決定要因

行列式には、定義を直接評価することで証明できるいくつかの重要な特性があります。$2×2$-行列、そしてより大きな行列の行列式についても成り立つ。それらは次のとおりである。^{[ 1 ]}まず、単位行列の行列式${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$1. 2. 2つの行が同じ場合、行列式はゼロになります。

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\a&b\end{vmatrix}}=ab-ba=0.}$

2つの列が同じ場合も同様です。さらに、

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b+b'\\c&d+d'\end{vmatrix}}=a(d+d')-(b+b')c={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a&b'\\c&d'\end{vmatrix}}。}$

最後に、いずれかの列が何らかの数値で乗算された場合${\displaystyle r}$（つまり、その列のすべての項目にその数値が掛けられる）行列式にもその数値が掛けられます。

${\displaystyle {\begin{vmatrix}r\cdot a&b\\r\cdot c&d\end{vmatrix}}=rad-brc=r(ad-bc)=r\cdot {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}.}$

行列式は、次の 3 つの重要な特性によって特徴付けられます。これらを述べるには、${\displaystyle n\times n}$行列Aは、${\displaystyle n}$列、したがって次のように表記される

${\displaystyle A={\big (}a_{1},\dots ,a_{n}{\big )},}$

ここで列ベクトルは${\displaystyle a_{i}}$（各iについて）は、行列のi番目の列の要素で構成されます。

2. ${\displaystyle \det \left(I\right)=1}$、 どこ${\displaystyle I}$は単位行列です。
4. 行列式は多重線形です。行列のj番目の列が${\displaystyle A}$線形結合として記述される${\displaystyle a_{j}=r\cdot v+w}$2つの列ベクトルvとw 、および数rから構成される行列Aの行列式は、同様の線形結合として表すことができる。

   ${\displaystyle {\begin{aligned}|A|&={\big |}a_{1},\dots ,a_{j-1},r\cdot v+w,a_{j+1},\dots ,a_{n}|\\&=r\cdot |a_{1},\dots ,v,\dots a_{n}|+|a_{1},\dots ,w,\dots ,a_{n}|\end{aligned}}}$

6. 行列式は交代的である。つまり、行列の2つの列が同じ場合、その行列式は0になる。

   ${\displaystyle |a_{1},\dots ,v,\dots ,v,\dots ,a_{n}|=0.}$

行列式が上記のようにライプニッツの公式を用いて定義されている場合、これらの3つの性質は公式を直接調べることで証明できます。また、一部の著者はこれらの3つの性質を用いて行列式に直接アプローチしています。任意の に を割り当てる関数がちょうど1つ存在することを示すことができます。${\displaystyle n\times n}$行列A は、これら 3 つの性質を満たす数です。^{[ 5 ]}これはまた、行列式に対するこのより抽象的なアプローチが、ライプニッツの公式を使用したものと同じ定義をもたらすことを示しています。

これを確認するには、列の多重線形性によって行列式を、各列が標準基底ベクトルである行列の行列式の（巨大な）線形結合に展開すれば十分です。これらの行列式は、0（列が線形従属である場合、性質3による）または±1（性質1と3による - 列が奇数順列に従って置換されている場合にマイナス符号が現れる）のいずれかであり、したがって、線形結合は、レヴィ・チヴィタ記号を用いて上記の式を与えます。この特徴付けは、見た目は技術的ではありませんが、行列式を定義する際にライプニッツの公式を完全に置き換えることはできません。なぜなら、それがなければ適切な関数の存在が明らかではないからです。

