ガロア群

抽象代数学の一分野であるガロア理論において、ある種の体拡大のガロア群は、それが基底体をどのように拡大するかを特徴づける対称群である。ガロア群の各要素は、基底体の各要素を固定したまま体拡大を変換したものである。

ガロア理論の基本定理によって示される体と群の間のこの関係により、群論の手法を体論の問題、例えば5次多項式の解の記述などに応用することが可能になります。体の拡大と、ガロア群を介してそれらを生み出す多項式との関係を研究する学問はガロア理論と呼ばれ、これは最初にガロア理論を発見したエヴァリスト・ガロアにちなんで名付けられました。

非公式な説明

体とは、有理数のような集合のことである。 $\mathbb {Q}$ または実際の数字 $\mathbb {R}$ 加算、減算、乗算、除算の 4 つの演算が定義され、一定の標準化された特性を持つフィールド。フィールドは、同じ演算を持つより大きなフィールドに拡張できます。 $\mathbb {Q}$ 拡張可能 $\mathbb {R}$ そして $\mathbb {R}$ 複素数にも拡張できる $\mathbb {C}$ これらの拡張は、より小さな体（基本体）内では与えられた方程式の解が存在しないが、拡張体では解が存在する場合に発生する可能性がある。例えば、 $x^{2}=2$ 解決策はありません $\mathbb {Q}$ しかし、その拡張には2つの解決策がある $\mathbb {R}$ 。

体の拡大を識別し分類する問題は、群論を用いることで容易に解決できる。体の拡大はそれぞれ、基底体には「見えない」追加構造をもたらし、ガロア群はその構造を記述する。ガロア群は、拡大を変化させるが基底体は変化させない変換を考慮することで、この構造を記述する。例えば、複素共役変換は、 $a+bi\mapsto a-bi$ 、すべての実数は固定されますが、一般的には複素数は固定されません。「ガロア群」 $\mathbb {C}$ 以上 $\mathbb {R}$ 「、書かれた ${\text{Gal}}(\mathbb {C} /\mathbb {R} )$ は位数2の巡回群（同等に、2を法とする整数群）であり、その1つの非単位元は複素共役のこの変換を表します。

意味

仮に $E$ この分野の拡張である $F$ （次のように表記） $E/F$ そして「E over F 」と読みます。 $E/F$ は、の自己同型として定義される。 $E$ 修正する $F$ 点ごとに。言い換えれば、自己同型は $E/F$ 同型写像 $\alpha :E\to E$ そのため $\alpha (x)=x$ 各 $x\in F$ .の自己同型写像の集合 $E/F$ 関数合成演算によって群を形成する。この群は、時に次のように表される。 $\operatorname {自動} (E/F)。$

もし $E/F$ がガロア拡張である場合、 $\operatorname {Aut} (E/F)$ はガロア群と呼ばれます $E/F$ 、通常はで表される $\operatorname {Gal} (E/F)$ [ ¹^]

もし $E/F$ がガロア拡大でない場合、ガロア群は $E/F$ は、時として次のように定義される。 $\operatorname {Aut} (K/F)$ 、どこ $K$ ガロア閉包は $E$ 。

多項式のガロア群

ガロア群の別の定義は、既約多項式のガロア群から得られる。 $f\in F[x]$ フィールドがある場合 $K/F$ そのため $f$ 異なる線形多項式の積として表される因子

f(x)=(x-\alpha _{1})\cdots (x-\alpha _{k})\in K[x]

フィールド全体にわたって $K$ すると、多項式のガロア群は $f$ は、ガロア群として定義される。 $K/F$ どこ $K$ そうした分野の中で、最小値となる。

ガロア群の構造

ガロア理論の基本定理

ガロア理論の重要な構造定理の1つは、ガロア理論の基本定理から得られます。これは、有限ガロア拡大が与えられた場合、 $K/k$ 部分フィールドの集合間に全単射が存在する $k\subset E\subset K$ そしてサブグループ $H\subset G.$ それから、 $E$ は、不変量の集合によって与えられる。 $K$ の作用の下で $H$ 、それで

