脱出セット

数学、特に複素力学において、関数ƒのエスケープ セットは、 ƒ を繰り返し適用したときに無限大に近づくすべての点から構成されます。 ^[1] つまり、複素数は、 によって定義されるシーケンスが が大きくなるにつれて無限大に収束する場合に限り、エスケープ セットに属します。のエスケープ セットは と表記されます。^[1] ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle z_{n+1}:=f(z_{n})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle I(f)}$

例えば、 の場合、原点はエスケープセットに属します。これは、シーケンス ${\displaystyle f(z)=e^{z}}$

${\displaystyle 0,1,e,e^{e},e^{e^{e}},\dots }$

無限大に近づく。

超越整関数の反復は、1926年にピエール・ファトゥによって初めて研究されました^[2]。脱出集合は、明示的な整関数と の研究において暗黙的に現れます。 ${\displaystyle f(z)=z+1+\exp(-z)}$${\displaystyle f(z)=c\sin(z)}$

一般の超越整関数の脱出集合に関する最初の研究は、ウィマン・ヴァリロン理論を用いたアレクサンドル・エレメンコによるものである。^[3]彼は、超越整関数の脱出集合のすべての連結成分は無限である と予想した。これはエレメンコ予想として知られるようになった。^{[1] [4]}この問題には多くの部分的な結果があるが、2013年現在、この予想はまだ未解決である。

エレメンコはまた、すべての脱出点が脱出集合内の曲線によって無限大に接続できるかどうかも尋ねたが、後にそうではないことが示された。実際、脱出集合に曲線がまったく含まれない関数全体が存在する。^[4]

任意の非定数かつ非線形の整関数のエスケープセットには、次の特性が成り立つことが知られています。(ここで、非線形とは、関数が の形式ではないことを意味します。) ${\displaystyle f(z)=az+b}$

• 脱出集合には少なくとも1つの点が含まれる。^[a]
• 脱出集合の境界はジュリア集合とまったく同じである。[ b ]^特に、脱出集合は決して閉じない。
• 超越整関数の場合、エスケープ集合は常にジュリア集合と交差します。^[c]特に、エスケープ集合が開いているのは、が多項式である場合のみです。${\displaystyle f}$
• 脱出集合の閉包の連結成分はすべて無限である。^[d]
• エスケープセットには常に少なくとも1つの無制限の接続コンポーネントが含まれます。^[1]
• 脱出集合は連結しているか、無限個の成分を持つ。^[5]
• セットは接続されている。^[5]${\displaystyle I(f)\cup \{\infty \}}$

最後の文はエレメンコの予想を意味するものではないことに注意してください。(実際、単一の分散点を除去すると残りの空間が完全に切断される連結空間が存在します。)

2 次多項式は、リーマン球面の解析的自己写像に拡張され、無限遠に超吸引不動点を持ちます。脱出集合はまさにこの不動点の吸引域であり、そのため通常は **無限域** と呼ばれます。この場合、は複素平面の開いた連結な部分集合であり、ジュリア集合はこの域の境界です。 ${\displaystyle I(f)}$

たとえば、複素二次多項式 の脱出集合は、閉じた単位円の補集合から正確に構成されます。 ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$

${\displaystyle I(f)=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|>1\}.}$

超越整関数の場合、エスケープセットは多項式の場合よりもはるかに複雑です。図に示されているような最も単純なケースでは、エスケープセットは無数の曲線で構成され、ヘアまたは光線と呼ばれます。他の例では、エスケープセットの構造は非常に異なる場合があります（クモの巣）。^[6]前述のように、エスケープセットに曲線が含まれない超越整関数の例があります。^[4]

定義により、エスケープセットは である。または のどちらでもない。^[7]指数クラス の関数の場合、エスケープセットは ではない。^[8]${\displaystyle F_{\sigma \delta }{\text{ set}}}$${\displaystyle G_{\delta}}$${\displaystyle F_{\sigma}}$${\displaystyle \exp(z)+a}$${\displaystyle G_{\delta \sigma }}$

• マンデルブロ集合のプロットアルゴリズム § 脱出時間アルゴリズム
• ターゲット設定

• ラッセ・レンペ。「エレメンコ予想に関する詩」