マクドナルド多項式

数学において、マクドナルド多項式 P _λ ( x ; t , q ) は、1987 年にマクドナルドによって導入された、複数の変数を持つ直交 対称多項式の族です。彼は後に 1995 年に非対称の一般化を導入しました。マクドナルドは当初、この多項式を有限ルート システムの重み λ に関連付け、変数t を1 つだけ使用していましたが、後に、有限ルート システムではなくアフィン ルート システムに関連付ける方が自然であることに気付きました 。この場合、変数tは、アフィン ルート システムのk個のルートの軌道のそれぞれに 1 つずつ、複数の異なる変数 t =( t 1 ,..., t k ) に置き換えることができます。マクドナルド多項式は、 n変数_x = ( _x 1 , ... , x _n )の_多項式です。それらは、ジャック多項式、ホール–リトルウッド多項式、アスキー–ウィルソン多項式などの他の多くの直交多項式の族を一般化し、さらに、名前の付いた1 変数直交多項式のほとんどを特殊なケースとして含みます。コーンワインダー多項式は、特定の非約数ルート システムのマクドナルド多項式です。それらは、アフィン ヘッケ代数やヒルベルト スキームと深い関係があり、マクドナルドがそれらについて行ったいくつかの予想を証明するために使用されました。

まず表記を修正します:

• R は実ベクトル空間V内の有限ルート系です。
• R ^{+ は}正の根の選択であり、正のワイルチャンバーに対応します。
• W はRのワイル群です。
• Q はRのルート格子(ルートによって張られる格子) です。
• P はRの重み格子（Qを含む）です。
• 重みの順序付け:が単純根の非負の線形結合である場合に限ります。${\displaystyle \mu \leq \lambda }$${\displaystyle \lambda -\mu}$
• P ^{+ は}主要な重みの集合、つまり正のワイルチャンバー内のPの要素です。
• ρ はワイルベクトルです。正の根の合計の半分です。これは正のワイルチャンバーの内部にあるP ^{+の特別な要素です。}
• F は特性 0 の体であり、通常は有理数です。
• A = F ( P ) はPの群代数であり、 λ ∈ Pに対してe ^λと表記される要素の基底を持ちます。
• f = e ^λの場合、f はe ^−λ を意味し、これは線型性によって群代数全体に拡張されます。
• m _μ = Σ _{λ ∈ W μ} e ^λは軌道の合計です。これらの要素は、 Wによって固定された要素の部分代数A ^Wの基礎を形成します。
• ${\displaystyle (a;q)_{\infty }=\prod _{r\geq 0}(1-aq^{r})}$、無限q-ポッホハマー記号。
• ${\displaystyle \Delta =\prod _{\alpha \in R}{(e^{\alpha };q)_{\infty } \over (te^{\alpha };q)_{\infty }}.}$
• ${\displaystyle \langle f,g\rangle =({\text{f{\overline {g}}\Delta の定数項)/|W|}$少なくともt がqの正の整数乗である場合、 Aの 2 つの要素の内積です。

λ ∈ P ⁺に対するマクドナルド多項式 P _{λ は}、次の 2 つの条件によって一意に定義されます。

${\displaystyle P_{\lambda }=\sum _{\mu \leq \lambda }u_{\lambda \mu }m_{\mu }}$ここでu _λμはu _λλ = 1となるqとtの有理関数である。

λ < μ の場合、 P _λとP _{μ は}直交します。

言い換えれば、マクドナルド多項式はA ^Wの明らかな基底を直交化することで得られる。これらの特性を持つ多項式の存在は簡単に示すことができる（任意の内積について）。マクドナルド多項式の重要な特性は、それらが直交していることである：λ ≠ μ のときはいつでも 〈P _λ , P _μ〉 = 0。これは定義の自明な帰結ではない。なぜならP ^{+ は}完全に順序付けられておらず、比較できない要素が多数あるためである。したがって、対応する多項式が依然として直交していることを確認する必要がある。直交性は、マクドナルド多項式が 1 次元の固有空間を持つ可換な自己随伴演算子の代数の固有ベクトルであることを示し、異なる固有値の固有空間は直交しなければならないという事実を使用することで証明できる。