これらの規則には、さらにいくつかの影響がある。

• 行列式は同次関数である。$${\displaystyle \det(cA)=c^{n}\det(A)}$$（${\displaystyle n\times n}$マトリックス${\displaystyle A}$)
• 行列の任意の2つの列を入れ替えると、行列式は -1倍になる。これは、行列式が多重線形かつ交代的であること（上記の性質2および3）から導かれる。$${\displaystyle |a_{1},\dots ,a_{j},\dots a_{i},\dots ,a_{n}|=-|a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{j},\dots ,a_{n}|.}$$この式は、複数の列を入れ替える場合に繰り返し適用できます。例えば$${\displaystyle |a_{3},a_{1},a_{2},a_{4}\dots ,a_{n}|=-|a_{1},a_{3},a_{2},a_{4},\dots ,a_{n}|=|a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\dots ,a_{n}|.}$$さらに一般的に言えば、列の任意の順列は、行列式に順列の符号を掛けることになる。
• ある列が他の列の線形結合として表せる場合（つまり、行列の列が線形従属関係にある場合）、行列式は0になります。特殊なケースとして、ある列のすべての要素が0である場合、その行列の行列式は0になります。
• ある列のスカラー倍を別の列に加えたとしても、行列式の値は変わりません。これは多重線形性と交代性によるものです。多重線形性によって、行列式は2つの等しい列を持つ行列の行列式の倍数だけ変化します。行列式は交代性を持つため、2つの等しい列を持つ行列の行列式は0になります。
• もし${\displaystyle A}$は三角行列です。${\displaystyle a_{ij}=0}$、 いつでも${\displaystyle i>j}$または、いつでも${\displaystyle i<j}$すると、その行列式は対角成分の積に等しくなります。$${\displaystyle \det(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}=\prod _{i=1}^{n}a_{ii}.}$$実際、このような行列は、非ゼロ要素の少ない列の倍数を、非ゼロ要素の多い列に適切に加算することで、対角行列に縮小できます（行列式は変わりません）。このような行列の場合、各列の線形性を使用すると単位行列に縮小され、この場合、行列式の最初の特徴付け特性により、上記の式が成り立ちます。あるいは、この式はライプニッツの公式からも導き出すことができます。なぜなら、唯一の置換は${\displaystyle \sigma }$ゼロでない寄与を与えるのは恒等置換である。

転置行列の行列式${\displaystyle A}$Aの行列式に等しい：

${\displaystyle \det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(A)}$。

これはライプニッツの公式を調べることで証明できます。^{[ 6 ]}これは、上記のすべての性質において、「列」という言葉を「行」に置き換えることができることを意味します。たとえば、n × n行列をn行で構成されていると考えると、行列式はn線形関数になります。

行列式は乗法写像であり、正方行列の場合、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$同じ大きさの行列の場合、行列積の行列式は、それらの行列式の積に等しくなります。

${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)}$

この重要な事実は、固定行列の場合、${\displaystyle B}$等式の両辺は、列に依存する関数として交代的で多重線形である。${\displaystyle A}$さらに、両者とも値を取る${\displaystyle \det B}$いつ${\displaystyle A}$は単位行列である。したがって、上述の交代多重線形写像の固有の特徴付けは、この主張を裏付けている。^{[ 7 ]}

行列${\displaystyle A}$体内の要素を持つ行列が可逆であるのは、その行列式がゼロでない場合に限る。これは、行列式の乗法性と、後述する随伴行列を含む逆行列の公式から導かれる。この場合、逆行列の行列式は次のように与えられる。

${\displaystyle \det \left(A^{-1}\right)={\frac {1}{\det(A)}}=[\det(A)]^{-1}}$。

特に、非ゼロ行列式（それぞれ行列式が1）を持つ行列の積と逆行列は、依然としてこの性質を持ちます。したがって、そのような行列の集合（固定サイズ）は${\displaystyle n}$野原を越えて${\displaystyle K}$) は一般線形群として知られる群を形成する${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(K)}$（それぞれ、特殊線形群と呼ばれる部分群）${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(K)\subset \operatorname {GL} _{n}(K)}$より一般的には、「特殊」という言葉は、行列式が 1 の行列からなる別の行列群の部分群を示します。例としては、特殊直交群( nが 2 または 3の場合、すべての回転行列から構成されます) や特殊ユニタリ群などがあります。

行列式は乗法と逆元を尊重するため、実際には群準同型である。${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(K)}$乗法群へ${\displaystyle K^{\times }}$非ゼロ要素の${\displaystyle K}$この準同型写像は全射であり、その核は ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(K)}$（行列式が1の行列）。したがって、第一同型定理により、これは次のことを示している。${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(K)}$は、​${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(K)}$商のグループ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(K)/\operatorname {SL} _{n}(K)}$は同型である${\displaystyle K^{\times }}$。

