完全数

数論では、完全数とは、その正の真約数、つまりその数自体を除く約数の合計に等しい正の整数です。たとえば、6 の真約数は 1、2、3 で、1 + 2 + 3 = 6 なので、6 は完全数です。次の完全数は 28 で、1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 です。

最初の4つの完全数は6、28、496、8128である。 [ 1 ^]

ある数の真約数の合計はその約数和と呼ばれるので、完全数とはその約数和 に等しい数です。同様に、完全数とは、その正の約数すべての合計の半分の数です。記号で表すと、は約数和関数です。 ${\displaystyle \sigma _{1}(n)=2n}$${\displaystyle \sigma _{1}}$

この定義は古く、ユークリッドの『原論』 (VII.22)にすでに登場し、そこではτέλειος ἀριθμός (完全数、理想数、または完全な数)と呼ばれています。ユークリッドはまた、が正の整数の形の素数である場合はいつでも偶数の完全数であるという形成規則(IX.36)も証明しました。これは現在ではメルセンヌ素数と呼ばれています。2000年後、レオンハルト・オイラーはすべての偶数の完全数がこの形であることを証明しました。^[2]これはユークリッド・オイラーの定理として知られています。 ${\displaystyle q(q+1)/2}$${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$${\displaystyle p}$

奇数の完全数が存在するかどうか、また完全数が無限に存在するかどうかはわかっていません。

紀元前300年頃、ユークリッドは、2 ^p  − 1 が素数なら 2 ^{p −1} (2 ^p − 1) は完全数であることを示した。最初の4つの完全数は、初期ギリシャ数学 で知られている唯一の数であり、数学者ニコマコスは、西暦100年頃には8128について記していた。 ^{[3]現代の言葉で言えば、ニコマコスは、}すべての完全数は が素数である形であると証明なしに述べている。^{[4] [5]彼は、} n自体が素数でなければならないことに気づいていないようだ。彼はまた、完全数は交互に6または8で終わるとも述べている（誤っている）。（最初の5つの完全数は、6、8、6、8、6の数字で終わるが、6番目も6で終わる。）アレクサンドリアのフィロンは、1世紀の著書「天地創造について」で完全数について言及し、6と28が完全であるため、世界は6日で創造され、月は28日で公転していると主張している。フィロンの後にはオリゲネス^[6]、そして盲目のディデュモスが続き、ディデュモスは10,000未満の完全数は4つしかないという観察を加えている。（創世記注解1. 14–19）。^[7]聖アウグスティヌスは5世紀初頭に『神の国』 （第11巻、第30章）で完全数を定義し、6が最小の完全数であるため、神は6日間で世界を創造したという主張を繰り返した。エジプトの数学者イスマイール・イブン・ファルース（1194–1252）は、次の3つの完全数（33,550,336、8,589,869,056、137,438,691,328）に言及し、現在では誤りであることがわかっているさらにいくつかの完全数をリストアップした。^[8]ヨーロッパで5番目の完全数に関する最初の言及は、1456年から1461年の間に無名の数学者によって書かれた原稿です。^[9] 1588年、イタリアの数学者ピエトロ・カタルディは6番目（8,589,869,056）と7番目（137,438,691,328）の完全数を特定し、ユークリッドの定理から得られる完全数はすべて6または8で終わることを証明しました。^{[10] [11] [12]}${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$${\displaystyle 2^{n}-1}$

ユークリッドは、が素数であるときは常に は完全偶数であることを証明しました( 『原論』、命題 IX.36)。 ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$${\displaystyle 2^{p}-1}$

たとえば、最初の 4 つの完全数は、次のようにp を素数とする式によって生成されます。 ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1),}$$${\displaystyle {\begin{aligned}p=2&:\quad 2^{1}(2^{2}-1)=2\times 3=6\\p=3&:\quad 2^{2}(2^{3}-1)=4\times 7=28\\p=5&:\quad 2^{4}(2^{5}-1)=16\times 31=496\\p=7&:\quad 2^{6}(2^{7}-1)=64\times 127=8128.\end{aligned}}}$$

形式の素数は、数論と完全数を研究した17世紀の修道士マリン・メルセンヌにちなんでメルセンヌ素数として知られている。素数であるためには、 p自体が素数であることが必要である。しかし、素数pを持つ形式の数がすべて素数であるわけではない。たとえば、2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89は素数ではない。^[a]実際、メルセンヌ素数は非常にまれで、 68,874,199 までの素数pのうち、 48 個だけが素数である。^[13]${\displaystyle 2^{p}-1}$${\displaystyle 2^{p}-1}$${\displaystyle 2^{p}-1}$${\displaystyle 2^{p}-1}$

