分析能力

複素解析という数学の分野では、複素平面のコンパクト部分集合Kの解析容量は、 C  \  K上の有界解析関数が「どれだけ大きくなるか」を表す数値です。大まかに言えば、 γ ( K ) は、 Kの外側の有界解析関数の空間の単位球の大きさを測定します。

これは、1940 年代にラース・アルフォースが有界解析関数の特異点の除去可能性を研究しているときに初めて導入されました。

K ⊂ Cをコンパクトとする。その解析容量は次のように定義される。

${\displaystyle \gamma (K)=\sup\{|f'(\infty )|;\ f\in {\mathcal {H}}^{\infty }(\mathbf {C} \setminus K),\ \|f\|_{\infty }\leq 1,\ f(\infty )=0\}}$

ここで、Uが複素平面の開集合であるときはいつでも、U → C の有界解析関数の集合を表す。さらに、 ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\infty }(U)}$

${\displaystyle f'(\infty ):=\lim _{z\to \infty }z\left(f(z)-f(\infty )\right)}$

${\displaystyle f(\infty ):=\lim _{z\to \infty }f(z)}$

であることに注意してください。ただし、通常は です。 ${\displaystyle f'(\infty )=g'(0)}$${\displaystyle g(z)=f(1/z)}$${\displaystyle f'(\infty )\neq \lim _{z\to \infty }f'(z)}$

同様に、分析能力は次のように定義される^[1]。

${\displaystyle \gamma (K)=\sup \left|{\frac {1}{2\pi }}\int _{C}f(z)dz\right|}$

ここで、C はK を囲む輪郭線であり、上限は上記と同じ条件を満たすf上で取られます。つまり、 f はK の外側で解析的に有界であり、上限は 1 であり、${\displaystyle f(\infty)=0.}$

A ⊂ Cが任意の集合である 場合、次のように定義します。

${\displaystyle \gamma (A)=\sup\{\gamma (K):K\subset A,\,K{\text{ compact}}\}}.}$

コンパクト集合K は、 Ω がK を含む開集合であるときはいつでも、集合 Ω \ K上で有界かつ正則であるすべての関数が Ω 全体への解析拡張を持つ場合、除去可能と呼ばれます。除去可能な特異点に関するリーマンの定理により、すべてのシングルトンは除去可能です。これがきっかけで、パンルヴェは 1880 年に「 Cのどの部分集合が除去可能か?」 というより一般的な質問をしました。

γ ( K )=0の場合にのみKが除去可能であることは容易に分かります。しかし、解析容量は純粋に複素解析的な概念であり、より幾何学的な特徴付けを得るためにはさらに多くの作業を行う必要があります。

各コンパクトK ⊂ Cに対して、一意の極値関数、つまり、f (∞) = 0 かつf′ (∞) = γ ( K ) が存在します。この関数はKのアールフォース関数と呼ばれます。その存在は、モンテルの定理を含む正規族の議論を使用して証明できます。 ${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}^{\infty }(\mathbf {C} \setminus K)}$${\displaystyle \|f\|\leq 1}$

dim _Hをハウスドルフ次元、H ^{1 を}1次元ハウスドルフ測度とします。このとき、H ¹ ( K ) = 0 はγ ( K ) = 0 を意味し、 dim _H ( K ) > 1はγ ( K ) > 0 を保証します。ただし、 dim _H ( K ) = 1 かつH ¹ ( K ) ∈ (0, ∞]の場合はより困難です。

Cのコンパクト部分集合の 1 次元ハウスドルフ測度とその解析能力の間の部分的な対応を考えると、 γ ( K ) = 0はH ¹ ( K ) = 0 を意味すると推測されるかもしれない。しかし、この推測は誤りである。反例はAG Vitushkinによって最初に示され、さらに簡単な例はJohn B. Garnettによって1970 年の論文で示された。後者の例は、次のように構成される4 隅の線形カントール集合である。

K ₀  := [0, 1] × [0, 1] を単位正方形とします。すると、K 1_{は1/4 辺の長さの正方形 4 個の和集合となり、これらの正方形は}K ₀の角に位置します。一般に、K _{n は}^{4 − n}辺の長さの正方形 4 ⁿ個 ( で表記)の和集合となり、各正方形はいずれかの の角に位置します。K をすべてのK _nの交点とすると、γ ( K ) = 0 となります。 ${\displaystyle Q_{n}^{j}}$${\displaystyle Q_{n}^{j}}$${\displaystyle Q_{n-1}^{k}}$${\displaystyle H^{1}(K)={\sqrt {2}}}$

K ⊂ C をコンパクト集合と する。ヴィトゥシュキンの予想によれば、

${\displaystyle \gamma (K)=0\ \iff \ \int _{0}^{\pi }{\mathcal {H}}^{1}(\operatorname {proj} _{\theta }(K))\,d\theta =0}$

ここで、は方向θの直交射影を表します。上記の結果から、dim _H K ≠ 1 の場合、Vitushkin の予想は正しいことがわかります。 ${\displaystyle \operatorname {proj} _{\theta }(x,y):=x\cos \theta +y\sin \theta }$

ガイ・デイヴィッドは1998 年に、dim _H K = 1 かつH ¹ ( K ) < ∞の場合のヴィトゥシュキン予想の証明を発表しました。2002 年に、ザビエル・トルサは解析容量が可算半加法であることを証明しました。つまり、絶対定数C > 0が存在し、 K ⊂ Cがコンパクト集合で、各K _{i が}ボレル集合である場合、 となります。 ${\displaystyle K=\bigcup _{i=1}^{\infty }K_{i}}$${\displaystyle \gamma (K)\leq C\sum _{i=1}^{\infty }\gamma (K_{i})}$

デイヴィッドの定理とトルサの定理を合わせると、KがH ¹ -シグマ有限のときにヴィトゥシュキンの予想が真であることが分かります。

H ¹シグマ有限でない場合、ペルティ・マティラは 1986 年に^[2]この予想が誤りであることを証明しましたが、彼の証明では予想のどの含意が誤りであるかは明記されていませんでした。ジョーンズとムレイによるその後の研究^[3]では、ファヴァール長がゼロで解析容量が正の集合の例が示され、この予想の方向性の 1 つが明示的に反証されました。2023 年現在、もう 1 つの含意が成り立つかどうかは不明ですが、チャンとトルサによって肯定的な答えに向けていくらかの進歩が遂げられています。^[4]

• 集合の容量 - ユークリッド空間における、その集合の「大きさ」の尺度フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• 等角半径

• マティラ、ペルティ(1995)。ユークリッド空間における集合と測度の幾何学。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-65595-1。
• Pajot, Hervé (2002)。解析能力、整流性、メンガー曲率、コーシー積分。数学講義ノート。Springer-Verlag。
• J. ガーネット、「長さは正だが解析能力はゼロ」、Proc. Amer. Math. Soc. 21 (1970)、696–699
• G. デイビッド「修正不可能な 1 セットは解析能力が消失する」Rev. Math. Iberoam. 14 (1998) 269–479
• Dudziak, James J. (2010).除去可能集合に関する Vitushkin の予想. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 978-14419-6708-4。
• トルサ、ザビエル (2014)。解析能力、コーシー変換、非同次カルデロン-ジグムント理論。数学の進歩。バーゼル・ビルクハウザー。ISBN 978-3-319-00595-9。