内接正方形問題

内接正方形問題（スクエアペグ問題、テプリッツ予想とも呼ばれる）は、幾何学における未解決の問題である。すべての平面単純閉曲線は、何らかの正方形の4つの頂点すべてを含むか？これは、曲線が凸または部分的に滑らかな場合、およびその他の特殊なケースで真である。この問題は、1911年にオットー・テプリッツによって提唱された。 ^{[1]初期の肯定的な結果は、}アーノルド・エムヒ^[2] とレフ・シュニレルマン^[3]によって得られている。一般的なケースは未解決のままである。^[4]

をジョルダン曲線とします。多角形が に内接するのは、 のすべての頂点が に属する場合です。内接正方形問題は次のことを問います。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$

すべてのジョルダン曲線には内接正方形が存在するのでしょうか?

正方形の頂点が曲線に沿って特定の順序で現れる必要はあり ません。

円や正方形などの図形には、内接する正方形が無限に存在する。 が鈍角三角形であれば、内接する正方形はちょうど1つ存在する。直角三角形であれば、内接する正方形はちょうど2つ存在し、鋭角三角形であれば、内接する正方形はちょうど3つ存在する。^[5]${\displaystyle C}$

内接正方形問題を解決するには、特別なクラスの行儀のよい曲線には常に内接正方形が含まれることを証明し、任意の曲線を行儀のよい曲線の列で近似して、その列の曲線に内接する正方形の極限として内接正方形が存在すると推論するという方法が考えられます。この議論が最後まで実行されていない理由の 1 つは、正方形の列の極限が正方形そのものではなく単一の点である可能性があるためです。しかし、曲線の多くの特別なケースには内接正方形が存在することが現在では知られています。^[6]

アーノルド・エムチ (1916)は、区分 解析曲線には常に内接する正方形があることを示した。特に、これは多角形に当てはまる。エムチの証明は、与えられた直線に平行な曲線の割線分の中点によって描かれる曲線を考慮している。彼は、これらの曲線が、同様にして垂直な割線族に対して生成された曲線と交差するとき、交点の数が奇数であることを示している。したがって、与えられた曲線に内接する菱形の中心を形成する交点が常に少なくとも 1 つ存在する。2 本の垂直線を連続的に直角で回転させ、中間値定理を適用することにより、彼はこれらの菱形の少なくとも 1 つが正方形であることを示した。^[6]

ストロムキストは、すべての局所単調平面単純曲線には内接正方形が存在することを証明した。 ^[7]内接正方形が存在するための条件は、任意の点pに対して曲線Cが局所的に関数のグラフとして表される必要があるということである。 ${\displaystyle y=f(x)}$

より正確に言えば、上の任意の点に対して、近傍と固定方向（「 -軸」の方向）が存在し、 -この近傍では -の弦はと平行ではありません。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle C}$${\displaystyle U(p)}$${\displaystyle n(p)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle C}$${\displaystyle n(p)}$

局所的に単調な曲線には、すべての種類の多角形、すべての閉じた凸曲線、および 尖点のないすべての区分曲線が含まれます。 ${\displaystyle C^{1}}$

曲線 に関する局所的単調性よりもさらに弱い条件は、ある に対して、曲線 にはサイズ の内接する特殊台形が存在しないというものである。特殊台形とは、 3 つの等しい辺を持ち、各辺が 4 番目の辺より長く、曲線 自体の時計回りの順序と一致する頂点順序で曲線 に内接する等脚台形である。そのサイズは、3 つの等しい辺の周囲に広がる曲線の部分の長さである。ここで、この長さは の固定パラメータ化の領域で測定され、 は修正可能ではない可能性がある。極限の議論の代わりに、証明は相対的障害理論に基づいている。この条件は、コンパクト開位相に関して、すべてのジョルダン曲線 の空間で開かつ稠密である。この意味で、内接正方形問題は一般的な曲線に対して解決されている。^[6]${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