単純でないルート系 (B、C、F、G) の場合、パラメータt はルートの長さに応じて変化するように選択でき、3 パラメータのマクドナルド多項式族が得られます。定義を非既約ルート系 BC に拡張することもできます。その場合、コーンワインダー多項式と呼ばれる 6 パラメータ族 (ルートの各軌道に1 つのtと、さらにq )が得られます。マクドナルド多項式は、おそらく既約でないアフィンルート系に依存すると見なす方がよい場合があります。この場合、アフィンルート系のルートの各軌道に関連付けられた1 つのパラメータt と、さらに 1 つのパラメータqがあります。ルートの軌道の数は 1 から 5 まで変化します。

• q = tの場合、マクドナルド多項式はルートシステムのコンパクト群の表現のワイル指標、またはタイプAのルートシステムの場合はシューア関数になります。
• q = 0の場合、マクドナルド多項式は半単純p進群の（再スケールされた）ゾーン球面関数になり、ルート系がタイプAの場合、ホール–リトルウッド多項式になります。
• t =1の場合、マクドナルド多項式はW軌道上の和となり、ルートシステムがタイプAの場合の単項式対称関数となります。
• t = q ^αとし、q を1 に近づけると、ルート系がA型のときはマクドナルド多項式はジャック多項式になり、より一般的なルート系ではヘックマン-オプダム多項式になります。
• アフィン根系A ₁の場合、マクドナルド多項式はロジャース多項式です。
• （C^∨
  ₁, C ₁ )の場合、マクドナルド多項式はアスキー・ウィルソン多項式であり、これは1変数の直交多項式のほとんどの名前付き族を特別な場合として含みます。
• （C^∨
  _いいえ, C _n )の場合、マクドナルド多項式はコルンワインダー多項式です。

ある正の整数kに対してt = q ^kとすると、マクドナルド多項式のノルムは次のように与えられる。

${\displaystyle \langle P_{\lambda },P_{\lambda }\rangle =\prod _{\alpha \in R,\alpha >0}\prod _{0<i<k}{1-q^{(\lambda +k\rho ,2\alpha /(\alpha ,\alpha ))+i} \over 1-q^{(\lambda +k\rho ,2\alpha /(\alpha ,\alpha ))-i}}.}$

これは、ダイソン予想の一般化としてマクドナルド (1982) によって予想され、二重アフィンヘッケ代数の特性を使用してチェレドニク (1995) によってすべての (簡約) ルート系に対して証明されました。この予想は、 E _n型を除くすべてのルート系に対して、以前に複数の著者によって個別に証明されていました。

この文脈では、ノルム予想と合わせてマクドナルド予想と呼ばれる他の2つの予想がある。マクドナルドは、ノルムの式に加えて、点tρにおける_Pλの値の式と対称性 について予想した^。

${\displaystyle {\frac {P_{\lambda }(\dots ,q^{\mu _{i}}t^{\rho _{i}},\dots )}{P_{\lambda }(t^{\rho })}}={\frac {P_{\mu }(\dots ,q^{\lambda _{i}}t^{\rho _{i}},\dots )}{P_{\mu }(t^{\rho })}}.}$

また、これらは、二重アフィンヘッケ代数を使用して、 Cherednik  (1995)によって一般の既約ルート系に対して証明され、その後すぐに van Diejen、Noumi、および Sahi の研究によって BC の場合への拡張が続きました。