コーシー・ビネの公式は、長方形行列に対する積の公式の一般化です。この公式は、与えられた行列のすべての二次部分行列の行列式を要素とする複合行列に対する乗法公式として書き換えることもできます。^{[ 8 ] [ 9 ]}

ラプラス展開は行列の行列式を表す。${\displaystyle A}$より小さな行列の行列式（マイナーと呼ばれる）を用いて再帰的に定義する。${\displaystyle M_{i,j}}$は、${\displaystyle (n-1)\times (n-1)}$行列は、${\displaystyle A}$除去することによって${\displaystyle i}$第 1 行目と${\displaystyle j}$第 1 番目の列。式${\displaystyle (-1)^{i+j}M_{i,j}}$は補因子として知られています。${\displaystyle i}$平等である

${\displaystyle \det(A)=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{i,j}M_{i,j},}$

これはi番目の行に沿ったラプラス展開と呼ばれます。たとえば、最初の行に沿ったラプラス展開 (${\displaystyle i=1}$）は次の式を与える。

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=a{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}}$

これらの決定要因を解きほぐす${\displaystyle 2\times 2}$-行列は、上述のライプニッツの公式を返します。同様に、に沿ったラプラス展開は、${\displaystyle j}$第 1 列目は等号です

${\displaystyle \det(A)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{i,j}M_{i,j}.}$

ラプラス展開は行列式の計算に反復的に使用できますが、この方法は大きな行列には非効率的です。しかし、ヴァンデルモンド行列のような高度に対称な行列の行列式を計算するのに有効です。$${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots &1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}&\cdots &x_{n}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}&\cdots &x_{n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&x_{3}^{n-1}&\cdots &x_{n}^{n-1}\end{vmatrix}}=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(x_{j}-x_{i}\right).}$$行または列に沿った n 項ラプラス展開は、n x n行列式を次の和として一般化することができます。${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$各項は、 k x k部分行列の行列式と相補的な ( n−k ) x ( n−k ) 部分行列の行列式の積である。

補助行列${\displaystyle \operatorname {adj} (A)}$は、補因子の行列の転置行列、つまり、

${\displaystyle (\operatorname {adj} (A))_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{ji}.}$

すべての行列に対して、^{[ 10 ]}

${\displaystyle (\det A)I=A\operatorname {adj} A=(\operatorname {adj} A)\,A.}$

したがって、共役行列は非特異行列の逆行列を表すために使用できる。

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\operatorname {adj} A.}$

行列式の公式${\displaystyle 2\times 2}$上記の行列は、適切な追加仮定の下で、ブロック行列、すなわち4つのサブ行列から構成される行列に対しても引き続き成り立つ。${\displaystyle A,B,C,D}$寸法${\displaystyle m\times m}$、${\displaystyle m\times n}$、${\displaystyle n\times m}$そして${\displaystyle n\times n}$それぞれ。ライプニッツの公式またはシューア補元を含む因数分解を用いて証明できる最も簡単な公式は、

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&0\\C&D\end{pmatrix}}=\det(A)\det(D)=\det {\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}}.}$

もし${\displaystyle A}$が可逆である場合、乗法性に関するセクションの結果から、

${\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}&=\det(A)\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\underbrace {\det {\begin{pmatrix}A^{-1}&-A^{-1}B\\0&I_{n}\end{pmatrix}}} _{=\,\det(A^{-1})\,=\,(\det A)^{-1}}\\&=\det(A)\det {\begin{pmatrix}I_{m}&0\\CA^{-1}&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}}\\&=\det(A)\det(D-CA^{-1}B),\end{aligned}}}$

これは以下のように簡略化できます${\displaystyle \det(A)(D-CA^{-1}B)}$いつ${\displaystyle D}$は${\displaystyle 1\times 1}$マトリックス。