E=K^{H}=\{a\in K:\forall g\in H,\ ga=a\}

さらに、もし $H$ 正規部分群である場合 $G/H\cong \operatorname {Gal} (E/k)$ 逆に、 $E/k$ が通常の体拡大である場合、の関連部分群は $\operatorname {Gal} (K/k)$ 正常群です。

格子構造

仮定する $K_{1},K_{2}$ はガロア拡張である $k$ ガロア群を持つ $G_{1},G_{2}.$ その分野 $K_{1}K_{2}$ ガロア群と共に $G=\operatorname {Gal} (K_{1}K_{2}/k)$ 注射がある $G\to G_{1}\times G_{2}$ これは、 $K_{1}\cap K_{2}=k$ [ ²^]

導入

その結果として、これは有限回帰納的に証明できる。ガロア拡張が与えられた場合 $K_{1},\ldots ,K_{n}/k$ どこ $K_{i+1}\cap (K_{1}\cdots K_{i})=k,$ すると、対応するガロア群の同型写像が存在する。

\operatorname {Gal} (K_{1}\cdots K_{n}/k)\cong \operatorname {Gal} (K_{1}/k)\times \cdots \times \operatorname {Gal} (K_{n}/k).

例

以下の例では $F$ はフィールドであり、 $\mathbb {C} ,\mathbb {R} ,\mathbb {Q}$ はそれぞれ複素数、実数、有理数の体です。表記 $F (a)$ は、体 $F$ に要素 $a を$ 追加することによって得られる体の拡張を示します。

計算ツール

ガロア群の濃度と体拡張の次数

^{有限体拡大のガロア群[ 3 ]}を完全に決定するために必要な基本命題の1つは次のとおりです。多項式が与えられた場合 $f(x)\in F[x]$ 、させて $E/F$ をその分割体拡大とする。すると、ガロア群の位数は体拡大の次数に等しくなる。すなわち、

\left|\operatorname {Gal} (E/F)\right|=[E:F]

エイゼンシュテインの基準

多項式のガロア群を決定するための便利なツールは、アイゼンシュタインの基準から得られます。多項式が $f\in F[x]$ 既約多項式に因数分解する $f=f_{1}\cdots f_{k}$ ガロア群 $f$ それぞれのガロア群を用いて決定することができる $f_{i}$ ガロア群以来 $f$ ガロア群の各グループが含まれています $f_{i}.$

些細なグループ

$\operatorname {Gal} (F/F)$ これは、単一の要素、すなわち恒等自己同型を持つ自明な群である。

自明なガロア群の別の例は $\operatorname {Aut} (\mathbb {R} /\mathbb {Q} ).$ 実際、任意の自己同型が $\mathbb {R}$ 実数の順序を保持しなければならないため、恒等式でなければならない。

分野について考えてみましょう $K=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).$ グループ $\operatorname {Aut} (K/\mathbb {Q} )$ 恒等自己同型のみを含む。これは、 $K$ は通常の拡張ではありません。 $2$ 、

{\exp }{\bigl (}{\tfrac {2}{3}}\pi i{\bigr )}{\sqrt[{3}]{2}},\quad {\exp }{\bigl (}{\tfrac {4}{3}}\pi i{\bigr )}{\sqrt[{3}]{2}},

拡張には含まれていない、つまり $K$ は分割体ではない。

有限アーベル群

ガロア群 $\operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )$ 恒等自己同型と複素共役自己同型の2つの要素を持つ。^{[ 4 ]}

二次拡張

2次体拡張 $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q}$ ガロア群を持つ $\operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )$ 2 つの要素、恒等自己同型と自己同型を持つ $\sigma$ どの交換か ${\sqrt {2}}$ そして $-{\sqrt {2}}$ この例は、2を素数に置き換えることで一般化できます。 $p\in \mathbb {N} .$