ニコマコスは（証明なしに）すべての完全数は が素数である形式であると述べましたが（彼はこれを多少異なる方法で述べましたが）、西暦1000年頃のイブン・アル＝ハイサム（アルハゼン）はそこまで言うことを望まず、代わりに（これも証明なしに）その式はすべての偶数の完全数のみを生成すると主張しました。^[14] 18世紀になって初めて、レオンハルト・オイラーは、その式がすべての偶数の完全数を生成することを証明しました。したがって、偶数の完全数とメルセンヌ素数の間には一対一の対応があり、各メルセンヌ素数は1つの偶数の完全数を生成し、逆もまた同様です。この結果は、しばしばユークリッド・オイラーの定理と呼ばれます。 ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$${\displaystyle 2^{n}-1}$${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$

GIMPS分散コンピューティングプロジェクトによる徹底的な調査の結果、最初の48個の完全数は ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$

p = 2、3、5、7、13、17、19、31、61、89、107、127、521、607、1279、2203、2281、3217、4253、4423、9689、9941、11213、19937、21701、23209、44497、86243、110503、132049、216091、756839、859433、1257787、1398269、2976221、3021377、6972593、13466917、 20996011、24036583、25964951、30402457、32582657、37156667、42643801、43112609、57885161（OEISの配列A000043）。^[13]

3つのより高い完全数も発見されており、p = 74207281、77232917、82589933である。この範囲内に他の完全数が存在する可能性はまだあるが、GIMPSによる初期の徹底的なテストでは、pが109332539未満の他の完全数は発見されていない。2018年12月現在^{[アップデート]}、51個のメルセンヌ素数が知られており、^[15]したがって51個の偶数完全数（最大のものは2 ^82589932 × (2 ^82589933 − 1)で、49,724,095桁）がある。完全数が無限にあるかどうか、またメルセンヌ素数が無限にあるかどうかは わかっていない。

の各偶数完全数はの形をしているだけでなく、 - 番目の三角数（したがって 1 から までの整数の合計に等しい）であり、- 番目の六角数でもあります。さらに、6 を除く各偶数完全数は-番目の中心九角数であり、最初の奇数の立方数（ の 3 乗までの奇数の立方数）の合計に等しくなります。 ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$${\displaystyle (2^{p}-1)}$${\displaystyle 2^{p}-1}$${\displaystyle 2^{p-1}}$${\displaystyle {\tfrac {2^{p}+1}{3}}}$${\displaystyle 2^{\frac {p-1}{2}}}$${\displaystyle 2^{\frac {p+1}{2}}-1}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}6&=2^{1}(2^{2}-1)&&=1+2+3,\\[8pt]28&=2^{2}(2^{3}-1)&&=1+2+3+4+5+6+7\\&&&=1^{3}+3^{3}\\[8pt]496&=2^{4}(2^{5}-1)&&=1+2+3+\cdots +29+30+31\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}\\[8pt]8128&=2^{6}(2^{7}-1)&&=1+2+3+\cdots +125+126+127\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}\\[8pt]33550336&=2^{12}(2^{13}-1)&&=1+2+3+\cdots +8189+8190+8191\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots +123^{3}+125^{3}+127^{3}\end{alignedat}}}$$

完全数（6を除く）は、 $${\displaystyle T_{2^{p}-1}=1+{\frac {(2^{p}-2)\times (2^{p}+1)}{2}}=1+9\times T_{(2^{p}-2)/3}}$$

結果として得られる各三角数T ₇ = 28、T ₃₁ = 496、T ₁₂₇ = 8128 (完全数から 1 を引いて、その結果を 9 で割った後) は 3 または 5 で終わり、T ₂ = 3、T ₁₀ = 55、T ₄₂ = 903、T ₂₇₃₀ = 3727815 などから始まるシーケンス... ^[16]したがって、任意の偶数の完全数 (6 を除く) の桁を加算し、次に結果の数の桁を加算し、このプロセスを単一の桁 (デジタルルートと呼ばれる) が得られるまで繰り返すと、常に数 1 が生成されます。 たとえば、8128 のデジタルルートは 1 です。8 + 1 + 2 + 8 = 19、1 + 9 = 10、1 + 0 = 1だからです。これは、奇数の素数p を持つすべての完全数で機能し、実際には、奇数の整数（必ずしも素数ではない）mの形式のすべての数で機能します。 ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$${\displaystyle 2^{m-1}(2^{m}-1)}$