同様の結果が次の場合にも当てはまります。${\displaystyle D}$可逆である、すなわち

${\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}&=\det(D)\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\underbrace {\det {\begin{pmatrix}I_{m}&0\\-D^{-1}C&D^{-1}\end{pmatrix}}} _{=\,\det(D^{-1})\,=\,(\det D)^{-1}}\\&=\det(D)\det {\begin{pmatrix}A-BD^{-1}C&BD^{-1}\\0&I_{n}\end{pmatrix}}\\&=\det(D)\det(A-BD^{-1}C).\end{aligned}}}$

これらの結果を組み合わせることで、シルベスターの行列式定理を導き出すことができ、それは以下にも示されている。

ブロックが同じサイズの正方行列である場合、さらに以下の式が成り立ちます。たとえば、${\displaystyle C}$そして${\displaystyle D}$通勤（つまり、${\displaystyle CD=DC}$)、それから^{[ 11 ]}

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det(AD-BC).}$

この公式は、より多くの要素で構成される行列に一般化されています。${\displaystyle 2\times 2}$ブロックは、個々のブロック間の適切な可換条件の下で再び機能します。^{[ 12 ]}

のために${\displaystyle A=D}$そして${\displaystyle B=C}$、次の式が成り立つ（たとえ${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$通勤しないでください。

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\B&A\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}A+B&B\\B+A&A\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}A+B&B\\0&A-B\end{pmatrix}}=\det(A+B)\det(A-B).}$

ブロック行列による行列式の計算は、高速行列乗算アルゴリズムを用いることで、短時間で高速に行うことが可能です。${\displaystyle O({n^{\omega }})}$のために${\displaystyle ~2.37\leq \omega <3}$によって${\displaystyle LU}$分解。^{[ 13 ]}

シルベスターの行列式定理は、m × n行列Aとn × m行列Bについて、次の式が成り立つと述べている（AとB は、どちらの順序で乗算しても正方行列を形成できる次元を持つ）。

${\displaystyle \det \left(I_{\mathit {m}}+AB\right)=\det \left(I_{\mathit {n}}+BA\right),}$

ここで、 I _mとI _{nはそれぞれ}m × mおよびn × n の単位行列である。

この一般的な結果から、いくつかの帰結が導き出される。

一般化とは${\displaystyle \det \left(Z+AWB\right)=\det \left(Z\right)\det \left(W\right)\det \left(W^{-1}+BZ^{-1}A\right)}$（ 行列式補題を参照）、ここでZはm × mの可逆行列であり、 Wはn × n の可逆行列である。

合計の行列式${\displaystyle A+B}$同じサイズの 2 つの正方行列の行列式は、一般にAとBの行列式で表現することはできません。

しかし、正定値半正定値行列の場合${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$そして${\displaystyle C}$同じ大きさの、 $${\displaystyle \det(A+B+C)+\det(C)\geq \det(A+C)+\det(B+C){\text{,}}}$$ 系^{[ 15 ] [ 16 ]と共に}$${\displaystyle \det(A+B)\geq \det(A)+\det(B){\text{.}}}$$

ブルン・ミンコフスキーの定理によれば、行列式のn乗根は、エルミート正定値行列に限定した場合、凹関数となる。${\displaystyle n\times n}$行列。^{[ 17 ]}したがって、AとBがエルミート正定値行列である場合${\displaystyle n\times n}$行列、1つは $${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\det(A+B)}}\geq {\sqrt[{n}]{\det(A)}}+{\sqrt[{n}]{\det(B)}},}$$行列式のn乗根は同次関数であるため。

行列式は、線形代数における他の2つの中心的な概念、すなわち行列の固有値と特性多項式と密接に関連している。${\displaystyle A}$になる${\displaystyle n\times n}$複素数成分を持つ行列。次に、代数学の基本定理により、${\displaystyle A}$正確にn 個の固有値を持つ必要がある${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}}$（ここで、代数的重複度μを持つ固有値は、このリストにμ回出現すると理解される。）すると、 Aの行列式はこれらの固有値の積に等しいことがわかる。

${\displaystyle \det(A)=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.}$

すべての非ゼロ固有値の積は擬似行列式と呼ばれます。

このことから、行列の行列式は${\displaystyle A}$がゼロになるのは、${\displaystyle 0}$は、${\displaystyle A}$。 言い換えると、${\displaystyle A}$可逆であるのは、${\displaystyle 0}$は の固有値ではない${\displaystyle A}$。

