_{k}(L(p;q_{1},\ldots ,q_{n}))={\begin{cases}\mathbb {Z} &{\text{for }}k=0,2n-1\\\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} &{\text{for }}k{\text{ odd, }}0<k<2n-1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

レンズ空間は局所的に対称な空間ですが、対称である例外を除いて（完全に）対称ではありません。（局所的に対称な空間は、固定点を持たない等長変換で割られる対称空間です。レンズ空間はこの定義を満たしています。） ${\displaystyle L(2;1)}$

3 次元レンズ空間は、多くの場合、次のようにして立体球として定義されます。まず、立体球の赤道上に等間隔のp点をマークし、それらを と表記します。次に、球の境界上に、点を北極と南極に接続する測地線を描きます。次に、北極を南極、点をおよびと同一視して、球面三角形を同一視します。結果として得られる空間は、レンズ空間 と同相です。 ${\displaystyle L(p;q)}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle a_{p-1}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle a_{i+q}}$${\displaystyle a_{i+1}}$${\displaystyle a_{i+q+1}}$${\displaystyle L(p;q)}$

関連する別の定義は、立体球を次の立体双角錐とみなすことです。平面の正 p 辺多角形を作成します。多角形の中心の真上と真下に2 つの点nとs を配置します。正 p辺多角形の各点をnとsに接続して双角錐を作成します。双角錐を塗りつぶして立体にし、境界上の三角形に上記と同じ識別情報を指定します。

同相写像とホモトピー同値までの分類は次のように知られています。3 次元空間とは 次のとおりです。 ${\displaystyle L(p;q_{1})}$${\displaystyle L(p;q_{2})}$

1. ある に対して がホモトピー同値である場合、かつその場合に限ります。${\displaystyle q_{1}q_{2}\equiv \pm n^{2}{\pmod {p}}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
2. のときのみ同相である。${\displaystyle q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}}$

ケース 2 の場合、同相写像を簡単に生成できるため、それらは「明らかに」同相です。これらが唯一の同相レンズ空間であることを示すのは困難です。 ${\displaystyle q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}}$

3次元レンズ空間のホモトピー分類を与える不変量は、ねじれ結合形式です。

同相分類はより微妙で、ライデマイスターのねじれによって与えられます。これは、 PL 同相までの分類として (ライデマイスター 1935) で与えられましたが、同相分類であることが (ブロディ 1960) で示されました。現代の用語では、レンズ空間は単純なホモトピー型によって決定され、通常の不変量 (特性クラスなど) や手術障害は存在しません。

結び目理論の分類は (Przytycki & Yasukhara 2003) で与えられています。Cをレンズ空間の閉曲線とし、これをレンズ空間の普遍被覆の結び目に持ち上げます。持ち上げられた結び目に自明なアレクサンダー多項式がある場合、ペア (C,C) 上のねじれリンク形式を計算します。これにより同相写像の分類が得られます。

もう一つの不変量は配置空間のホモトピー型です- (Salvatore & Longoni 2005) は、ホモトピー等価レンズ空間は配置空間に異なるホモトピー型を持つ可能性があり、それが異なるMassey 積によって検出できることを示しました。

• 球状3次元多様体

• グレン・ブレドン、「トポロジーと幾何学」、Springer Graduate Texts in Mathematics 139、1993年。
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• Allen Hatcher、基本的な 3 次元多様体トポロジーに関するノート。 (同相写像までのL(p,q)の分類を説明します。)
• Przytycki, Józef H. ; Yasukhara, Akira (2003)、「リンクの対称性とレンズ空間の分類」、Geometriae Dedicata、98 (1): 57–61、doi :10.1023/A:10240、MR  1988423
• Reidemeister、Kurt (1935)、「Homotopieringe und Linsenräume」、Abh。数学。セム。大学ハンブルク、11 (1): 102–109、土井:10.1007/BF02940717
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• ハーバート・ザイファートとウィリアム・スレルフォール、位相幾何学の教科書、純粋および応用数学 89、1934 年のドイツ語版からの翻訳、Academic Press Inc. ニューヨーク (1980)
• ハインリヒ・ティーツェ、ウーバー・ディ・トポロギッシェン・インヴァリアンテン・メアディメンダー・マニグファルティッヒケイテン、モナツシュ。数学を勉強してください。と物理学。 19、1–118 (1908) ( 20)ジョン・スティルウェルによる英語翻訳 (2008) 。${\displaystyle \S }$
• Watkins, Matthew (1990)、「レンズ空間の短い調査」(PDF) (学部論文)、 2006-09-25 にオリジナル(PDF)からアーカイブ

• マニフォールドアトラスのレンズ空間
• レンズ空間: マニフォールド アトラスの歴史
• マニフォールドアトラスの偽レンズ空間
• nLabのレンズスペース