有理点

数論と代数幾何学において、代数多様体の有理点とは、座標が与えられた体に属する点である。体について言及されていない場合は、一般的に有理数体と理解される。体とは実数体であり、有理点は実点と呼ばれることが多い。

有理点を理解することは、数論とディオファントス幾何学の中心的な目標です。たとえば、フェルマーの最終定理は次のように言い換えることができます。n > 2 の場合、方程式のフェルマー曲線には、 (1, 0)、(0, 1)、およびnが偶数の場合は(–1, 0)と(0, –1)以外の有理点は存在しません。 ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}$

体kとkの代数的に閉じた拡大 Kが与えられたとき、k上のアフィン多様体X は、 kに係数を持つ多項式の集合のK ⁿにおける共通零点の集合である。

${\displaystyle {\begin{aligned}&f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,\\&\qquad \quad \vdots \\&f_{r}(x_{1},\dots ,x_{n})=0.\end{aligned}}}$

これらの共通のゼロはXの点と呼ばれます。

Xのk有理点(またはk点)は、 k ⁿに属するXの点、つまり、すべてのjに対して となるkのn個の要素の列です。Xのk有理点の集合は、多くの場合、 X ( k )と表記されます。 ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$${\displaystyle f_{j}(a_{1},\dots ,a_{n})=0}$

時々、体kが理解されている場合、またはk が有理数体${\displaystyle \mathbb {Q} }$である場合、 「 k有理点」ではなく「有理点」と言うことがあります。

例えば、方程式の 単位円の有理点

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

有理数のペアである

${\displaystyle \left({\frac {a}{c}},{\frac {b}{c}}\right),}$

ここで( a, b, c )はピタゴラスの数です。

この概念は、より一般的な設定でも意味をなします。体k上の射影空間⁠ ⁠の射影多様体 X は、変数に関する同次多項式方程式の集合によって定義できます。 ⁠ ⁠ と書かれた⁠ ⁠の k 点は、kのn + 1個の要素 (すべてゼロではない) のシーケンスによって与えられます。ただし、 のすべてをkの同じ非ゼロ要素で乗算すると、射影空間で同じ点が得られることを理解してください。したがって、Xのk点は、与えられた多項式が消える⁠ ⁠のk点を意味します。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}.}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n},}$${\displaystyle [a_{0},\dots ,a_{n}],}$${\displaystyle a_{0},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

より一般的には、X を体k上のスキームとします。これは、スキームの射f : X → Spec ( k )が与えられることを意味します。すると、Xのk点は、この射の切断、つまり、合成faがSpec( k )上の恒等写像となるような射a : Spec( k ) → Xを意味します。これは、 X がアフィン多様体または射影多様体 ( k上のスキームとして見た場合) である場合の以前の定義と一致します。

X が代数的に閉じた体 k上の多様体であるとき、 Xの構造の多くはk有理点の集合X ( k )によって決定されます。しかし、一般の体kの場合、 X ( k ) はXについての部分的な情報しか与えません。特に、体k上の多様体Xとkの任意の体拡大Eの場合、X はXのE有理点の集合X ( E )も決定します。これは、 Eに値を持つX を定義する方程式の解の集合を意味します。

例: X を実数 ⁠ ⁠上のアフィン平面A ²上の円錐曲線とします。任意の実数の平方は非負なので、実数点の集合⁠ ⁠は空です。一方、代数幾何学の用語では、複素点の集合⁠ ⁠は空ではないので、 ⁠ ⁠上の代数多様体X は空ではありません。 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=-1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle X(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$

より一般的には、可換環R上のスキームXと任意の可換R代数Sに対して、 XのS点の集合X ( S )はSpec( R )上のSpec( S ) → Xの射の集合を意味します。スキームX は、同型性を除いて関数S ↦ X ( S )によって決定されます。これが、スキームをその点の関数と同一視する考え方です。別の定式化では、 R上のスキームX は基底変更によってS上のスキームX _Sを決定し、( R上の) XのS点は( S上の) X _SのS点と同一視できます。

ディオファントス方程式の理論は伝統的に積分点の研究を意味し、有理数ではなく整数 における多項式方程式の解を意味していました。などの同次多項式方程式の場合、すべての有理数点は整数点になるようにスケーリングできるため、2つの問題は本質的に同等です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$${\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3},}$

数論の大部分は代数多様体の有理点の研究として見ることができ、便利な設定は滑らかな射影多様体です。滑らかな射影曲線の場合、有理点の振る舞いは曲線の 種数に大きく依存します。