特性多項式は次のように定義される^{[ 18 ]}

${\displaystyle \chi _{A}(t)=\det(t\cdot I-A).}$

ここ、${\displaystyle t}$は多項式の不定元であり、${\displaystyle I}$は、同じサイズの単位行列です。${\displaystyle A}$この多項式を用いることで、行列式から行列の固有値を求めることができる。${\displaystyle A}$: これらはまさにこの多項式の根、つまり複素数です${\displaystyle \lambda }$そのため

${\displaystyle \chi _{A}(\lambda )=0.}$

エルミート行列は、そのすべての固有値が正である場合に正定値行列である。シルベスターの基準は、これが部分行列の行列式と等価であると主張している。

${\displaystyle A_{k}:={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,k}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{k,1}&a_{k,2}&\cdots &a_{k,k}\end{bmatrix}}}$

すべての人にとってポジティブであること${\displaystyle k}$間${\displaystyle 1}$そして${\displaystyle n}$[ ^{19 ]​}

トレースtr ( A ) は定義によりAの対角成分の合計であり、固有値の合計にも等しくなります。したがって、複素行列Aの場合、

${\displaystyle \det(\exp(A))=\exp(\operatorname {tr} (A))}$

または、実数行列Aの場合、

${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\log(\det(\exp(A))).}$

ここで、exp( A )はAの行列指数関数を表します。なぜなら、Aのすべての固有値λはexp( A )の固有値exp( λ )に対応するからです。特に、Aの任意の対数、すなわち、を満たす任意の行列Lが与えられた場合、

${\displaystyle \exp(L)=A}$

Aの行列式は次のように与えられる。

${\displaystyle \det(A)=\exp(\operatorname {tr} (L)).}$

例えば、n = 2、n = 3、n = 4の場合、

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)&={\frac {1}{2}}\left(\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{2}-\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)\right),\\\det(A)&={\frac {1}{6}}\left(\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{3}-3\operatorname {tr} (A)~\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)+2\operatorname {tr} \left(A^{3}\right)\right),\\\det(A)&={\frac {1}{24}}\left(\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{4}-6\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{2}+3\left(\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)\right)^{2}+8\operatorname {tr} \left(A^{3}\right)~\operatorname {tr} (A)-6\operatorname {tr} \left(A^{4}\right)\right).\end{aligned}}}$

ケイリー・ハミルトンの定理を参照。このような式は、組み合わせ論的議論、ニュートンの恒等式、またはファデエフ・ルヴェリエのアルゴリズムから導出できる。つまり、一般的なnに対して、det A = (−1) ⁿ c ₀特性多項式の符号付き定数項は、再帰的に決定され、

${\displaystyle c_{n}=1;~~~c_{n-m}=-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}c_{n-m+k}\operatorname {tr} \left(A^{k}\right)~~(1\leq m\leq n)~.}$

一般的には、これは^{[ 20 ]からも得られる。}

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\begin{array}{c}k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\geq 0\\k_{1}+2k_{2}+\cdots +nk_{n}=n\end{array}}\prod _{l=1}^{n}{\frac {(-1)^{k_{l}+1}}{l^{k_{l}}k_{l}!}}\operatorname {tr} \left(A^{l}\right)^{k_{l}},}$

ここで、和は、方程式を満たすすべての整数k _l ≥ 0の集合について取られる。

${\displaystyle \sum _{l=1}^{n}lk_{l}=n.}$

この式は、 n 個の引数を持つ完全な指数ベル多項式s _l = −( l – 1)! tr( A ^l ) を用いて次のように表すことができます。

${\displaystyle \det(A)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}B_{n}(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}).}$

この公式は、多次元インデックスI = ( i ₁ , i ₂ , ..., i _r )およびJ = ( j ₁ , j ₂ , ..., j _r )を持つ行列A ^I _Jの行列式を求めるためにも使用できます。このような行列の積とトレースは、自然な方法で次のように定義されます。