二次拡張の積

ガロア群の格子構造を用いて、異なる素数に対して $p_{1},\ldots ,p_{k}$ ガロア群 $\mathbb {Q} \left({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{k}}}\right)/\mathbb {Q}$ は

\operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{k}}})/\mathbb {Q} \right)\cong \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}})/\mathbb {Q} \right)\times \cdots \times \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{k}}})/\mathbb {Q} \right)\cong (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{k}

円切開伸展

もう1つの有用な例は、円分多項式の分割体から得られます。これらは多項式です。 $\Phi _{n}$ 定義される

\Phi _{n}(x)=\prod _{\begin{matrix}1\leq k\leq n\\\gcd(k,n)=1\end{matrix}}\left(x-e^{2ik\pi /n}\right)

学位は $\phi (n)$ オイラーのトーシェント関数 $n$ すると、分割フィールドは $\mathbb {Q}$ は $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ 自己同型性を持つ $\sigma _{a}$ 送信中 $\zeta _{n}\mapsto \zeta _{n}^{a}$ のために $1\leq a<n$ 比較的優良 $n$ 体の次数は多項式の次数に等しいので、これらの自己同型写像はガロア群を生成する。^{[ 5 ]}もし $n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}},$ それから

\operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )\cong \prod _{a_{i}}\operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} (\zeta _{p_{i}^{a_{i}}})/\mathbb {Q} \right)

もし $n$ プライムです $p$ すると、このことから導かれる帰結は次のようになる。

\operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{p})/\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /(p-1)\mathbb {Z}

実際、任意の有限アーベル群は、クロネッカー・ウェーバーの定理により、円分体拡大の何らかの部分体のガロア群として見つけることができる。

有限体

有限アーベル群を持つガロア群のもう1つの有用な例は、有限体から得られます。qが $素数$ のべき乗で、かつ $F=\mathbb {F} _{q}$ そして $E=\mathbb {F} _{q^{n}}$ 位数のガロア体を表す $q$ そして $q^{n}$ それぞれ、そして $\operatorname {Gal} (E/F)$ $は位数n$ の巡回群であり、フロベニウス準同型によって生成される。

レベル4の例

フィールド拡張 $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {2}},{\sqrt {3}}~\!{\bigr )}{\big /}\mathbb {Q}$ 学位の例 $4$ 体拡張。^{[ 6 ]}これは2つの自己同型を持つ。 $\sigma ,\tau$ どこ $\sigma {\bigl (}{\sqrt {2}}~\!{\bigr )}=-{\sqrt {2}}$ そして $\tau {\bigl (}{\sqrt {3}}~\!{\bigr )}=-{\sqrt {3}}.$ これら2つの生成子は位数1の群を定義するので $4$ クラインの4群は、ガロア群全体を決定する。^{[ 3 ]}

別の例として、分割フィールドからの例を挙げます。 $E/\mathbb {Q}$ 多項式の

f(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1

メモしてください $(x-1)f(x)=x^{5}-1,$ の根 $f(x)$ は $\exp {\bigl (}{\tfrac {2}{5}}k\pi i{\bigr )}.$ 自己同型写像が存在する

{\begin{cases}\sigma _{\ell }:E\to E\\\sigma _{2}:\exp {\bigl (}{\tfrac {2}{5}}\pi i{\bigr )}\mapsto \exp {\bigl (}{\tfrac {2}{5}}\pi i{\bigr )}^{\ell }\end{cases}}

次数グループを生成する $4$ 。以来 $\sigma _{2}$ この群を生成するガロア群は、 $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ 。

有限非可換群

今考えてみよう $L=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega ),$ どこ $\omega$ は、1の原始立方根です。 $\operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )$ $は位数6$ の二面体群S3 $と$ 同型であり、 $L$ は実際にはの分裂体である。 $x^{3}-2$ 以上 $\mathbb {Q} .$

四元数群

四元数群は、体拡大のガロア群として見出される。 $\mathbb {Q}$ 例えば、フィールド拡張

\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {(2+{\sqrt {2}})(3+{\sqrt {3}})}}\right)