完全偶数はその形式上、 2進数ではp個の1 とそれに続くp − 1個の0 として表されます。例: ${\displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1),}$

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}6_{10}=&2^{2}+2^{1}&=110_{2}\\28_{10}=&2^{4}+2^{3}+2^{2}&=11100_{2}\\496_{10}=&2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{5}+2^{4}&=111110000_{2}\\8128_{10}=&\!\!2^{12}+2^{11}+2^{10}+2^{9}+2^{8}+2^{7}+2^{6}\!\!&=1111111000000_{2}\end{array}}}$$

したがって、すべての偶数の完全数は有害な数です。

すべての偶数の完全数は実数でもある（関連概念を参照）。

奇数の完全数が存在するかどうかは不明だが、様々な結果が得られている。1496年、ジャック・ルフェーブルはユークリッドの定理はすべての完全数を与えると述べ、^[17]したがって奇数の完全数は存在しないことを示唆したが、オイラー自身は「奇数の完全数が存在するかどうかは、最も難しい問題である」と述べた。^[18]最近では、カール・ポメランスは、奇数の完全数は実際には存在しないはずであることを示唆する経験的議論を提示した。 ^{[19]すべての完全数は}調和約数でもあり、1以外の奇数の調和約数は存在しないと推測されている。奇数の完全数について証明された特性の多くはデカルト数にも当てはまり、ペイス・ニールセンは、それらの数を十分に研究すれば奇数の完全数は存在しないという証明につながるかもしれないと示唆した。^[20]

任意の奇数の完全数N は次の条件を満たす必要があります。

• N > 10 ¹⁵⁰⁰ . ^[21]
• Nは105で割り切れない。^[22]
• NはN≡1（mod 12）またはN≡117（mod 468）またはN≡81 （mod 324）のいずれかの形式をとる。^[23]
• Nの最大の素因数は^{108 [24]}より大きく、 ^[25]より小さい。${\displaystyle {\sqrt[{3}]{3N}}.}$
• 2番目に大きい素因数は104より大きく^[ 26 ^]、より小さい。^[27]${\displaystyle {\sqrt[{5}]{2N}}}$
• 3番目に大きい素因数は100より大きく、^{[28] 、 [29]}より小さい。${\displaystyle {\sqrt[{6}]{2N}}.}$
• Nには少なくとも101個の素因数と少なくとも10個の異なる素因数がある。^{[21] [30] 3が}Nの因数の1つでない場合、Nには少なくとも12個の異なる素因数がある。^[31]
• Nは次の形式である

${\displaystyle N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\cdots p_{k}^{2e_{k}},}$

どこ：

• q、  p ₁、...、  p _{k は}異なる奇数の素数です（オイラー）。
• q ≡ α ≡ 1 ( mod 4) (オイラー)。
• Nの最小の素因数は最大でも^{[32]である。}${\displaystyle {\frac {k-1}{2}}.}$
• Nを割り切る素数のうち少なくとも1つは¹⁰⁶²を超える。^[21]
• ${\displaystyle N<2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}}$^{[33] [34]}
• ${\displaystyle \alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {99k-224}{37}}}$. ^{[32] [35] [36]}
• ${\displaystyle qp_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{k}}}2N^{\frac {17}{26}}}$. ^[37]
• ${\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p_{1}}}+{\frac {1}{p_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{p_{k}}}>{\frac {\ln k}{2\ln 2}}}$. ^{[38] [39]}

さらに、指数 e ₁、...、  e _kについていくつかの小さな結果がわかっています。

• すべてのe _i  ≡ 1 ( mod 3 )となるわけではない。^[40]
• すべてのe _i  ≡ 2 ( mod 5 ) となるわけではない。^[41]
• すべてのe _i  ≡ 1 ( mod 3) または2 ( mod 5)の場合、 Nの最小の素因数は¹⁰⁸から¹⁰¹⁰⁰⁰の間にある必要があります。^[41]
• より一般的には、与えられた有限集合Sにおいてすべての2e _i +1が素因数を持つ場合、 Nの最小の素因数はSのみに依存する実質的に計算可能な定数よりも小さくなければならない。^[41]
• もし( e ₁ , ...,  e _k ) = (1, ..., 1, 2, ..., 2)でt個の1とu個の2がある場合、. ^[42]${\displaystyle (t-1)/4\leq u\leq 2t+{\sqrt {\alpha }}}$
• ( e ₁ , ...,  e _k ) ≠ (1, ..., 1, 3), ^[43] (1, ..., 1, 5), (1, ..., 1, 6) 。^[44]
• e ₁ = ... = e _k = eならば、
  • eは3、 ^[45] 5、24、^[46] 6、8、11、14、18のいずれかにはならない。 ^[44]
  • ${\displaystyle k\leq 2e^{2}+8e+2}$そして[ ^47]${\displaystyle N<2^{4^{2e^{2}+8e+3}}}$