A _{n −1}型のルートシステムの場合、マクドナルド多項式は、係数がqおよびtの有理関数であるn変数の対称多項式にすぎません。マクドナルド多項式の特定の変換バージョン(以下の組み合わせ公式を参照) は、 上の対称関数の空間の直交基底を形成するため、シュア関数で表すことができます。これらの関係の係数K _λμ ( q、t ) は、コストカ–マクドナルド係数またはqt -コストカ係数と呼ばれます。マクドナルドは、コストカ–マクドナルド係数がqおよびtの多項式で、係数が非負の整数であると予想しました。これらの予想は現在では証明されています。最も困難で最後のステップは正値性の証明でしたが、これはMark Haiman (2001)がn ! 予想を証明することで実現しました。 ${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }}$${\displaystyle \mathbb {Q} (q,t)}$ ${\displaystyle s_{\lambda }}$

qt-コストカ係数の組合せ論的公式を見つけることは、代数的組合せ論において依然として中心的な未解決問題です。

アドリアーノ・ガルシアとマーク・ハイマンのn !予想は、 nの各分割μに対して、空間

${\displaystyle D_{\mu }=C[\partial _{x},\partial _{y}]\,\Delta _{\mu }}$

のすべての高次の偏微分によって張られる

${\displaystyle \Delta _{\mu }=\det(x_{i}^{p_{j}}y_{i}^{q_{j}})_{1\leq i,j,\leq n}}$

は次元n ! を持ち、ここで ( p _j , q _j )は分割 μ の図のn個の要素を通る。これは非負整数のペアの部分集合とみなされる。例えば、 μ がn  = 3 の分割 3 = 2 + 1 である場合、ペア ( p _j , q _j ) は (0, 0)、(0, 1)、(1, 0) であり、空間D _μは

${\displaystyle \Delta _{\mu }=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}}$

${\displaystyle y_{2}-y_{3}}$

${\displaystyle y_{3}-y_{1}}$

${\displaystyle x_{3}-x_{2}}$

${\displaystyle x_{1}-x_{3}}$

${\displaystyle 1}$

次元は 6 = 3! です。

ハイマンによるマクドナルド正値予想とn ! 予想の証明には、平面上のn点の等スペクトルヒルベルト方式がコーエン・マコーレー(さらにはゴレンシュタイン) であることを示すことが含まれていました。ハイマンとガルシアの以前の結果では、これがn ! 予想を意味し、n ! 予想がコストカ・マクドナルド係数がモジュールD _μの段階的特性多重度を意味することがすでに示されていました。特性多重度は非負の整数でなければならないため、これは直ちにマクドナルド正値予想を意味します。

Ian Grojnowski と Mark Haiman は、 LLT 多項式の正値性予想を証明することによって、マクドナルド正値性予想の別の証明を発見しました。

2005 年、J. Haglund、M. Haiman、N. Loehr ^[1]は、マクドナルド多項式の組み合わせ論的解釈の最初の証明を与えました。1988 年には、IG Macdonald ^{[2] が}、マクドナルド多項式の組み合わせ論的解釈の 2 番目の証明を与えました (式 (4.11) と (5.13))。マクドナルドの公式は、Haglund、Haiman、Loehr の研究の公式とは異なり、項がはるかに少ないです (この公式は、マクドナルドの独創的な研究である^[3] Ch. VI (7.13) でも証明されています)。計算には非常に便利で、それ自体興味深いものですが、彼らの組み合わせ論的公式は、マクドナルド多項式をSchur 関数ではなく単項式対称関数に分解するため、Kostka-Macdonald 係数の正値を直ちに意味するものではありません。 ${\displaystyle K_{\lambda \mu }(q,t),}$

通常の ではなく、変換されたマクドナルド多項式 で書かれており、 ${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }}$${\displaystyle P_{\lambda }}$

${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)=\sum _{\sigma :\mu \to \mathbb {Z} _{+}}q^{inv(\sigma )}t^{maj(\sigma )}x^{\sigma }}$

