ワインスタイン予想

数学において、ワインスタイン予想は、ハミルトン流またはレーブベクトル流の周期軌道の一般的な存在問題を指します。より具体的には、この予想は、コンパクトな接触多様体上で、そのレーブベクトル場は少なくとも 1 つの周期軌道を持つ必要があると主張しています。

定義により、接触型のレベル セットは、ハミルトン ベクトル フィールドをシンプレクティック形式に縮約することによって得られる接触形式を許容します。この場合、ハミルトン フローはそのレベル セット上のレーブ ベクトル フィールドです。任意の接触多様体 ( M、α) を標準シンプレクティック多様体に埋め込むことができることは事実であり、これをMのシンプレクティゼーションと呼びます。この場合、M は(標準的に定義されたハミルトニアンの) 接触型レベル セットであり、レーブ ベクトル フィールドはハミルトン フローです。つまり、任意の接触多様体は、ワインスタイン予想の要件を満たすようにすることができます。簡単に示せるように、ハミルトン フローの任意の軌道はレベル セットに含まれているため、ワインスタイン予想は接触多様体に関するステートメントです。

あらゆる接触形式は、閉じたレーブ軌道を許容する形式と同位体であることが知られています。たとえば、あらゆる接触多様体には、その束縛が閉じたレーブ軌道である、互換性のあるオープンブック分解があります。ただし、これだけではワインスタイン予想を証明するのに十分ではありません。ワインスタイン予想では、あらゆる接触形式は閉じたレーブ軌道を許容するのに対し、オープンブックは、与えられた形式とのみ同位体である形式の閉じたレーブ軌道を決定すると述べているためです。

この予想は1978年にアラン・ワインスタインによって定式化された。^[1] いくつかのケースでは、周期軌道の存在は知られていた。例えば、ラビノウィッツは、シンプレクティック多様体上のハミルトン関数の星型レベルセットには、常に周期軌道が存在することを示した（ワインスタインは、凸レベルセットの特殊なケースを独立に証明した）。^[2] ワインスタインは、そのような存在定理のいくつかに関する仮説は、レベルセットが接触型であるという条件に包含され得ることを観察した。（ワインスタインの当初の予想には、レベルセットの最初のド・ラーム・コホモロジー群が自明であるという条件が含まれていたが、この仮説は不要であることが判明した）。

ワインスタイン予想は、 1986年にヴィテルボ [fr]によって接触超曲面に対して初めて証明され、^[3]その後、ホーファー・ヴィテルボによって余接束に、フローアー・ホーファー・ヴィテルボによってより広い非球面多様体のクラスに拡張された。ホーファー・ヴィテルボは正則球面の存在を利用した。^[4]これらすべての場合、接触多様体がシンプレクティック多様体の接触部分多様体である状況を扱っていた。この仮定のない新しいアプローチは、ホーファーによって次元3で発見され、接触ホモロジーの起源となった。^[5]${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

ワインスタイン予想は、クリフォード・タウベスによって、すべての閉じた3次元多様体に対して証明されました。^{[6]この証明は、ザイバーグ・ウィッテン}・フローアー・ホモロジー の変形を使用し、ザイバーグ・ウィッテン不変量とグロモフ不変量がシンプレクティック4次元多様体上で同値であるというタウベスの証明に類似した戦略を追求しています。特に、この証明は、任意の接触3次元多様体の埋め込まれた接触ホモロジーが自明ではないことを示すことにより、ワインスタイン予想を証明するという密接に関連したプログラムへの近道を提供します。

• ザイフェルト予想

• ギンズバーグ (2003)。「ワインスタイン予想と近傍存在およびほぼ存在の定理」。arXiv : math /0310330。
• Hutchings, M. (2010). 「Taubes による 3 次元 Weinstein 予想の証明」(PDF) .アメリカ数学会報. 47 (1): 73–125. arXiv : 0906.2444 . CiteSeerX  10.1.1.249.8129 . doi :10.1090/S0273-0979-09-01282-8. MR  2566446. S2CID  12736780.