ペル番号

数学において、ペル数とは、古代から知られている無限の整数列であり、 2の平方根に最も近い有理数近似値の分母を構成する。この近似列は、1/1⁠、⁠3/2⁠、⁠7/5⁠、⁠17/12⁠、および⁠41/29⁠なので、ペル数列は 1、2、5、12、29 で始まります。同じ近似数列の分子は、対応するペル数またはペル・ルーカス数の半分です。これらの数は、2、6、14、34、82 で始まる 2 番目の無限数列を形成します。

ペル数とその伴うペル数は、フィボナッチ数と同様の再帰関係によって計算することができ、両方の数列は白銀比1 +  √ 2の累乗に比例して指数的に増加します。ペル数は、2の平方根を近似するために使用されるだけでなく、平方三角数を求めたり、直角二等辺三角形の整数近似を構築したり、特定の組み合わせ列挙問題を解いたりするためにも使用できます。^[1]

ペル方程式と同様に、ペル数の名前は、レオンハルト・オイラーが方程式とそれから導かれる数をジョン・ペルのものと誤って帰したことに由来しています。ペル・ルーカス数も、このタイプの再帰によって定義される数列を研究したエドゥアール・ルーカスにちなんで名付けられています。ペル数とそれに付随するペル数はルーカス数列です。

ペル数は再帰関係によって定義されます。

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

言葉で言えば、ペル数列は0と1から始まり、各ペル数は前のペル数の2倍とその前のペル数の和になります。数列の最初の数項は

0、1、2、5、12、29、70、169、408、985、2378、5741、13860、…（OEISのシーケンスA000129）。

ビネの公式と同様に、ペル数も閉じた形式で表される。

${\displaystyle P_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.}$n の値が大きい場合、(1 + √ 2 ) ⁿの項がこの式の大部分を占めるため、ペル数は白銀比 1 + √ 2の累乗にほぼ比例します。これは、フィボナッチ数列の成長率が黄金比の累乗として比例するのと類似しています。

行列式 から3番目の定義も可能である。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}.}$

これらの定義から多くの等式が導出または証明できる。例えば、フィボナッチ数列の カシニの等式に類似した等式など。

${\displaystyle P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n},}$

は行列式の直接的な帰結である（行列式の左辺と右辺の行列の行列式を考慮することによって得られる）。 ^[2]

ペル数は歴史的に、そして最も顕著には√2の有理近似において出現した。2つの大きな整数xとyがペル方程式の解を形成する場合

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1,}$

それらの比率は⁠x/ええ⁠ は√ 2に近い近似値を提供します。この形式の近似値の列は

${\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots }$

ここで、各分数の分母はペル数であり、分子はペル数とその前の数列の和である。つまり、解は次の形式をとる。

${\displaystyle {\frac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}.}$

近似値

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}}$

このタイプの近似値は、紀元前3世紀または4世紀のインドの数学者には知られていました。^[3]紀元前5世紀のギリシャの数学者も、この近似値列を知っていました。^[4]プラトンは分子を有理直径と呼んでいます。^[5]紀元2世紀にスミルナのテオンは、この数列の分母と分子を説明するために、辺数と直径数という用語を使用しました 。 ^[6]

これらの近似値は、の連分数展開から導くことができます。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots \,}}}}}}}}}}.}}$

この展開を任意の数の項に切り捨てると、このシーケンスのペル数に基づく近似値の1つが生成されます。たとえば、

${\displaystyle {\frac {577}{408}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{ 2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2}}}}}}}}}}}。$

Knuth (1994) が述べているように、ペル数は√ 2に近似するため、頂点座標が(±  P _i、±  P _{i  +1} )および(±  P _{i  +1}、±  P _i  )である正八角形の正確な有理近似に使用できます。すべての頂点は原点から等距離にあり、原点の周りでほぼ均一な角度を形成します。あるいは、点 、、は、頂点が原点からほぼ等距離にあり、均一な角度を形成する近似八角形を形成します。 ${\displaystyle (\pm (P_{i}+P_{i-1}),0)}$${\displaystyle (0,\pm (P_{i}+P_{i-1}))}$${\displaystyle (\pm P_{i},\pm P_{i})}$

ペル素数とは素数であるペル数である。最初のいくつかのペル素数は

2、5、29、5741、33461、44560482149、1746860020068409、68480406462161287469、...（OEISの配列A086383）。

これらの素数のペル数列における添え字は

2、3、5、11、13、29、41、53、59、89、97、101、167、181、191、523、929、1217、1301、1361、2087、2273、2393、8093、...（OEISの配列A096650）