${\displaystyle (AB)_{J}^{I}=\sum _{K}A_{K}^{I}B_{J}^{K},\operatorname {tr} (A)=\sum _{I}A_{I}^{I}.}$

対数のメルカトル級数展開が収束するとき、重要な任意の次元n の恒等式が得られます。A のすべての固有値の絶対値が 1 未満の場合、

${\displaystyle \det(I+A)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\left(-\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{j}}{j}}\operatorname {tr} \left(A^{j}\right)\right)^{k}\,,}$

ここで、Iは単位行列です。より一般的には、

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\left(-\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{j}s^{j}}{j}}\operatorname {tr} \left(A^{j}\right)\right)^{k}\,,}$

がsの形式的べき級数として展開されると、 m > nのs ^mのすべての係数はゼロになり、残りの多項式はdet( I + sA )になります。

正定値行列Aに対して、トレース演算子は対数行列式に対して以下の厳密な下限と上限を与える。

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(I-A^{-1}\right)\leq \log \det(A)\leq \operatorname {tr} (A-I)}$

等号が成り立つのは、 A = Iの場合に限る。この関係は、2つの多変量正規分布間のカルバック・ライブラー情報量の公式を用いて導出できる。

また、

${\displaystyle {\frac {n}{\operatorname {tr} \left(A^{-1}\right)}}\leq \det(A)^{\frac {1}{n}}\leq {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} (A)\leq {\sqrt {{\frac {1}{n}}\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)}}.}$

これらの不等式は、トレースと行列式を固有値で表すことで証明できます。このようにして、調和平均は幾何平均より小さく、幾何平均は算術平均より小さく、算術平均は二乗平均平方根より小さいというよく知られた事実を表しています。

ライプニッツの公式は、実数（または複素数の場合も同様）正方行列の行列式が次の多項式関数であることを示している。${\displaystyle \mathbf {R} ^{n\times n}}$に${\displaystyle \mathbf {R} }$特に、それは至るところで微分可能です。その導関数はヤコビの公式を用いて表すことができます。^{[ 21 ]}

${\displaystyle {\frac {d\det(A)}{d\alpha }}=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (A){\frac {dA}{d\alpha }}\right).}$

どこ${\displaystyle \operatorname {adj} (A)}$の補佐役を表す${\displaystyle A}$特に、${\displaystyle A}$は可逆であり、

${\displaystyle {\frac {d\det(A)}{d\alpha }}=\det(A)\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {dA}{d\alpha }}\right).}$

エントリの観点から表現すると${\displaystyle A}$、 これらは

${\displaystyle {\frac {\partial \det(A)}{\partial A_{ij}}}=\operatorname {adj} (A)_{ji}=\det(A)\left(A^{-1}\right)_{ji}.}$

さらに別の同等の表現は次のとおりである。

${\displaystyle \det(A+\epsilon X)-\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)X)\epsilon +O\left(\epsilon ^{2}\right)=\det(A)\operatorname {tr} \left(A^{-1}X\right)\epsilon +O\left(\epsilon ^{2}\right)}$、

ビッグオー記法を使用する。${\displaystyle A=I}$単位行列は、

${\displaystyle \det(I+\epsilon X)=1+\operatorname {tr} (X)\epsilon +O\left(\epsilon ^{2}\right).}$

この恒等式は、特定の行列リー群に関連付けられたリー代数を記述する際に使用されます。例えば、特別な線形群${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}}$は、次の式で定義されます。${\displaystyle \det A=1}$上記の式は、そのリー代数が特別な線形リー代数であることを示している。${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}}$トレースがゼロである行列から構成される。

執筆${\displaystyle 3\times 3}$行列として${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix}}}$どこ${\displaystyle a,b,c}$3つのベクトルが長さ3の列ベクトルである場合、3つのベクトルのうちの1つに関する勾配は、他の2つのベクトルの外積として表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\mathbf {a} }\det(A)&=\mathbf {b} \times \mathbf {c} \\\nabla _{\mathbf {b} }\det(A)&=\mathbf {c} \times \mathbf {a} \\\nabla _{\mathbf {c} }\det(A)&=\mathbf {a} \times \mathbf {b} .\end{aligned}}}$