1888年にシルベスターは次のように述べた。^[48]

... この主題について長い間熟考した結果、私は、そのような [奇数の完全数] が 1 つでもあれば、つまり、あらゆる側面からそれを囲んでいる複雑な条件の網から逃れることは、奇跡に近いことであると確信しました。

すべての偶数の完全数は、非常に正確な形をしています。奇数の完全数は存在しないか、まれです。完全数に関する結果の中には、実際には証明が非常に簡単でありながら、表面的には印象的なものがいくつかあります。そのうちのいくつかは、リチャード・ガイの小数の強い法則にも当てはまります。

• n3 +1^の形の唯一の偶数完全数 は28である（Makowski 1962）。^[49]
• 28は、2つの正の整数の3乗の和となる唯一の完全偶数でもある（Gallardo 2010）。^[50]
• 完全数Nの約数の逆数を足すと 2 になる必要があります (これを得るには、完全数の定義 を取り、両辺をnで割ります)。 ${\displaystyle \sigma _{1}(n)=2n}$
  • 6 の場合、次のようになります。${\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{1}}={\frac {1}{6}}+{\frac {2}{6}}+{\frac {3}{6}}+{\frac {6}{6}}={\frac {1+2+3+6}{6}}={\frac {2\cdot 6}{6}}=2}$
  • 28 については、などが成り立ちます。${\displaystyle 1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2}$
• 完全数（偶数か奇数かに関わらず）の約数の数は偶数でなければならない。なぜならNは完全な平方数にはならないからである。^[51]
  • これら 2 つの結果から、すべての完全数はOre の調和数であることがわかります。
• 偶数完全数は台形数ではない。つまり、それらは2つの正の非連続三角数の差として表すことができない。非台形数には、偶数完全数、2の累乗、そしてメルセンヌ素数から偶数完全数を構築するのと同様にフェルマー素数と2の累乗の積として形成される形の数の3種類しかない。 ^[52]${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}+1)}$ ${\displaystyle 2^{n}+1}$
• n未満の完全数の個数は未満であり、ここでc > 0 は定数である。^[53]実際、小文字の o 表記法を使用すると である。^[54]${\displaystyle c{\sqrt {n}}}$${\displaystyle o({\sqrt {n}})}$
• すべての偶数完全数は、10進数では6または28で終わります。また、6を除いて、9進数では1で終わります。^{[55] [56]}したがって、特に6以外のすべての偶数完全数のデジタルルートは1です。
• 唯一の平方数でない完全数は6である。^[57]

真約数の和は、さまざまな種類の数になります。和がその数よりも小さい数を不足数、和がその数より大きい数を豊富数と呼びます。これらの用語は、完全数自体とともに、ギリシャの数秘術に由来しています。互いの真約数の和である数のペアは友好数と呼ばれ、より大きな数のサイクルは社交数と呼ばれます。すべてのより小さな正の整数がその異なる約数の和である正の整数は、実用数です。

定義により、完全数は制限された除数関数s ( n ) = σ ( n ) − nの不動点であり、完全数に関連付けられた因数列は定数列です。すべての完全数は-完全数、つまりグランビル数でもあります。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

半完全数とは、その真約数のすべてまたは一部の合計に等しい自然数です。その真約数すべての合計に等しい半完全数は完全数です。ほとんどの過剰数も半完全です。半完全でない過剰数は奇数と呼ばれます。

• 超完全数
• レンスターグループ
• メルセンヌ素数と完全数のリスト
• 完全数を掛ける
• 超完全数
• 単位完全数
• 調和除数

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• 「完全数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• デビッド・モーズ：完璧で、友好的で、社交的な数字
• 完全数 – 歴史と理論
• Weisstein、Eric W.「完全数」。MathWorld。
• OEISシーケンス A000396 (完全数)
• OddPerfect.org 奇数の完全数を検索するための計画された分散コンピューティング プロジェクト。
• 偉大なインターネットメルセンヌ素数探索 (GIMPS)
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• グライムズ、ジェームズ。「8128: 完全数」。Numberphile。ブレイディ・ハラン。2013年5月31日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2013年4月2日閲覧。