これらのインデックスはすべて素数です。フィボナッチ数と同様に、ペル数P _{n は}n自体が素数である場合にのみ素数になります。これは、d がnの約数である場合、P _dはP _nの約数であるためです。

ペル数のうち平方数、立方数、またはそれ以上の整数の累乗となるのは0、1、169 = 13 ²のみです。^[7]

しかし、平方数や他の累乗数が非常に少ないにもかかわらず、ペル数は平方三角数と密接な関係があります。^[8]具体的には、これらの数はペル数の次の恒等式から生じます。

${\displaystyle {\bigl (}\left(P_{k-1}+P_{k}\right)\cdot P_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}\cdot \left(\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}.}$

この恒等式の左側は平方数を表し、右側は三角数を表すので、結果は平方三角数になります。

ファルコンとディアス・バレロ（2006）は、ペル数と平方数を関連付ける別の恒等式を証明し、 P _{4 n  +1}までのペル数の合計は常に平方数になることを示しました。

${\displaystyle \sum _{i=0}^{4n+1}P_{i}=\left(\sum _{r=0}^{n}2^{r}{2n+1 \choose 2r}\right)^{\!2}=\left(P_{2n}+P_{2n+1}\right)^{2}.}$

例えば、ペル数 P 5 までの和0 + ₁ + 2 + 5 + 12 + 29 = 49は、P ₂ + P ₃ = 2 + 5 = 7の2乗です。これらの和の平方根を形成する数P _{2 n} + P _{2 n  +1}は、

1、7、41、239、1393、8119、47321、…（OEISの配列A002315）、

ニューマン・シャンクス・ウィリアムズ（NSW）数として知られています。

直角三角形の辺の長さが整数のa、b、c （ピタゴラスの定理 a ² + b ² = c ²を満たす）である場合、（a、b、c ）はピタゴラスの三つ組と呼ばれます。マーティン（1875）が述べているように、ペル数を使用して、 aとbが1単位離れているピタゴラスの三つ組を形成できます。これは、ほぼ二等辺である直角三角形に対応します。このような三つ組はそれぞれ、次の形式になります。

${\displaystyle \left(2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1}\right).}$

このようにして形成されたピタゴラスの三つ組の列は

(4,3,5)、(20,21,29)、(120,119,169)、(696,697,985)、…

伴ペル数またはペル・ルーカス数は、再帰関係によって定義される。

${\displaystyle Q_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\2&{\mbox{if }}n=1;\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

言葉で説明すると、数列の最初の 2 つの数は両方とも 2 で、後続の数はそれぞれ、前のペル・ルーカス数の 2 倍をその前のペル・ルーカス数に加えることによって形成されます。つまり、次のペル数を前のペル数に加えることによって形成されます。したがって、82 は 29 の対であり、82 = 2 × 34 + 14 = 70 + 12です。数列の最初の数項は ( OEISの数列A002203 )、2、2、6、14、34、82、198、478 、 … です。

フィボナッチ数とルーカス数の関係のように、

${\displaystyle Q_{n}={\frac {P_{2n}}{P_{n}}}}$

すべての自然数 nに対して。

伴ペル数は閉じた形式式で表現できる。

${\displaystyle Q_{n}=\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}.}$

これらの数はすべて偶数です。それぞれの数は、上で説明した有理数近似値の分子の 2 倍です。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

ルーカス数列と同様に、ペル・ルーカス数⁠1/2⁠ Q _{n が}素数である場合、 n は素数か2 のべき乗である必要があります。ペル・ルーカス素数は

3、7、17、41、239、577、…（OEISの配列A086395）。

これらのnは

2、3、4、5、7、8、16、19、29、47、59、163、257、421、…（OEISの配列A099088）。

次の表は、白銀比 δ = δ _S = 1 +  √ 2とその共役 δ = 1 −  √ 2の最初のいくつかの累乗を示しています。

係数は半コンパニオンペル数H _nとペル数P _{nであり、これらは}H ² − 2 P ² = ±1の（負でない）解である。二乗三角数は数である。

${\displaystyle N={\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2},}$

これはt次の三角数であり、s次の平方数でもあります。ほぼ二等辺のピタゴラス数列は、a + 1 = bであるa ² + b ² = c ²の整数解です。

次の表は、奇数H _{n を}ほぼ均等に半分に分割すると、 nが偶数のときは正方三角数になり、 nが奇数のときはほぼ二等辺ピタゴラス数になることを示しています。すべての解はこのようにして生じます。