体k上の種数 0 の滑らかな射影曲線X はすべて、 ⁠ ⁠ の(次数 2) 円錐曲線と同型です。Xがk有理点を持つ場合、それはk上の⁠ ⁠と同型であり、したがってそのk有理点は完全に理解されます。^[1] kが有理数体⁠ ⁠ (またはより一般的には数体)である場合、ハッセ原理に基づいて、与えられた円錐が有理点を持つかどうかを判定するアルゴリズムがあります。 ⁠ ⁠上の円錐が有理点を持つのは、 ⁠ ⁠のすべての完備化、つまり⁠ ⁠ ⁠およびすべてのp進体 ⁠ ⁠上の点を持つ場合のみです。${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}.}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}.}$

種数1の曲線に有理点があるかどうかを判断するのはより困難です。ハッセ原理はこの場合成り立ちません。例えば、エルンスト・セルマーによれば、 ⁠ ⁠ ⁠の3次曲線は⁠ ⁠ ⁠のすべての完備化の上に点を持ちますが、有理点はありません。^[2]種数1の曲線に対するハッセ原理の成り立ちの悪さは、テイト・シャファレヴィッチ群によって測定されます。 ${\displaystyle 3x^{3}+4y^{3}+5z^{3}=0}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$

X がk有理点p ₀を持つ種数 1 の曲線である場合、X はk上の楕円曲線と呼ばれます。この場合、X は可換代数群の構造を持ち( p ₀を零元とする)、 k有理点の集合X ( k )はアーベル群です。モーデル・ヴェイユの定理は、数体k上の楕円曲線 (または、より一般的にはアーベル多様体) Xに対して、アーベル群X ( k ) は有限生成であると述べています。 コンピュータ代数プログラムは多くの例でモーデル・ヴェイユ群X ( k )を決定できますが、この群を常に計算できるアルゴリズムがあるかどうかはわかっていません。それは、テイト・シャファレビッチ群が有限であるという予想、または関連するバーチ・スウィナートン・ダイアー予想から導かれます。^[3]

ファルティングスの定理（以前はモーデル予想と呼ばれていた）は、数体k上の種数2以上の任意の曲線Xに対して、集合X ( k )は有限であるということを述べている。^[4]

数論の偉大な業績のいくつかは、特定の曲線上の有理点を決定することに帰着する。例えば、フェルマーの最終定理（リチャード・テイラーとアンドリュー・ワイルズによって証明された）は、少なくとも 3 の整数nに対して、 ⁠ ⁠上の⁠ ⁠の曲線の唯一の有理点は明白な点、すなわち[0,1,1]と[1,0,1 ] 、 nが偶数の場合は[0,1,−1]と[1,0,−1] 、 nが奇数の場合は[1,−1,0]である、という命題と同等である。曲線X は（ ⁠ ⁠のn次滑らかな曲線と同様に）種数${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle {\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}.}$

数体上の種数2以上の任意の曲線上の有理点をすべて見つけるアルゴリズムがあるかどうかは知られていない。いくつかのケースでは機能するアルゴリズムがある。一般にその停止性は、数体上のアーベル多様体のテイト-シャファレビッチ群が有限であり、曲線の場合、ブラウアー-マニン障害がハッセ原理に対する唯一の障害であるという予想から導かれる。^[5]

高次元では、ボンビエリ-ラング予想が一つの統一目標となり、数体k上の一般型の任意の多様体Xに対して、 Xのk有理点の集合はXにおいてザリスキ稠密ではないというものです。（つまり、k有理点はXの低次元部分多様体の有限和に含まれます。）次元 1 では、曲線が一般型であるためには種数が少なくとも 2 である必要がありますので、これはまさにファルティングスの定理です。ラングは、有理点の有限性と小林双曲性を関連付けるより細かい予想も行いました。^[6]

例えば、ボンビエリ・ラング予想は、数体上の射影空間⁠ ⁠における次数dの滑らかな超曲面は、 d ≥ n + 2ならばザリスキ稠密有理点を持たないと予測する。その場合についてはあまり知られていない。ボンビエリ・ラング予想に関する最も強力な既知の結果は、アーベル多様体のサブ多様体に関するファルティングスの定理である（曲線の場合を一般化）。つまり、X が数体k上のアーベル多様体Aのサブ多様体である場合、Xのすべてのk -有理点は、Xに含まれるアーベル部分多様体の平行移動の有限和に含まれます。^[7]（したがって、Xに正の次元の平行移動アーベル部分多様体が含まれない場合、X ( k ) は有限です。） ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

