ガウス堀

数論において、ガウスの堀問題とは、連続する数の間の差が有限であるような、異なるガウス素数の無限列を見つけることが可能かどうかを問う問題である。より鮮明に言えば、ガウス素数を複素数の海に浮かぶ飛び石と想像すると、有限の大きさのステップで原点から無限大まで濡れずに歩くことができるかどうかという問題となる。この問題は1962年にバジル・ゴードンによって初めて提起され（ただし、ポール・エルデシュのものと誤って考えられたこともある）、未解決のままである。^[1]

通常の素数では、そのような数列は不可能である。素数定理は、素数列に任意の大きさのギャップがあることを意味し、また、任意のnに対して、n  − 1 個の連続する数n ! + 2、n ! + 3、...、n ! +  n はすべて合成数であるという基本的な直接証明もある。^[1]

2 つのガウス素数間の最大ホップ サイズを最小化するパスを見つける問題は、ミニマックス パス問題の一例であり、最適パスのホップ サイズは 2 つの素数間の最も広い堀の幅に等しくなります。ここで、堀は素数を 2 つのサブセットに分割することで定義され、その幅は各サブセットに 1 つの要素を持つ最も近いペア間の距離です。したがって、ガウス堀問題は、異なるが同等の形式で表現できます。原点側に有限個の素数を持つ堀の幅に有限の境界があるか? ^[1]

計算による調査により、原点は幅 6 の堀で無限大から隔てられていることがわかった。^[2] 任意の正の数kに対して、最も近い隣接点が距離k以上にあるガウス素数が存在することが知られている。実際、これらの数は実軸上にあるように制約される場合がある。たとえば、数 20785207 は幅 17 の堀に囲まれている。したがって、任意の幅の堀が確かに存在するが、これらの堀は必ずしも原点と無限大を隔てるわけではない。^[1]

• ガイ、リチャード・K.（2004）、数論における未解決問題（第3版）、シュプリンガー・フェアラーク、pp.55-57、ISBN 978-0-387-20860-2、Zbl  1058.11001

• ワイスタイン、エリック・W.「堀越え問題」。マスワールド。