半コンパニオンペル数H _nとペル数P _{n は、}簡単に同等ないくつかの方法で導くことができます。

${\displaystyle \left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}-P_{n}{\sqrt {2}}.}$

このことから、閉じた形式が存在することがわかります。

${\displaystyle H_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}.}$

そして

${\displaystyle P_{n}{\sqrt {2}}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}.}$

${\displaystyle H_{n}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=0;\\H_{n-1}+2P_{n-1}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

n は少なくとも 2 と します。

${\displaystyle H_{n}=(3P_{n}-P_{n-2})/2=3P_{n-1}+P_{n-2};}$

${\displaystyle P_{n}=(3H_{n}-H_{n-2})/4=(3H_{n-1}+H_{n-2})/2.}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}\\P_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}H_{n-1}\\P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}$

それで

${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}&2P_{n}\\P_{n}&H_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}.}$

H _nとP _n √ 2の差は

${\displaystyle \left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}\approx (-0.41421)^{n},}$

それは急速にゼロになります。

${\displaystyle \left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}}$

2 H _nに非常に近いです。

この最後の観察から、整数比は⁠H _n/Pn_の⁠急速に√2に近づく;そして⁠H _n/Hn _{−1 の場合}⁠と⁠Pn_の/Pn _{−1 の場合}⁠ 1 +  √ 2に急速に近づきます。

√ 2は無理数なので、 ⁠H/ポ⁠  =  √ 2、すなわち、

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}}{P^{2}}}.}$

私たちが達成できる最高のものは

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}-1}{P^{2}}}\quad {\mbox{or}}\quad {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}+1}{P^{2}}}.}$

H ² − 2 P ² = 1の（非負の）解は、 nが偶数のペア（H _n、P _n）とまったく同じであり、 H ² − 2 P ² = −1の解は、nが奇数のペア（H _n、P _n）とまったく同じである。これを理解するには、まず次の点に注意する必要がある。

${\displaystyle H_{n+1}^{2}-2P_{n+1}^{2}=\left(H_{n}+2P_{n}\right)^{2}-2\left(H_{n}+P_{n}\right)^{2}=-\left(H_{n}^{2}-2P_{n}^{2}\right),}$

これらの違いは、Hから始まる²
₀− 2P²
₀= 1は交互に 1 と −1 になります。そして、すべての正の解は、より小さい整数の解からこのようにして得られることに注意してください。

${\displaystyle (2P-H)^{2}-2(H-P)^{2}=-\left(H^{2}-2P^{2}\right).}$

小さい方の解も正の整数を持ちますが、例外が 1 つあります。H = P = 1で、これは H 0 ₌  1 およびP ₀ = 0から生じます 。

必要な方程式

${\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}}$

は、H  = 2 t  + 1とP  = 2 sを代入するとH ² = 2 P ² + 1 となる。したがって、n番目の解は ${\displaystyle 4t^{2}+4t+1=8s^{2}+1,}$

${\displaystyle t_{n}={\frac {H_{2n}-1}{2}}\quad {\mbox{and}}\quad s_{n}={\frac {P_{2n}}{2}}.}$

tとt  + 1は互いに素であることに注目してください。つまり、t  ( t  + 1 ) です。/2⁠  =  s ^{2 は}、ちょうど隣接する整数、つまり一方が平方H ²でもう一方が平方 2 P ^{2 の}2倍のときに起こります。この方程式の解はすべてわかっているので、

${\displaystyle t_{n}={\begin{cases}2P_{n}^{2}&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}};\\H_{n}^{2}&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd.}}\end{cases}}}$

そして${\displaystyle s_{n}=H_{n}P_{n}.}$

この代替表現は次の表に示されています。

等式c ² = a ² + ( a + 1) ² = 2 a ² + 2 a + 1は、 2 c ² = 4 a ² + 4 a + 2のときにちょうど成立し、これはH = 2 a + 1およびP = cと置き換えると2 P ² = H ² + 1になります。したがって、n番目の解はa _n = ⁠H _{2 n  +1} − 1/2⁠そしてc _n = P _{2 n  +1}。

上記の表は、 a _nとb _n = a _n + 1が、いずれの順序でもH _n  H _{n  +1}および2 P _n  P _{n  +1}であり、c _n = H _{n  +1}  P _n + P _{n  +1}  H _nであることを示しています。

• Weisstein、Eric W.「ペル数」。MathWorld。
• OEISシーケンスA001333（sqrt(2)に収束する連分数の分子）—同じ近似シーケンスの分子