ウッディン・カーディナル

集合論において、ウッディン基数（W. ヒュー・ウッディンにちなんで名付けられた）は、すべての関数 に対して、となる 基数と、フォン・ノイマン宇宙から臨界点およびとなる推移的内部モデルへの基本埋め込みが存在するような基数です。 ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle f:\lambda \to \lambda }$${\displaystyle \kappa <\lambda }$${\displaystyle \{f(\beta )\mid \beta <\kappa \}\subseteq \kappa }$ ${\displaystyle j:V\to M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle V_{j(f)(\kappa )}\subseteq M}$

同等の定義は次のようになります:が Woodin である場合、かつ が強くアクセス不可能であり、すべてに対して-強いが存在する場合に限ります。 ${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle A\subseteq V_{\lambda }}$${\displaystyle \lambda _{A}$${\displaystyle <\lambda }$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \lambda_{A}}$-強であるということは、すべての順序数に対して、臨界点、、およびを伴う基本埋め込みが存在することを意味します。(強基数も参照してください。) ${\displaystyle <\lambda }$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha <\lambda }$${\displaystyle j:V\to M}$ ${\displaystyle \lambda_{A}}$${\displaystyle j(\lambda _{A})>\alpha }$${\displaystyle V_{\alpha }\subseteq M}$${\displaystyle j(A)\cap V_{\alpha }=A\cap V_{\alpha }}$

ウッディン基数の前には定常な測定可能な基数集合があり、したがってそれはマーロ基数です。しかし、最初のウッディン基数は弱コンパクトでさえありません。

階層（フォン・ノイマン階層として知られる）は、 上の超限再帰によって定義されます。 ${\displaystyle V_{\alpha}}$${\displaystyle \alpha}$

• ${\displaystyle V_{0}=\varnothing }$、
• ${\displaystyle V_{\alpha +1}={\mathcal {P}}(V_{\alpha })}$、
• ${\displaystyle V_{\alpha }=\bigcup _{\beta <\alpha }V_{\beta }}$が極限順序数である場合。${\displaystyle \alpha }$

任意の順序数 に対して、は集合です。すべての順序数の集合の和集合は集合ではなく、適切なクラスです。集合の中には集合論的な性質を持つものもあります。たとえば、がアクセス不可能な基数である場合、は 2 階 ZFC を満たします (ここでの「満たす」とは、1 階論理からの 満足の概念を意味します)。${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle V_{\alpha }}$${\displaystyle V_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle V_{\alpha }}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle V_{\kappa }}$

推移的 クラス に対して、関数 が基本埋め込みであるとは、集合論の言語における自由変数を持つ任意の式 に対して が である場合に限り、 であるときであると言われます。ここでは前述のように一階述語論理の充足の概念です。基本埋め込みは、恒等式でない場合、非自明であると呼ばれます。 が非自明な基本埋め込みである場合、となる順序数が存在し、そのような最小の順序数は の臨界点と呼ばれます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle j:V\to M}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle V\vDash \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle M\vDash \phi (j(x_{1}),\ldots ,j(x_{n}))}$${\displaystyle \vDash }$${\displaystyle j}$${\displaystyle j:V\to M}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle j(\kappa )\neq \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle j}$

多くの大きな基数特性は、基本埋め込みの観点から表現できます。順序数 について、臨界点が であり、さらに であるような非自明な基本埋め込みが存在するような推移クラスが見つかる場合、基数は-強であると言われます。 ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle M}$${\displaystyle j:V\to M}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle V_{\beta }\subseteq M}$

-強い基数の概念の強化とは、より大きな基数における基数の -強さの概念です。およびが の基数であり、 がのサブセットである場合、はすべて に対して、が-強いことを証明する非自明な基本埋め込みが存在し、さらに が存在する場合、 はにおいて-強いと言われます。( が において -強いとすると、がすべての に対して -強いことが意味するため、任意の がと等しく、のサブセットであり、したがって の値域のサブセットである必要があるため、これは強化です。) 最後に、の任意の選択に対して、において -強いような が存在する場合、基数はWoodin です。^[1]${\displaystyle \beta }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \kappa <\delta }$${\displaystyle A}$${\displaystyle V_{\delta }}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \beta <\delta }$${\displaystyle j:V\to M}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle j(A)\cap V_{\beta }=A\cap V_{\beta }}$${\displaystyle A=V_{\delta }}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta <\delta }$${\displaystyle \beta <\delta }$${\displaystyle V_{\delta }\cap V_{\beta }=V_{\beta }}$${\displaystyle j(A)\cap V_{\beta }}$${\displaystyle V_{\delta }}$${\displaystyle j(A)}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle A\subseteq V_{\delta }}$${\displaystyle \kappa <\delta }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \delta }$