ここで、σ は形状 μ のヤング図の充填であり、 invおよびmaj は充填 σ で定義される特定の組み合わせ統計 (関数) です。この式は、マクドナルド多項式を無限変数で表します。n 変数の多項式を得るには、整数 1、2、...、nのみを使用する充填に式を制限します。項x ^{σ は}次のように解釈する必要があります。ここで、σ _{i は、}内容iの μ の充填におけるボックスの数です。 ${\displaystyle x_{1}^{\sigma _{1}}x_{2}^{\sigma _{2}}\cdots }$

上記の式の変換されたマクドナルド多項式は、一連の変換を介して古典的なマクドナルド多項式に関連付けられます。まず、と表記されるマクドナルド多項式の積分形式は、係数の分母をクリアする の再スケーリングです。${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)}$${\displaystyle P_{\lambda }}$${\displaystyle J_{\lambda }(x;q,t)}$${\displaystyle P_{\lambda }(x;q,t)}$

${\displaystyle J_{\lambda }(x;q,t)=\prod _{s\in D(\lambda )}(1-q^{a(s)}t^{1+l(s)})\cdot P_{\lambda }(x;q,t)}$

ここで、 はのヤング図における正方形の集合であり、および は図に示すように 正方形 の腕と脚を表します。注: 右の図では、タブローにフランス語表記を使用していますが、これは、Young 図に関する Wikipedia のページで使用されている英語表記とは上下が反転しています。フランス語表記は、マクドナルド多項式の研究ではより一般的に使用されています。${\displaystyle D(\lambda )}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle a(s)}$${\displaystyle l(s)}$${\displaystyle s}$

変換されたマクドナルド多項式は、 の項で定義できます。 ${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)}$${\displaystyle J_{\mu }}$

${\displaystyle {\widetilde {H}}_{\mu }(x;q,t)=t^{-n(\mu )}J_{\mu }\left[{\frac {X}{1-t^{-1}}};q,t^{-1}\right]}$

どこ

${\displaystyle n(\mu )=\sum _{i}\mu _{i}\cdot (i-1).}$

上記の括弧表記は、容積脈波置換術を表します。

この式は、ジャック多項式に対する Knop と Sahi の式を証明するために使用できます。

1995 年にマクドナルドは対称マクドナルド多項式の非対称類似物を導入し、対称マクドナルド多項式は非対称対応物から簡単に復元できるようになりました。彼の独自の定義では、非対称マクドナルド多項式は特定の内積に直交する唯一の多項式族であり、単項式基底で展開すると三角形の性質を満たすことを示しています。

2007 年、Haglund、Haiman、Loehr は非対称マクドナルド多項式の組み合わせ式を提示しました。

非対称マクドナルド多項式は、q=t=0 をとることでデマズール指標に特化し、q=t=∞ のときはキー多項式に特化します。

2018 年、S. Corteel、O. Mandelshtam、L. Williams は、排他過程を用いて、対称および非対称のマクドナルド多項式の両方の直接的な組み合わせ特性評価を行った。^[4]彼らの結果は、マクドナルド多項式の変換ではなく、直接その式を与えている点で、Haglund の以前の研究とは一部異なっている。彼らは、ボールまたは空のセルを含む行列と、ボールとその近傍との間のマッピングおよび組み合わせラベル付けメカニズムであるマルチラインキューの概念を展開した。非対称マクドナルド多項式は、次の式を満たしている。

${\displaystyle E_{\lambda }({\textbf {x}};q,t)=\sum _{Q}\mathrm {wt} (Q)}$

ここで、合計はタイプのマルチラインキューすべてにわたっており、それらのキューを特定の多項式にマッピングする重み関数です。対称マクドナルド多項式は以下を満たします。 ${\displaystyle L\times n}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathrm {wt} }$

${\displaystyle P_{\lambda }({\textbf {x}};q,t)=\sum _{\mu }E_{\mu }(x_{1},...,x_{n};q,t)=\sum _{\mu }\sum _{Q}\mathrm {wt} (Q)}$

ここで、外側の和はの順列であるすべての異なる合成にわたっており、内側の和は前と同じです。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$

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