崩壊（トポロジー）

数学の一分野である位相幾何学において、崩壊は単体複体（またはより一般的にはCW複体）をホモトピー等価な部分複体に縮小する。崩壊はCW複体自体と同様に、 JHCホワイトヘッドによって発明された。^[1]崩壊は計算ホモロジーに応用されている。^[2]

を抽象単体複体と します。 ${\displaystyle K}$

が の 2 つの単体であり、次の 2 つの条件が満たされていると します。${\displaystyle \tau,\sigma}$${\displaystyle K}$

1. ${\displaystyle \tau \subseteq \sigma ,}$特に${\displaystyle \dim \tau <\dim \sigma ;}$
2. ${\displaystyle \sigma}$は の極大面であり、 の他の極大面は を含まない${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \tau ,}$

これをフリーフェイスと呼びます。 ${\displaystyle \tau}$

の単体崩壊とは、が自由面であるような単体をすべて削除することです。さらに となる場合、これは基本崩壊と呼ばれます。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \tau \subseteq \gamma \subseteq \sigma ,}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \dim \tau =\dim \sigma -1,}$

ある点に至る一連の収縮を持つ単体複合体は、収縮可能と呼ばれます。すべての収縮可能な複合体は収縮可能ですが、その逆は真ではありません。

この定義はCW複体にも拡張することができ、単純ホモトピー同値の概念の基礎となっている。^[3]

• 自由面を持たない複合体は折り畳み可能ではありません。そのような興味深い例として、RH Bingの2 部屋の家とChristopher Zeemanの劣等帽子が挙げられます。これらは収縮可能(点とホモトピーが等価)ですが、折り畳み可能ではありません。
• 折りたたみ可能な任意のn次元PL多様体は、実際にはn球体と区分線形同型である。^[1]

• 離散モース理論
• シェリング（トポロジー）  – 数学的概念