反対に、数体k上の多様体X は、 kの有限拡大体Eが存在して、 XのE有理点がXにおいてザリスキ稠密であるとき、潜在的に稠密な有理点を持つという。フレデリック・カンパーナは、多様体が潜在的に稠密であるためには、一般型の正次元オービフォールド上に有理ファイバー化を持たない必要があると予想した。^[8]既知のケースとして、数体k上の⁠ ⁠のすべての3 次曲面は潜在的に稠密な有理点を持つというものがある。これは、(より強く) kの有限拡大上で有理になるからである (平面 3 次曲線上の円錐でない限り)。カンパーナの予想は、数体上のK3 曲面X ( ⁠ ⁠の滑らかな 4 次曲面など) は潜在的に稠密な有理点を持つということも意味する。これは、たとえばX が楕円ファイバー化を持つ場合など、特殊なケースでのみ知られている。^[9]${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$

多様体は、基本体を拡張せずに有理点を持つのはいつかと疑問に思う人もいるかもしれません。数体上の⁠ ⁠における次数dの超曲面Xの場合、 dがnよりはるかに小さいときに良い結果が得られます。これは、多くの場合、ハーディ・リトルウッド円法に基づいています。たとえば、ハッセ・ミンコフスキーの定理によれば、ハッセ原理は数体上の 2 次超曲面に対して成り立ちます ( d = 2の場合)。クリストファー・フーリーは、n ≥ 8のときに、 ⁠ ⁠上の⁠ ⁠における滑らかな 3 次超曲面に対するハッセ原理を証明しました。^[10]高次元では、さらに多くのことが当てはまります。ロジャー・ヒース・ブラウンによると、 ⁠ ⁠上の⁠ ⁠におけるすべての滑らかな 3 次超曲面は、n ≥ 9 のときに有理点を持ちます。^[11]より一般的には、バーチの定理は、任意の奇数の正の整数dに対して、任意のn≥Nに対して、 ⁠ ⁠ ⁠上の⁠ ⁠ ⁠の次数dの超曲面すべてに有理点が存在するような整数Nが存在することを述べています。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

より小さい次元（次数の観点から）の超曲面の場合、状況はより複雑になることがあります。たとえば、イアン・カッセルスとリチャード・ガイによる⁠ ⁠上の⁠ ⁠では、ハッセ原理は滑らかな三次曲面に対しては成立しません。^[12]ジャン＝ルイ・コリオ＝テレーヌは、ブラウアー・マナン障害が三次曲面に対するハッセ原理に対する唯一の障害であると推測しました。より一般的には、それは数体上のすべての有理連結多様体に対して成立するはずです。 ^[13]${\displaystyle 5x^{3}+9y^{3}+10z^{3}+12w^{3}=0}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$

いくつかのケースでは、Xが有理点を 1 つ持つときはいつでも、 Xには「多くの」有理点があることが知られています。たとえば、Beniamino SegreとYuri Maninの研究を拡張して、János Kollár は次を示しました。Xが円錐でない完全体k上の次元が少なくとも 2 の 3 次超曲面 X に対して、 k有理点を持つ場合、 Xはk上で単有理です。 ^[14] (特に、k が無限大の場合、単有理性はk有理点の集合がXでザリスキ稠密であることを意味します。) Manin 予想は、ファノ多様体上の高さが制限された有理点の数の漸近性を記述する、より正確な記述です。

有限体k上の多様体Xには有限個のk有理点しかありません。1次元ではアンドレ・ヴェイユによって、また任意の次元ではピエール・ドリーニュによって証明されたヴェイユ予想は、 Xのベッチ数によってk点の数の強い推定値を与えます。たとえば、Xが位数q (素数冪) の体k上の種数gの滑らかな射影曲線である場合、

${\displaystyle {\big |}|X(k)|-(q+1){\big |}\leq 2g{\sqrt {q}}.}$

位数qの体k上のd次の滑らかな超曲面Xに対して、ドリーニュの定理は次のような境界を与える: ^[15]${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle {\big |}|X(k)|-(q^{n-1}+\cdots +q+1){\big |}\leq {\bigg (}{\frac {(d-1)^{n+1}+(-1)^{n+1}(d-1)}{d}}{\bigg )}q^{(n-1)/2}.}$

有限体k上の射影多様体が少なくとも 1 つのk有理点を持つ場合についても重要な結果があります。たとえば、シュヴァレー・ワーニングの定理は、有限体k上の⁠ ⁠の次数dの任意の超曲面X は、 d ≤ nであればk有理点を持つことを意味します。滑らかなXの場合、これは、有限体k上のすべての滑らかな射影有理連鎖連結多様体、たとえばすべてのファノ多様体はk有理点を持つというエレーヌ・エスノーの定理からも従います。^[16]${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

• 算術ダイナミクス
• 双有理幾何学
• スキームによって表現される関数

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