メルセンヌ予想

数学において、メルセンヌ予想は、メルセンヌ素数と呼ばれる素数の一種の特性に関するもので、 2 の累乗から1 を引いた数である素数を意味します。

元々はメルセンヌ予想と呼ばれ、マリン・メルセンヌが著書『物理数学の考察』（1644年、例えばディクソン 1919年を参照）で述べたもので、n = 2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257の数は素数であり、 n ≤ 257 の他のすべての正の整数については合成数であるというものでした。彼のリストの最初の 7 つの項目（n = 2、3、5、7、13、17、19）は、メルセンヌの時代以前に、すでに試し割りによって素数であることが証明されていました。^[1]最後の 4 つの項目だけがメルセンヌによる新しい主張でした。最後の数字の大きさのため、メルセンヌはそれらすべてをテストしませんでしたし、テストすることもできませんでした。17 世紀の彼の同僚も同様でした。 3 世紀が経過し、ルーカス・レーマー検定などの新しい手法が利用可能になった結果、メルセンヌの予想には 5 つの誤り、すなわち 2 つのエントリが合成数 (素数n = 67、257 に対応) であり、3 つの素数が欠落している (素数n = 61、89、107 に対応)ことが最終的に判明しました。n ≤ 257 の正しいリストは、n = 2、3、5、7、13、17、19、31、61、89、107、127 です。 ${\displaystyle 2^{n}-1}$ ${\displaystyle 2^{n}-1}$

メルセンヌの当初の予想は誤りであるが、それが新しいメルセンヌ予想につながった可能性がある。

新メルセンヌ予想、またはベイトマン、セルフリッジ、ワグスタッフ予想(Bateman et al. 1989) は、任意の奇数の 自然数 pに対して、次の条件のうち 2 つが成立する場合、残りの 1 つも成立するというものです。

1. p = 2 ^k ± 1 または、ある自然数kに対してp = 4 ^k ± 3 。( OEIS : A122834 )
2. 2 ^p − 1 は素数 (メルセンヌ素数) です。 ( OEIS : A000043 )
3. (2 ^p  + 1)/3 は素数です（ワグスタッフ素数）。（OEIS：A000978）

p が奇数の合成数である場合、2 ^p  − 1 と (2 ^p  + 1)/3 は両方とも合成数です。したがって、この予想の真偽を検証するには素数をテストするだけで十分です。

現在、3 つの条件がすべて満たされる既知の数は 9 つあります: 3、5、7、13、17、19、31、61、127 ( OEISのシーケンスA107360 )。Bateman らは、127 より大きい数は 3 つの条件をすべて満たさないと予想し、経験的に 2 つの条件さえ満たさない大きな数は存在しないことを示しました。これにより、新メルセンヌ予想が自明に真実になります。

2024年現在、2 ^{57885161[アップデート]} − 1までのメルセンヌ素数はすべて知られており、そのうち3番目の条件は、今述べたものを除いて成立しない。^{[2] [3]} 少なくとも1つの条件を満たす素数は、

2、3、5、7、11、13、17、19、23、31、43、61、67、79、89、101、107、127、167、191、199、257、313、347、521、607、701、1021、1279、1709、2203、2281、2617、3217、3539、4093、4099、4253、4423、5807、8191、9689、9941、...（ OEISのシーケンスA120334）

元のメルセンヌ予想が偽である 2 つの素数 (67 と 257) は、新しい予想の最初の条件 (67 = 2 ⁶ + 3、257 = 2 ⁸ + 1) を満たしていますが、他の 2 つは満たしていません。メルセンヌが見逃した 89 と 107 は、2 番目の条件を満たしていますが、他の 2 つは満たしていません。メルセンヌは、何らかの自然数kに対してp = 2 ^k ± 1 またはp = 4 ^k ± 3 の場合にのみ 2 ^p − 1 が素数であると考えていた可能性がありますが、それが「 の場合に限り 」であると考えていた場合は61 を含めていた はずです。

新メルセンヌ予想は、何世紀も前からのメルセンヌ予想を救済する試みであると考えられますが、メルセンヌ予想は誤りです。しかし、ロバート・D・シルバーマンによれば、ジョン・セル​​フリッジは、新メルセンヌ予想は既知のデータに適合するように選択されたものであり、それらのケース以外の反例は極めてありそうにないため、「明らかに正しい」ことに同意しました。これは、証明が必要な未解決の問題というよりも、むしろ興味深い観察として見なされるかもしれません。

Prime Pagesは、条件の1つが成立することが既にわかっているすべての素数を体系的にリストすることにより、新メルセンヌ予想が30402457 ^[2]以下のすべての整数に対して真であることを示しています。

レンストラ、ポメランス、ワグスタッフは、メルセンヌ素数が無限に存在すると推測しており、より正確には、x未満のメルセンヌ素数の数は漸近的に次のように近似される 。

${\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{2}\log _{2}(x),}$^[5]

ここでγはオイラー・マスケロニ定数である。言い換えれば、指数pがyより小さいメルセンヌ素数の数は漸近的に

${\displaystyle e^{\gamma}\cdot \log _{2}(y).}$^[5]

これは、平均して、与えられた小数桁数pが素数となるような素数 p が約 ≈ 5.92 個あるはずであることを意味します。この予想は、最初の 40 個のメルセンヌ素数についてはかなり正確ですが、2 ^20,000,000から 2 ^85,000,000の間には、予想される数である約 3.7 個ではなく 、少なくとも 12 個あります^{[6] 。}${\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{2}(10)}$${\displaystyle M_{p}}$

より一般的には、 p ≤ yで が素数となる素数の数は（a、bは互いに素な整数、a > 1、−a < b < a 、 aとbはいずれも自然数r > 1 に対して完全r乗ではなく 、−4 ab は完全 4 乗ではない）、漸近的に ${\displaystyle {\frac {a^{p}-b^{p}}{ab}}}$

${\displaystyle (e^{\gamma }+m\cdot \log _{e}(2))\cdot \log _{a}(y).}$

ここで、mはaとbが両方とも完全な2m^乗となる最大の非負整数である。メルセンヌ素数の場合は、( a ,  b )=(2,1)となる場合の1つである。

• メルセンヌ数の素因数の分布に関するギリーズの予想
• ルーカス・レーマー素数判定
• ルーカス素数判定
• カタランのメルセンヌ予想
• メルセンヌの法則

• ベイトマン、PT、セルフリッジ、JL 、ワグスタッフジュニア、サミュエルS. （ 1989）。「新しいメルセンヌ予想」。アメリカ数学月刊誌。96 （2） 。アメリカ数学協会：125–128。doi ： 10.2307 /2323195。JSTOR  2323195。MR  0992073。
• ディクソン、LE （ 1919）。数論の歴史。ワシントンカーネギー研究所。p.31。OL  6616242M。1971年にチェルシー出版、ニューヨーク、ISBN 0-8284-0086-5より再版。 

• 素数用語集。新しいメルセンヌ素数予想。