ジョルダン曲線が、外半径が内半径の何倍にも等しい環状体に内接し、環状体の内円と外円を隔てる形で描かれている場合、曲線には内接正方形が含まれる。この場合、与えられた曲線が何らかの行儀のよい曲線で近似されている場合、環状体の中心を含み近似に内接する大きな正方形は、中心を含まない小さな内接正方形から位相的に分離される。大きな正方形の列の極限は、やはり退化した点ではなく大きな正方形でなければならないため、極限の議論を使用することができる。^[6]${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

肯定的な答えは、中心対称曲線、コッホの雪片のようなフラクタル、直線を挟んで鏡映対称な曲線でも知られています。 ^[8]

2017年、テレンス・タオは、 2つの関数のグラフの和集合によって形成される曲線に正方形が存在することの証明を発表しました。2つの関数は両方とも曲線の端点で同じ値を持ち、両方ともリプシッツ定数が1未満のリプシッツ連続条件に従います。タオはまた、いくつかの関連する予想を定式化しました。 ^[9] 2024年、ジョシュア・グリーンとアンドリュー・ロブは、この結果をリプシッツ定数が未満の曲線に改良したプレプリントを発表しました。^[10]${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

2022年3月、グレゴリー・R・チェンバースは、が のジョルダン曲線に近いジョルダン曲線である場合、 には内接正方形が含まれることを示した。彼は、が の符号なし最大曲率であり、の像から の像への写像があり、巻数 を持つ場合、 には正の辺の長さを持つ内接正方形が含まれることを示した。^[11]${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \kappa >0}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \|f(x)-x\|<1/10\kappa }$${\displaystyle f\circ \gamma }$ ${\displaystyle 1}$${\displaystyle \gamma }$

任意のジョルダン曲線に他の図形を内接させることができるかどうか疑問に思う人もいるかもしれません。任意の三角形とジョルダン曲線に対して、 に相似でに内接する三角形が存在することが知られています。^{[12] [13]}さらに、そのような三角形の頂点の集合は に稠密です。^{[14]特に、 に内接する}正三角形が常に存在します。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle C}$${\displaystyle T}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

また、任意のジョルダン曲線には内接長方形が存在することも知られています。これは、ヴォーンがにおける射影平面の非埋め込み可能性の問題に帰着させることで証明しました。1977 年頃の彼の証明は Meyerson で出版されています。^[15] 2020 年に、モラレスとビリャヌエバは、少なくとも 1 つの内接長方形が存在する局所連結な平面連続体を特徴付けました。^[16] 2020 年に、ジョシュア・エヴァン・グリーンとアンドリュー・ロブは、ユークリッド平面内のすべての滑らかなジョルダン曲線と長方形に対して、その頂点が 上にある類似の長方形が存在することを証明しました。^{[4] [17] [18]}これは、Šnirel'man (1944) の研究以来知られていた、長方形 (任意の形状) の存在と滑らかな曲線上の正方形の存在の両方を一般化します。^[3] 2021年にグリーンとロブは2020年の結果を拡張し、すべての滑らかなジョルダン曲線がすべての巡回四辺形に内接することを証明した（方向保存相似性を除いて）。^[19]${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle C}$

内接四角形問題の一般化では、曲線の内接多角形や、さらに高次元ユークリッド空間のより一般的な連続体について検討する。例えば、ストロムキストは、任意の点の適切な近傍における2 本の弦が直交しないという「条件 A」を満たす におけるすべての連続閉曲線には、辺と対角線が等しい内接四辺形が含まれることを証明した。^[7]このクラスの曲線にはすべての曲線が含まれる。ニールセンとライトは、 における任意の対称連続体には多数の内接長方形が含まれることを証明した。 ^[8]${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• クレー、ヴィクター、ワゴン、スタン(1991)、「内接四角形」、平面幾何学と数論における古くて新しい未解決問題、ドルチアーニ数学解説集、第 11 巻、ケンブリッジ大学出版局、pp. 58–65、137–144、ISBN 978-0-88385-315-3

• マーク・J・ニールセン『曲線に刻まれた図形』。古い問題の短い解説
• 内接四角形：ジョーダン・エレンバーグのブログでデンネが語る
• Grant Sanderson、「誰がトポロジーを気にするのか? (内接長方形問題)」、3Blue1Brown、YouTube a – 問題の簡略化されたバージョンに対するトポロジーのソリューションを示すビデオ。