合成数

合成数は、2つの小さい正の整数を掛け合わせてできる正の整数です。つまり、 1とそれ自身以外の少なくとも1つの約数を持つ正の整数です。 ^{[1] [2]}すべての正の整数は合成数、素数、または単位 1であるため、合成数は素数でも単位でもない数です。^{[3] [4]}

たとえば、整数 14 は、2 つの小さい整数 2 × 7 の積であるため合成数です。同様に、整数 2 と 3 は、それぞれ 1 とそれ自身でしか割り切れないため合成数ではありません。

150 までの合成数は次のとおりです。

4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20、21、22、24、25、26、27、28、30、32、33、34、35、36、38、 39、40、42、44、45、46、48、49、50、51、52、54、55、56、57、58、60、62、63、64、65、66、68、69、70、 72、74、75、76、77、78、80、81、82、84、85、 86、87、88、90、91、92、93、94、95、96、98、99、100、102、104、105、106、108、110、111、112、114、115、116、117、 118、119、120、121、122、123、124、125、126、128、129、130、132、133、134、135、136、138、140、141、142、143、144、145、 6、 147、 148、150.（OEISの配列A002808）

すべての合成数は、2つ以上の（必ずしも異なるとは限らない）素数の積として表すことができます。^[2]たとえば、合成数299は13×23と表すことができ、合成数360は²³ × ³² ×5と表すことができます。さらに、この表現は因数の順序まで一意です。この事実は算術の基本定理と呼ばれています。^{[5] [6] [7] [8]}

合成入力の因数分解を必ずしも明らかにすることなく、数が素数か合成数かを判定できる 素数判定テストがいくつか知られています。

合成数を分類する方法の 1 つは、素因数の数を数えることです。2 つの素因数を持つ合成数は半素数または 2 ほぼ素数です (因数は異なる必要はなく、したがって素数の平方も含まれます)。3 つの異なる素因数を持つ合成数は、スフェニック数です。一部のアプリケーションでは、異なる素因数が奇数である合成数と、異なる素因数が偶数である合成数を区別する必要があります。後者の場合、

${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{2x}=1}$

（ここでμはメビウス関数、xは素因数の合計の半分）であるが、前者の場合

${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{2x+1}=-1.}$

しかし、素数の場合、この関数は-1と も返します。1つ以上の繰り返し素因数を持つ 数nの場合、${\displaystyle \mu (1)=1}$

${\displaystyle \mu (n)=0}$^[9 ]

ある数の素因数がすべて重複している場合、その数はべき数と呼ばれます(すべての完全べき数はべき数です)。その数の素因数が重複していない場合、その数は平方フリーと呼ばれます(すべての素数と 1 は平方フリーです)。

たとえば、72 = 2 ³ × 3 ²では、すべての素因数が重複しているため、72 は強力な数です。42 = 2 × 3 × 7 では、どの素因数も重複していないため、42 は平方根がありません。

合成数を分類する別の方法は、約数の数を数えることです。すべての合成数には少なくとも 3 つの約数があります。素数の平方の場合、それらの約数は です。任意のx < nよりも多くの約数を持つ数nは、高度に合成された数です(ただし、そのような数の最初の 2 つは 1 と 2 です)。 ${\displaystyle \{1,p,p^{2}\}}$

合成数は「直交数」とも呼ばれますが、この名前は連続する 2 つの整数の積である プロニック数を指すこともあります。

合成数を分類するさらに別の方法は、すべての素因数が、ある固定された（素の）数より小さいか大きいかを判断することです。このような数は、それぞれ平滑数と粗数と呼ばれます。

• 正の整数の正規表現
• 整数因数分解
• エラトステネスの篩
• 素因数表

• フレイリー、ジョン B. (1976)、抽象代数入門(第 2 版)、Reading: Addison-Wesley、ISBN 0-201-01984-1
• Herstein, IN (1964)、Topics In Algebra、ウォルサム：Blaisdell Publishing Company、ISBN 978-1114541016
• ロング、カルビン T. (1972)、初等数論入門(第 2 版)、レキシントン: DC ヒース アンド カンパニー、LCCN  77-171950
• マッコイ、ニール H. (1968)、現代代数学入門、改訂版、ボストン：アリン＆ベーコン、LCCN  68-15225
• ペットフレッツォ、アンソニー J.; バーキット、ドナルド R. (1970)、数論の要素、イングルウッドクリフス：プレンティスホール、LCCN  77-81766

• 素因数分解された合成数のリスト（最初の 100、1,000、10,000、100,000、1,000,000）
• 約数プロット（大きな合成数に見られるパターン）