規定のガロア群を持つ。^{[ 7 ]}

素数の対称群

もし $f$ は素数次数の既約多項式である $p$ 有理係数とちょうど 2 つの非実根を持つガロア群は $f$ は完全な対称群です $S_{p}.$ ^{[ 2 ]}

例えば、 $f(x)=x^{5}-4x+2\in \mathbb {Q} [x]$ アイゼンシュタインの基準から還元不可能である。グラフをプロットすると、 $f$ グラフ作成ソフトウェアまたは紙を使用すると、3 つの実根、したがって 2 つの複素根を持つことが示され、ガロア群は $S_{5}$ 。

大域体の体拡張のガロア群の比較

グローバルな場の拡張が与えられた場合 $K/k$ （のような $\mathbb {Q} ({\sqrt[{5}]{3}},\zeta _{5})/\mathbb {Q}$ ）および評価の等価クラス $w$ の上 $K$ （例えば $p$ -進評価）および $v$ の上 $k$ それらの完備化がガロア体拡大を与える

K_{w}/k_{v}

局所体の場合、ガロア群の誘導作用がある $G=\operatorname {Gal} (K/k)$ 値の同値類の集合上で、フィールドの完備化が互換性を持つ。これはつまり、 $s\in G$ すると、局所場の誘導同型性が生じる。

s_{w}:K_{w}\to K_{sw}

我々は、 $w$ 横たわる $v$ （つまり、ガロア体拡張が存在する） $K_{w}/k_{v}$ )、場の射 $s_{w}$ 実際には同型写像である $k_{v}$ -代数。等方性部分群を取ると、 $G$ 評価クラス向け $w$

G_{w}=\{s\in G:sw=w\}

すると、大域ガロア群から局所ガロア群への射影が存在し、局所ガロア群と等方性部分群の間に同型が存在する。図式的に言えば、これは次のようになる。

{\begin{matrix}\operatorname {Gal} (K/v)&\twoheadrightarrow &\operatorname {Gal} (K_{w}/k_{v})\\\downarrow &&\downarrow \\G&\twoheadrightarrow &G_{w}\end{matrix}}

ここで、垂直方向の矢印は同型写像です。^{[ 8 ]}これにより、大域ガロア群を使用して局所体のガロア群を構成する手法が得られます。

無限群

無限群の自己同型を持つ体拡大の基本的な例は次のとおりです。 $\operatorname {Aut} (\mathbb {C} /\mathbb {Q} )$ なぜなら、それはすべての代数体拡大を含んでいるからである。 $E/\mathbb {Q}$ 例えば、フィールド拡張機能 $\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q}$ 正方形のない要素の場合 $a\in \mathbb {Q}$ それぞれ独自の学位を持っている $2$ 自己同型性、自己同型性を誘導する $\operatorname {Aut} (\mathbb {C} /\mathbb {Q} ).$

無限ガロア群の中で最も研究されているクラスの1つは絶対ガロア群であり、これはすべての有限ガロア拡大の逆極限として定義される無限プロ有限群である。 $E/F$ 固定場の場合。逆極限は次のように表される。

\operatorname {Gal} ({\overline {F}}/F):=\varprojlim _{E/F{\text{ finite separable}}}{\operatorname {Gal} (E/F)}

、

どこ ${\overline {F}}$ は、フィールドの分離可能な閉包である。 $F$ この群は位相群であることに注意してください。^{[ 9 ]}いくつかの基本的な例には、 $\operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )$ そして

\operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {F} }}_{q}/\mathbb {F} _{q})\cong {\hat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}

[ ¹⁰^]^[¹¹^]

もう一つの容易に計算できる例は、体拡張から得られる。 $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\ldots )/\mathbb {Q}$ すべての正の素数の平方根を含む。ガロア群を持つ。

\operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\ldots )/\mathbb {Q} )\cong \prod _{p}\mathbb {Z} /2

、

これはプロ有限極限から推論できる

\cdots \to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}})/\mathbb {Q} )\to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q} )\to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )

そして、ガロア群の計算を用いる。

物件

拡大がガロアであることの意義は、それがガロア理論の基本定理に従うことにある。すなわち、ガロア群の（クルル位相に関して）閉じた部分群は、体拡大の中間体に対応する。

もし $E/F$ ガロア拡張である場合、 $\operatorname {Gal} (E/F)$ クルル位相と呼ばれる位相を与えることで、プロ有限群にすることができる。

注記

↑一部の著者は $\operatorname {Aut} (E/F)$ 任意の拡張に対するガロア群として $E/F$ そして対応する表記法を使用する。例: Jacobson 2009。
1 2ラング、セルジュ。代数学（改訂第3 版）。pp. 263、273。
1 2 「抽象代数学」（PDF）。372 ～ 377ページ。2011年12月18日にオリジナルからアーカイブ（PDF）。
↑クック、ロジャー L. (2008)、『古典代数学：その性質、起源、および用途』 、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、 138ページ、 ISBN 9780470277973。
↑ダミット、フット。『抽象代数学』596ページ、14.5 円分拡大。
↑以来 $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {2}},{\sqrt {3}}~\!{\bigr )}=\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {2}}\oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {3}}\oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {6}}$ として $\mathbb {Q}$ ベクトル空間。
↑ミルン。『場の理論』46ページ。
↑ 「数体の拡張のグローバルおよびローカルガロア群の比較」。Mathematics Stack Exchange 。2020年11月11日取得。
↑ 「9.22 無限ガロア理論」。The Stacksプロジェクト。
↑ミルン。「場の理論」（PDF）。98ページ。2008年8月27日にオリジナルからアーカイブ（PDF）。
↑ 「無限ガロア理論」（PDF） 14ページ。2020年4月6日にオリジナルからアーカイブ（PDF）。

参考文献

ジェイコブソン、ネイサン（2009）[1985]。基礎代数学I（第2 版）。ドーバー出版。ISBN 978-0-486-47189-1。
ラング、セルジュ（2002）、『代数学』、大学院数学テキスト、第 211巻（改訂第3 版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-95385-4MR 1878556
Hulpke, Alexander (1999). 「ガロア群の計算手法」. Matzat, BH、Greuel, GM、Hiss, G. (編) 『アルゴリズム代数と数論』所収. Springer、ベルリン、ハイデルベルク. https://doi.org/10.1007/978-3-642-59932-3_4

外部リンク

「ガロア群」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
ガロア群と四元数群
「ガロア群」。MathPages.com。
数体の拡張における大域的ガロア群と局所的ガロア群の比較
ガロア表現-リチャード・テイラー

[1] 一部の著者は $\operatorname {Aut} (E/F)$ 任意の拡張に対するガロア群として $E/F$ そして対応する表記法を使用する。例: Jacobson 2009。

[:1-2] 1 2ラング、セルジュ。代数学（改訂第3 版）。pp. 263、273。

[:0-3] 1 2 「抽象代数学」（PDF）。372 ～ 377ページ。2011年12月18日にオリジナルからアーカイブ（PDF）。

[4] クック、ロジャー L. (2008)、『古典代数学：その性質、起源、および用途』 、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、 138ページ、 ISBN 9780470277973。

[5] ダミット、フット。『抽象代数学』596ページ、14.5 円分拡大。

[6] 以来 $\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {2}},{\sqrt {3}}~\!{\bigr )}=\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {2}}\oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {3}}\oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {6}}$ として $\mathbb {Q}$ ベクトル空間。

[7] ミルン。『場の理論』46ページ。

[8] 「数体の拡張のグローバルおよびローカルガロア群の比較」。Mathematics Stack Exchange 。2020年11月11日取得。

[9] 「9.22 無限ガロア理論」。The Stacksプロジェクト。

[10] ミルン。「場の理論」（PDF）。98ページ。2008年8月27日にオリジナルからアーカイブ（PDF）。

[11] 「無限ガロア理論」（PDF） 14ページ。2020年4月6日にオリジナルからアーカイブ（PDF）。

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