ウッディン基数は記述集合論において重要である。マーティンとスティールの結果^[2]によれば、無限個のウッディン基数が存在することは射影的決定性を意味し、それはすべての射影集合がルベーグ測定可能であり、ベール特性（開集合と希薄集合だけ異なる、つまりどこにも稠密でない集合の可算和である集合）と完全集合特性（可算であるか完全部分集合を含む）を持つことを意味する。

ウッドイン基数の存在の一貫性は、決定性仮説を使用して証明できます。ZF + AD + DCで作業すると、ウッドイン基数が遺伝的に順序数定義可能な集合のクラスに属していることを証明できます。は、連続体を順序数定義可能な全射によってマッピングできない最初の順序数です ( Θ (集合論)を参照)。 ${\displaystyle \Theta _{0}}$${\displaystyle \Theta _{0}}$

ミッチェルとスティールは、ウッディン基数が存在すると仮定すると、ウッディン基数を含む内部モデルが存在し、その中で実数の-well-orderingが存在し、 ◊が成り立ち、一般化連続体仮説が成り立つことを示した。^[3]${\displaystyle \Delta _{4}^{1}}$

シェラは、ウッディン基数の存在が矛盾しないならば、 上の非定常イデアルが -飽和であることも矛盾しないことを証明しました。ウッディンはまた、無限個のウッディン基数の存在の同値性と上の -稠密イデアルの存在も証明しました。 ${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \aleph _{2}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$

基数が ハイパーウッディン基数と呼ばれるのは、任意の集合に対して集合 ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \{\lambda <\kappa \mid \lambda }$強い​​​${\displaystyle <\kappa }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \}}$

は です。 ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \lambda }$は、それぞれに対して推移的クラスと基本埋め込みが存在する場合にのみ、強い${\displaystyle <\kappa }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \delta <\kappa }$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle j:V\to N}$

と

${\displaystyle \lambda ={\text{crit}}(j),}$

${\displaystyle j(\lambda )\geq \delta }$、 そして

${\displaystyle j(S)\cap H_{\delta }=S\cap H_{\delta }}$。

この名前は、基数がウッドインであるための必要十分条件は、 任意の集合に対して集合${\displaystyle S}$

${\displaystyle \{\lambda <\kappa \mid \lambda }$強い​​​${\displaystyle <\kappa }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \}}$

は定常集合です。

この測定値には、以下のすべてのシェラ基数の集合が含まれます。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle \kappa }$

基数が 弱ハイパーウッディンであるとは、任意の集合に対して上の正規測度が存在し、その集合がにおいて- -強であるときである。が- - 強であるのは、各に対して 、 、を含む推移的類と基本埋め込みが存在するときであり、${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \{\lambda <\kappa \mid \lambda }$${\displaystyle <\kappa }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle <\kappa }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \delta <\kappa }$${\displaystyle N}$${\displaystyle j:V\to N}$${\displaystyle \lambda ={\text{crit}}(j)}$${\displaystyle j(\lambda )\geq \delta }$${\displaystyle j(S)\cap H_{\delta }=S\cap H_{\delta }.}$

この名前は、任意の集合 に対して、集合 が であり、強いが定常である場合、基数は Woodin であるという古典的な結果を暗示しています。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle \{\lambda <\kappa \mid \lambda }$${\displaystyle <\kappa }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \}}$

ハイパー ウッディン基数と弱ハイパー ウッディン基数の違いは、 の選択がハイパー ウッディン基数の 集合の選択に依存しないことです。${\displaystyle U}$${\displaystyle S}$

を基数とし、 より大きい最小の順序数をとします。となる任意の関数に対して、 となるようなものが存在し、 かつ となるような拡張が存在するとき、その基数はWoodin-in-the-next-admissible であるといいます。これらの基数は、反復木からモデルを構築するときに現れます。^{[4] p.4}${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle f:\delta \to \delta }$${\displaystyle f\in L_{\alpha }(V_{\delta })}$${\displaystyle \kappa <\delta }$${\displaystyle f[\kappa ]\subseteq \kappa }$${\displaystyle E\in V_{\delta }}$${\displaystyle \mathrm {crit} (E)=\kappa }$${\displaystyle V_{i_{E}(f)(\kappa )}\subset \mathrm {Ult} (V,E)}$

• 金森章弘（2003）．The Higher Infinite: 集合論における大規模基数をその始まりから(第 2 版)。スプリンガー。ISBN 3-540-00384-3。
• 結果に挙げられている 2 つの結果の証明については、Handbook of Set Theory (Eds. Foreman、Kanamori、Magidor) (近日公開予定) を参照してください。いくつかの章の草稿が利用可能です。
• アーネスト・シマーリング「ウッディン基数、シェラ基数、ミッチェル・スティール核モデル」、アメリカ数学会紀要 130/11、pp. 3385–3391、2002 年、オンライン