行列式は、線形方程式系の解を記述するために使用でき、行列形式で次のように表されます。${\displaystyle Ax=b}$この方程式には一意の解が存在する。${\displaystyle x}$かつその場合に限り${\displaystyle \det(A)}$はゼロではない。この場合、解はクラメルの公式によって与えられる。

${\displaystyle x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,2,3,\ldots ,n}$

どこ${\displaystyle A_{i}}$は、${\displaystyle i}$の 番目の列${\displaystyle A}$列ベクトルによる${\displaystyle b}$これは、行列式の列展開によって直ちに導かれる。

${\displaystyle \det(A_{i})=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&\ldots &b&\ldots &a_{n}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle =\sum _{j=1}^{n}x_{j}\det {\begin{bmatrix}a_{1}&\ldots &a_{i-1}&a_{j}&a_{i+1}&\ldots &a_{n}\end{bmatrix}}=x_{i}\det(A)}$

ベクトルが${\displaystyle a_{j}}$これらはAの列です。この規則は恒等式によっても示唆されます。

${\displaystyle A\,\operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} (A)\,A=\det(A)\,I_{n}.}$

クレイマーの法則は、${\displaystyle \operatorname {O} (n^{3})}$これは、 LU、QR、特異値分解などの線形方程式系の解法としてより一般的な方法と同程度の時間である。^{[ 37 ]}

行列式は、線形従属ベクトルを特徴付けるために使用できます。${\displaystyle \det A}$は、行列の列ベクトルが${\displaystyle A}$線形従属である。^{[ 38 ]}例えば、2 つの線形独立なベクトルが与えられた場合${\displaystyle v_{1},v_{2}\in \mathbf {R} ^{3}}$3番目のベクトル${\displaystyle v_{3}}$は、前の 2 つのベクトルによって張られる平面 上に位置する。${\displaystyle 3\times 3}$3つのベクトルからなる行列はゼロである。同じ考え方は微分方程式の理論でも使われている。与えられた関数${\displaystyle f_{1}(x),\dots ,f_{n}(x)}$（${\displaystyle n-1}$（回微分可能）Wronskianは次のように定義される。

${\displaystyle W(f_{1},\ldots ,f_{n})(x)={\begin{vmatrix}f_{1}(x)&f_{2}(x)&\cdots &f_{n}(x)\\f_{1}'(x)&f_{2}'(x)&\cdots &f_{n}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(x)&f_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &f_{n}^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}}.}$

それはゼロではない（一部の人にとって）${\displaystyle x}$) 指定された区間内で、与えられた関数と次数までのすべての導関数が${\displaystyle n-1}$は線形独立である。区間上でロンスキアンが常にゼロであることが示されれば、解析関数の場合、これは与えられた関数が線形従属であることを意味する。ロンスキアンと線形独立性を参照。行列式のもう1つの使用法は終結式であり、これは2つの多項式が共通の根を持つかどうかの判定基準を与える。^{[ 39 ]}

外積の計算は、特定の 3 x 3 行列の形式行列式を求めることと同等です。具体的には、ベクトルの場合、${\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} }$、 そして${\displaystyle \mathbf {b} =b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} }$:

$${\displaystyle \mathbf {a\times b} =\det {\begin{pmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{pmatrix}}}$$

行列式は、与えられたベクトルを列とする正方行列を用いて、R ⁿ内のn個のベクトルの各列に数値を割り当てるものと考えることができます。行列式がゼロでないのは、ベクトル列がR ⁿの基底である場合のみです。この場合、行列式の符号によって、基底の向きが標準基底の向きと一致するか反対かが決まります。直交基底の場合、行列式の大きさは基底ベクトルの長さの積に等しくなります。例えば、R ⁿの要素を持つ直交行列は、ユークリッド空間の正規直交基底を表し、したがって行列式は ±1 になります (すべてのベクトルの長さが 1 であるため)。基底の向きが同じである場合に限り、行列式は +1 になります。基底の向きが反対である場合に限り、行列式は −1 になります。